立體幾何大題練習(xí)文科

1、-. z.立體幾何大題練習(xí)文科：1如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，BC=CD=，側(cè)面SAD底面ABCD1求證：平面SBD平面SAD；2假設(shè)SDA=120，且三棱錐SBCD的體積為，求側(cè)面SAB的面積【分析】1由梯形ABCD，設(shè)BC=a，則CD=a，AB=2a，運(yùn)用勾股定理和余弦定理，可得AD，由線面垂直的判定定理可得BD平面SAD，運(yùn)用面面垂直的判定定理即可得證；2運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，以及三棱錐的體積公式，求得BC=1，運(yùn)用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，運(yùn)用三角形的面積公式，即可得到所求值【解答】1證明：在梯形ABCD中，ABDC，

2、ABC=90，BC=CD=，設(shè)BC=a，則CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，BCD=90，可得BD=a，CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得AD=a，則BDAD，由面SAD底面ABCD可得BD平面SAD，又BD平面SBD，可得平面SBD平面SAD；2解：SDA=120，且三棱錐SBCD的體積為，由AD=SD=a，在SAD中，可得SA=2SDsin60=a，SAD的邊AD上的高SH=SDsin60=a，由SH平面BCD，可得aa2=，解得a=1，由BD平面SAD，可得BDSD，SB=2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，邊SA上的高為=a，則SAB的面積為SAa=a=【點(diǎn)評】

3、此題考察面面垂直的判定定理的運(yùn)用，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考察三棱錐的體積公式的運(yùn)用，以及推理能力和空間想象能力，屬于中檔題2如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E、FE與A、D不重合分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：1EF平面ABC；2ADAC【分析】1利用ABEF及線面平行判定定理可得結(jié)論；2通過取線段CD上點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FGBC，則EGAC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FGAD，結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD平面EFG，從而可得結(jié)論【解答】證明：1因?yàn)锳BAD，EFAD，且A、B、E、F四點(diǎn)共面，所以ABEF，又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，

4、所以由線面平行判定定理可知：EF平面ABC；2在線段CD上取點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FGBC，則EGAC，因?yàn)锽CBD，F(xiàn)GBC，所以FGBD，又因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因?yàn)锳DEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所以ADEG，故ADAC【點(diǎn)評】此題考察線面平行及線線垂直的判定，考察空間想象能力，考察轉(zhuǎn)化思想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題3如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACCB，點(diǎn)M和N分別是B1C1和BC的中點(diǎn)1求證：MB平面AC1N；2求證：ACMB【分析】1證明MC1NB

5、為平行四邊形，所以C1NMB，即可證明MB平面AC1N；2證明AC平面BCC1B1，即可證明ACMB【解答】證明：1證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是B1C1，BC的中點(diǎn)，所以C1MBN，C1M=BN所以MC1NB為平行四邊形所以C1NMB因?yàn)镃1N平面AC1N，MB平面AC1N，所以MB平面AC1N；2因?yàn)镃C1底面ABC，所以ACCC1因?yàn)锳CBC，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1因?yàn)镸B平面BCC1B1，所以ACMB【點(diǎn)評】此題考察線面平行的判定，考察線面垂直的判定與性質(zhì)，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題4如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯

6、形，AD|BC，PD底面ABCD，ADC=90，AD=2BC，Q為AD的中點(diǎn)，M為棱PC的中點(diǎn)證明：PA平面BMQ；PD=DC=AD=2，求點(diǎn)P到平面BMQ的距離【分析】1連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN，只要證明MNPA，利用線面平行的判定定理可證；2由1可知，PA平面BMQ，所以點(diǎn)P到平面BMQ的距離等于點(diǎn)A到平面BMQ的距離【解答】解：1連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN，因?yàn)锳DC=90，Q為AD的中點(diǎn)，所以N為AC的中點(diǎn)2分當(dāng)M為PC的中點(diǎn)，即PM=MC時(shí)，MN為PAC的中位線，故MNPA，又MN平面BMQ，所以PA平面BMQ5分2由1可知，PA平面BMQ，所以點(diǎn)P到平面BMQ的距離等于點(diǎn)A到

7、平面BMQ的距離，所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ，取CD的中點(diǎn)K，連結(jié)MK，所以MKPD，7分又PD底面ABCD，所以MK底面ABCD又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，10分所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ=.，11分則點(diǎn)P到平面BMQ的距離d=12分【點(diǎn)評】此題考察了線面平行的判定定理的運(yùn)用以及利用三棱錐的體積求點(diǎn)到直線的距離5如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)1求證：B1C1平面A1DE；2求證：平面A1DE平面ACC1A1【分析】1證明B1C1DE，即可證明B1C1平面A1DE；2證明DE平面ACC1A1，即可證明平面A1

8、DE平面ACC1A1【解答】證明：1因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以DEBC，2分又因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE4分又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE6分2在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE8分又BCAC，DEBC，所以DEAC，10分又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1AC=C，所以DE平面ACC1A112分又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A114分【點(diǎn)評】此題考察線面平行、線面垂直、面面垂直的判定，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題6在四棱錐PA

9、BCD中，PC底面ABCD，M，N分別是PD，PA的中點(diǎn)，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC1求證：PA平面CMN；2求證：AM平面PBC【分析】1推導(dǎo)出MNAD，PCAD，ADAC，從而AD平面PAC，進(jìn)而ADPA，MNPA，再由PA，能證明PA平面CMN2取CD的中點(diǎn)為Q，連結(jié)MQ、AQ，推導(dǎo)出MQPC，從而MQ平面PBC，再求出AQ平面，從而平面AMQ平面PCB，由此能證明AM平面PBC【解答】證明：1M，N分別為PD、PA的中點(diǎn)，MN為PAD的中位線，MNAD，PC底面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又ADAC，PCAC=C，AD平面PAC，ADPA，MNPA，又PC=A

10、C，N為PA的中點(diǎn)，PA，MN=N，MN平面CMN，CM平面CMN，PA平面CMN解2取CD的中點(diǎn)為Q，連結(jié)MQ、AQ，MQ是PCD的中位線，MQPC，又PC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC，ADAC，ACD=60，ADC=30DAQ=ADC=30，QAC=ACQ=60，ACB=60，AQBC，AQ平面PBC，BC平面PBC，AQ平面PBC，MQAQ=Q，平面AMQ平面PCB，AM平面AMQ，AM平面PBC【點(diǎn)評】此題考察線面垂直、線面平行的證明，考察空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考察推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考察化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是

11、中檔題7如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)1求證：EF平面PAD；2求證：面PAB平面PDC【分析】1連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC 的中點(diǎn)，證明EFPA，利用直線與平面平行的判定定理證明EF平面PAD；2先證明CDPA，然后證明PAPD利用直線與平面垂直的判定定理證明PA平面PCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB面PDC【解答】證明：1連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點(diǎn)F，F(xiàn)也為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)所以在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD

12、，所以EF平面PAD；2平面PAD平面ABCD平面PAD面ABCD=ADCD平面PADCDPA正方形ABCD中CDADPA平面PADCD平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以PAD是等腰直角三角形，且，即PAPD因?yàn)镃DPD=D，且CD、PD面PDC所以PA面PDC又PA面PAB，所以面PAB面PDC【點(diǎn)評】此題考察直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應(yīng)用，考察邏輯推理能力8如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分別為AD、PC中點(diǎn)1求點(diǎn)F到平面PAB的距離；2求證：平面PCE平面PBC【分析】1取PB的中點(diǎn)G，連接

13、FG、AG，證得底面ABCD為正方形再由中位線定理可得FGAE且FG=AE，四邊形AEFG是平行四邊形，則AGFE，運(yùn)用線面平行的判定定理可得EF平面PAB，點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得AD平面PAB，即可得到所求距離；2運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得BC平面PAB，EF平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得證【解答】1解：如圖，取PB的中點(diǎn)G，連接FG、AG，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且PA=AD=2，所以底面ABCD為正方形E、F分別為AD、PC中點(diǎn)，F(xiàn)GBC，AEBC，F(xiàn)GAE且FG=AE，四邊形AEFG是平行四邊形，AGFE，AG平面PAB，EF平

14、面PAB，EF平面PAB，點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，由PA平面ABCD，可得PAAD，又ADAB，PAAB=A，AD平面PAB，則點(diǎn)F到平面PAB的距離為EA=12證明：由1知AGPB，AGEF，PA平面ABCD，BCPA，BCAB，ABBC=B，BC平面PAB，由AG平面PAB，BCAG，又PBBC=B，AG平面PBC，EF平面PBC，EF平面PCE，平面PCE平面PBC【點(diǎn)評】此題考察空間點(diǎn)到平面的距離，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考察線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，熟練掌握定理的條件和結(jié)論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題9在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，BAD=ADC

15、=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點(diǎn)求證：1PC平面DEF；2平面PBC平面PBD【分析】1由中位線定理可得PCEF，故而PC平面DEF；2由直角梯形可得BCBD，結(jié)合BCPD得出BC平面PBD，于是平面PBC平面PBD【解答】證明：1E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點(diǎn)，PCEF，又PC平面DEF，EF平面DEF，PC平面DEF2取CD的中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則ABDM，又ADAB，AB=AD，四邊形ABMD是正方形，BMCD，BM=CM=DM=1，BD=，BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，又BCPD，BDPD=D，BC平面PBD，又BC平面PBC，平面PBC平面PBD【點(diǎn)評】此題考察了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題10如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且BD平面AEF1求證：EF平ABD面；2假設(shè)AE平面BCD，BDCD，求證：平面AEF平面ACD【分析】1利用線面平行的性質(zhì)可得BDEF，從而得出EF平面ABD；2由AE平面B