高二數(shù)學(xué)期末知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點總結(jié)第一部分 集合1理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？一定要抓住集合的代表元素，如：與及2數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；3 （1）含n個元素的集合的子集個數(shù)為，真子集（非空子集）個數(shù)為1；（2）（3）； 。4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1映射：注意 第一個集合中的元素必須有象；一對一，或多對一。2函數(shù)定義域的求法：定義域即自變量的范圍。分母不為0

2、；負(fù)數(shù)不能開偶次方；真數(shù)大于0；沒有意義；= 5 * GB3底數(shù)大于0且不為1；= 6 * GB3（）3函數(shù)值域的求法：分析法；配方法；判別式法 ；利用函數(shù)單調(diào)性 ；換元法 ；利用均值不等式 ； 利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；利用函數(shù)有界性（、等）；導(dǎo)數(shù)法4復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：已知函數(shù)的定義域為D，求函數(shù)的定義域，只需解出的范圍為所求；已知函數(shù)的定義域為E，求函數(shù)的定義域，E，求g(x)的值域。X相當(dāng)與g(x)（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；根據(jù)“同性則增，異性則減

3、”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。5分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。（值域是各段函數(shù)值域的并集）6函數(shù)的奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；是奇函數(shù)；是偶函數(shù)奇函數(shù)在原點有定義，則；在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；7函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時有；在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時有。單調(diào)性的判定定義法：一般要將式子化為幾個因式乘積或作商的形式（會有（）這個因式），以利于判斷符號；導(dǎo)數(shù)法（導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)就是原函數(shù)的增減）；復(fù)合函數(shù)法（同增異減）；圖像法。注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。8函數(shù)

4、的周期性(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期：；： ；：；：；：= 6 * GB3(3)與周期有關(guān)的結(jié)論y=f(x)對xR時，f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；若y=f(x)關(guān)于點(a,0)

5、,(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；y=f(x)對xR時，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；9對于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：（1）同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（2）原函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱。（3）有相同的單調(diào)性。10基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)：；指數(shù)函數(shù)：；對數(shù)函數(shù):； (a0,a1,b0,nR+); l og aN=( a0,a1,b0,b1); l og ab的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶; a log a N=N(

6、a0,a1,N0);正弦函數(shù):；余弦函數(shù)： ；（6）正切函數(shù)：；一元二次函數(shù)：；其它常用函數(shù)：正比例函數(shù)：；反比例函數(shù)：；函數(shù)；10二次函數(shù)：解析式：一般式：；頂點式：，為頂點；零點式： 。二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點值；與坐標(biāo)軸交點；判別式；兩根符號。二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標(biāo)是。處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系；11函數(shù)圖象： 圖象作法 ：描點法 （特別注意三角函數(shù)的五點作圖）圖象變換法導(dǎo)數(shù)法圖象變換：平移變換：)，左“+”右“”； )上“+”下“”；對稱

7、變換：； ； ；翻轉(zhuǎn)變換：)右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；)上不動，下向上翻（|在下面無圖象）；12函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2,反之亦然；(3)曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);（4）曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;（5）若函數(shù)y=f(x)對xR時，f(a+

8、x)=f(ax)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；（6）函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關(guān)于直線x=對稱；注：曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點（0,0）的對稱曲線C2方程為：f(x,y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=0的對稱曲線C2方程為：f(x, y)=0; 曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線y=0的對稱曲線C2方程為：f(x, y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對稱曲線C2方程為：f(y, x)=013.方程k=f(x)有解kD(D為f(x)的值域)；14.af(x)恒成立af(x)max,; af(x) 恒成立af(x)min;15.恒

9、成立問題的處理方法：（1）分離參數(shù)法；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；16.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：(或（或）；17.掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)；函數(shù)(b ac0)）定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性當(dāng)b-ac0時:分別在上單調(diào)遞減；當(dāng)b-ac0時:分別在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；圖象yxox=cy=axyo18實系數(shù)一元二次方程的兩根的分布問題：根的情況等價命題在上有兩根在上有兩根在和上各有一根充要條件注意：若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況，得出結(jié)果，在令和檢查端點的情況。19函

10、數(shù)零點的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法.(4)零點定理：若y=f(x)在a,b上滿足f(a)f(b)0,N0）焦點所在軸：看分母的大小。另為更一般的形式 各自的意義。標(biāo)準(zhǔn)方程：（）焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)。2、雙曲線定義：把平面內(nèi)到兩個 統(tǒng)一形式： （ ）焦點所在軸：看項的 。另為更一般的形式基本性質(zhì)：， 各自的意義。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)。3、拋物線定義：基本性質(zhì)：，的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離。標(biāo)準(zhǔn)方程：，統(tǒng)一形式： 1）、 焦點為（），準(zhǔn)線為。 焦點所在軸：看一次項。 2）、焦點為（），準(zhǔn)線為。4、弦長公式的應(yīng)用斜率為k的直線與曲線相交與兩點A（），B（），則相交兩點的距離稱為弦長

11、。 這樣可以轉(zhuǎn)化為兩根之積，兩根之和來運算， 從而做到“設(shè)而不求”，簡化運算第二部分 立體幾何一、空間幾何體 空間幾何體在平面上的表示（畫法），三視圖，斜二測畫法。幾何體的面積和體積。1、多面體 2、旋轉(zhuǎn)體棱柱 棱錐 棱臺 圓柱 圓錐 圓臺 球3、三視圖正視圖：從前往后看； 側(cè)視圖：從左往右看； 俯視圖：從上往下看； 注意：正視圖與側(cè)視圖等高，正視圖與俯視圖等長，俯視圖與側(cè)視圖等寬。4、斜二測畫法畫水平面的直觀圖關(guān)鍵是軸與軸成（或），長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿Ｆ渌蛔儭?、面積1）、正方形 長方形 ； 平行四邊形 ； 梯形。2）、三角形 。即底高。特別地，邊長為a的正三角形的面積 。 直角邊為a的等

12、腰直角三角形的面積 。 多邊形面積通常把它們分解成多個三角形或四邊形的面積和求解3）、扇形 弧長（注意：為扇形的圓心角的弧度數(shù)）另外，角度化為弧度乘以，弧度化為角度乘以。； ； 。6、表面積和體積柱體 錐體 臺體 球 二、點、直線、平面的位置關(guān)系三種語言的轉(zhuǎn)化；點、線、面的位置關(guān)系；平行、垂直的性質(zhì)和判定。平面公理1 （文字語言） 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。圖形語言：符號語言：公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。圖形語言：符號語言：公理2三推論：1、經(jīng)過直線和直線外一點，有且只有一個平面。2、經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。3、經(jīng)過兩條平行直線

13、，有且只有一個平面。公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。2、空間中線與線的位置關(guān)系： 相交直線，平行直線，異面直線。其中，相交直線和平行直線都叫共面直線。 平行直線和異面直線都沒有公共點。公理4（平行公理）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線，我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）。特別的，當(dāng)所成的角是直角時，我們就說這兩條直線互相垂直。3、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 直線與平面相交

14、直線與平面平行其中直線與平面相交和直線與平面平行都叫直線在平面外。4、平面與平面之間的位置關(guān)系： 平面與平面平行 平面與平面相交三、平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)線面平行的定義：判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。2、平面與平面平行的判定判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。性質(zhì)定理：如果兩個平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。性質(zhì)：兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)任一直線和另一個平面平面。四、垂直的判定及其性質(zhì)1、直線與

15、平面垂直的判定線面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線直線與平面互相垂直。判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2、平面與平面垂直的判定及其性質(zhì)面面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直。判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。第三部分 向量一、基本概念：向量的定義 向量的模 零向量 單位向量 相反向量 共線向量 相等向量 二、加法與減法的運算及其幾何意義：1、代數(shù)運算(

16、1)、“首尾相接，首尾連”(2)、若a=（）,b=（）則ab=（）2、幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量=+,=,=三、向量的數(shù)乘運算及其幾何意義：實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量。(1)=;(2) 當(dāng)0時，與的方向相同；當(dāng)0時，與的方向相反；當(dāng)=0時，= (3)若=（），則=（）兩個向量共線的充要條件：(1) 向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得=(2) 若=（）, =（）則“兩內(nèi)之積等于兩內(nèi)之積”四、向量的數(shù)量積及其幾何意義：1、向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB=（）叫做向量與的夾角。

17、2、兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量則cos叫做向量與的數(shù)量積，記作。 所以=cos。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。3、向量的數(shù)量積的運算律：=;()b=()=();()=+4、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角若=（）,=（）則=0（，為非零向量）;=;變形求角cos=第四部分 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：1)、=0 這里C是常數(shù)。即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為。2）、特別地： ； 3）、； 4）、5）、； 6）、7）、 8）、2、導(dǎo)數(shù)的運算法則1）、和差的導(dǎo)數(shù) ；2)、積的導(dǎo)數(shù) ；特別地3）、商的導(dǎo)數(shù)。3、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何物理意義：1）、定義：一般地，函數(shù)

18、在處的瞬時變化率是我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或， 即。2）、幾何、物理意義表示過曲線y=f(x)上的點P()的切線的斜率。位移關(guān)于時間的函數(shù)表示瞬時速度（即時速度）。a=表示加速度。4、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：1）、求切線的斜率。2）、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，用導(dǎo)數(shù)來判斷很方便，我們一定要掌握好。若，則函數(shù)為增函數(shù)；若，則函數(shù)為減函數(shù)。題型：用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）、求導(dǎo)；（2）、令，解出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間；（3）、令，解出x的范圍為單調(diào)遞減區(qū)間3）、求極值、求最值。注意：導(dǎo)數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點，也就是說，函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在該點取極值的必要條件，而非充分條件。導(dǎo)數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性。法則：“兩邊導(dǎo)數(shù)改變?yōu)闃O值點”“左正右負(fù)，取得極大值”，“左負(fù)右正，取得極小值”。（一）、求函數(shù)極值的步驟：（1）求導(dǎo)；（2）令0，解方程求出所有根；（3）列表，根把在所求區(qū)間分為若干部分，分別判斷導(dǎo)數(shù)在各個區(qū)間的符號，根據(jù)