萬有引力、機(jī)械能及其守恒

1、疑難點(diǎn)清單（萬有引力與航天）一：萬有引力定律（1）開普勒第一定律：所有的行星圍繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓的，太陽處在所有橢圓的一個焦點(diǎn) 上。（2）開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。（3）開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。若用R表示橢圓軌道的半長軸，T表示公轉(zhuǎn)周期，則（k是一個與行星無關(guān)的常量）（4）萬有引力公式：適用條件：公式適用于質(zhì)點(diǎn)間萬有引力大小的計(jì)算。當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身 的大小時，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。另外，公式也適用于均勻球體間萬有引力大小的計(jì)算，只不過r 應(yīng)是兩球心間的距離。特別提醒：當(dāng)

2、告訴的是衛(wèi)星與地面的高度h時，應(yīng)注意公式中的r=R+h（易錯點(diǎn)）（5）萬有引力提供向心力：中心天體質(zhì)量M、密度e的計(jì)算以及根據(jù)巳知量求解未知量的計(jì)算例：17,皿10安徽哩T17）為了對火星段其周圍的空間環(huán) 量進(jìn)行探測，我國預(yù)計(jì)于2011年10月發(fā)射第一顆火 星探測器圣火一號七假設(shè)探測器在離火星表面高度 分別為加和加的圓軌道上運(yùn)動時；周期分別為丁和 北火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體,且忽略火星的 自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為G。僅利用以上數(shù)痢 可 以計(jì)算出火星的密度和火星表面的重力加速度P火星的質(zhì)量和火星對堂火一亨的引加火星的半徑和螢火一號的質(zhì)量D-火星表面的重力加速度和火星對魂火一亨的引 力u【答案

3、】A時（6）天體（如衛(wèi)星）運(yùn)動的線速度、角速度、周期、與軌道半徑r的關(guān)系例：1.據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“55Cancri e”該行 星繞母星（中心天體）運(yùn)行的周期約為地球繞太陽運(yùn)行周期的d，母星的體積約為太陽 480的60倍。假設(shè)母星與太陽密度相同，“55 Cancri 與地球的e”與地球做勻速圓周運(yùn)動，卜55 Cancri e”:60A.軌道半徑之比約為3商:60B.軌道半徑之比約為3頑2C向心加速度之比約為寺網(wǎng)x4803O.向心加速度之比約為尋60 Z曲解析，B 醵M太陽密度拘等，而鋼喲為風(fēng)倍，說明腿魁質(zhì)童是太陽起的仙倍.由萬有引力提供向心力可知6

4、嶂 二瀕丑5七，所以悴家 旦刊 與），代澎狼得到TAt ；.-E正確，由加諫度&=岑知道，加諫度之比為寸如中豹七 所以CD哉錯誤.2.為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1 圓軌道上運(yùn)動，周期為二，總質(zhì)量為山。隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更 近的半徑為七的圓軌道上運(yùn)動，此時登陸艙的質(zhì)量為m2，則X星球的質(zhì)量為M =箜藝3GT 2 1X星球表面的重力加速度為g =竺艾尤T 21登陸艙在r與r的軌道上運(yùn)動時的速度大小之比是匕=；華12v q m r登陸艙在r與r的軌道上做圓周運(yùn)動的周期為T = TM121，r 3 1.3.火星探測項(xiàng)目是我國繼神舟載人航天工程、嫦娥

5、探月工程之后又一個重大太空探索項(xiàng)目。假設(shè)火星探測器在火星表面附近圓軌道運(yùn)行的周期為T，神舟飛船在地球表面附近的圓形 1軌道運(yùn)行周期為，火星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為P，火星半徑與地球半徑之比為1，則與 T2之比為二：宇宙航行（1）第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：v1 =km/s，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的最大速度。（2）（3）第二宇宙速度（脫離速度）：v2= 第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=km/s，是衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。km/s，是衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。（4）近地衛(wèi)星：軌道半徑等于地球半徑，運(yùn)行速度為第一宇宙速度，也是衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度

6、。（5）地球同步衛(wèi)星：即相對于地面靜止，和地球自轉(zhuǎn)具有相同周期，同步衛(wèi)星必位于赤道正上方且 距地面的高度是一定的，赤道平面與軌道平面重合。h為同步衛(wèi)星距離地面的高度，故其軌道半徑r=R+h.注意：所有同步衛(wèi)星的線速度的大小、角速度及周期、半徑都相等。例：2. 2010年1月17日，我國成功發(fā)射北斗COMPASSG1地球同步衛(wèi)星.據(jù)了解這已是 北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)發(fā)射的第三顆地球同步衛(wèi)星.則對于這三顆已發(fā)射的同步衛(wèi)星，下列說法 中正確的是它們的運(yùn)行速度大小相等，且都小于7.9 km/s它們運(yùn)行周期可能不同它們離地心的距離可能不同它們的向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等關(guān)于邳繞她球M的衛(wèi)

7、扈F列說快正礎(chǔ)1*5丫分別沿IM機(jī)力和1圓貌道運(yùn)行的尚畿主不可俺H宥相同的周割&沿橢圓新道匝廳的一顆衛(wèi)星.在軌道不同位置可詭具有相同的速率在赤道上空遠(yuǎn)行的兩顆地球同步衛(wèi)星*它們的軌道半徑有可能不同沿不同孰道整過北京上空的兩籟衛(wèi)星.它們的觥itHFi 定會術(shù)舂16.一物體靜置在平均密度為P的球形天體表面的赤道上。已知萬有引力常量為G，若 由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為J%2B.f_U/AD.M2三：近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體三種勻 速圓周運(yùn)動的異同。軌道半徑：近地衛(wèi)星與赤道上物體的軌道半徑相同，同步衛(wèi)星的軌道半徑較大: 即：r同r近=r物?？芍?，近地衛(wèi)

8、星運(yùn)行周期：同步衛(wèi)星與赤道上物體的運(yùn)行周期相同。由 的周期要小于同步衛(wèi)星的周期，即：T近丁同=丁物。向心加速度：由可知，同步衛(wèi)星的加速度小于近地衛(wèi)星加速度。由可知，同步衛(wèi)星加速度大于赤道上物體的加速度，即：a近a同a物。四：雙星問題分析方法特點(diǎn)：1、各自需要的向心力由彼此間的萬有引力互相提供2、兩顆星的周期及角速度相同3、兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1+r2=L4、兩顆星到圓心的距離與星體質(zhì)量成反比5、雙星運(yùn)動的周期：6、雙星總質(zhì)量公式：確定雙星的旋轉(zhuǎn)中心：例：已知兩雙星的質(zhì)量I小叫，他們之間的距離為L,求各自g周運(yùn)動的半徑?廠俱叫2對ml: G號二二a = m2r2r 對 m2:

9、G 2 = niQf12 一 七+vL得兩星球的軌道半徑r2之比？他們的線速度vv必比對 H11：對m2:I?秫1%Cr 2=m2（j）r2= m2r2口= ZL =V2 r2V1例2、兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周 期相同的勻速圓周運(yùn)動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為足 其運(yùn)動周期為T,求兩星的總 質(zhì)量nB：設(shè)兩星質(zhì)量分別為H和I叱，都繞連城上。點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動，星球1和星球2到0的 距離分別為馬祖r2 -G普=叫（河l &礦（伊.G誓=攵2 JG駕=（業(yè)）2史、丁 ,rE 、t /:由-玷馬丁 0、! /.+得G 寥-二（節(jié)）（*+改）Jx1r 】+，2 =

10、 Rm. +=12 GT2五：衛(wèi)星變軌問題的分析方法、不清楚變軌原因?qū)е洛e解分析變軌問題時，首先要讓學(xué)生弄明白兩個問題:一是物體做圓周運(yùn)動需要 的向心力,二是提供的向心力。只有當(dāng)提供的力能滿足它需要的向心力時，即“供” 與“需”平衡時，物體才能在穩(wěn)定的軌道上做圓周運(yùn)動，否則物體將發(fā)生變軌現(xiàn) 象一一物體遠(yuǎn)離圓心或靠近圓心。當(dāng)衛(wèi)星受到的萬有引力不夠提供衛(wèi)星做圓周運(yùn) 動所需的向心力時，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，當(dāng)衛(wèi)星受到的萬有引力大于做圓周運(yùn)動 所需的向心力時衛(wèi)星將在較低的橢圓軌道上運(yùn)動，做近心運(yùn)動。導(dǎo)致變軌的原因 是衛(wèi)星或飛船在引力之外的外力，如阻力、發(fā)動機(jī)的推力等作用下，使運(yùn)行速率 發(fā)生變化，從而導(dǎo)致供

11、與需不平衡而導(dǎo)致變軌。這是衛(wèi)星或飛船的不穩(wěn)定運(yùn)行階段，不能用公式廣分析速度變化和軌道變化的關(guān)系。例一：宇宙飛船和空間站在同一軌道上運(yùn)動，若飛船想與前面的空間站對接， 飛船為了追上軌道空間站，可采取的方法是飛船加速直到追上空間站，完成對接飛船從原軌道減速至一個較低軌道，再加速追上空間站完成對接飛船加速至一個較高軌道再減速追上空間站完成對接無論飛船采取何種措施，均不能與空間站對接圖1錯解：選A。錯誤原因分析：不清楚飛船速度變化導(dǎo)致供與需不平衡而導(dǎo)致 出現(xiàn)變軌。答案：選B。分析：先開動飛船上的發(fā)動機(jī)使飛船減速，此時萬有引力大于所 需要的向心力，飛船做近心運(yùn)動，到達(dá)較低軌道時，由G% = m（攵）2r

12、得r 2TT = 2兀工，可知此時飛船運(yùn)行的周期小于空間站的周期，飛船運(yùn)行得要比空 GM間站快。當(dāng)將要追上空間站時，再開動飛船上的發(fā)動機(jī)讓飛船加速，使萬有引力 小于所需要的向心力而做離心運(yùn)動，到達(dá)空間站軌道而追上空間站，故B正確。 如果飛船先加速，它受到的萬有引力將不足以提供向心力而做離心運(yùn)動，到達(dá)更 高的軌道，這使它的周期變長。這樣它再減速回到空間站所在的軌道時，會看到 它離空間站更遠(yuǎn)了，因此C錯。二、不會分析能量轉(zhuǎn)化導(dǎo)致錯解例二：人造地球衛(wèi)星在軌道半徑較小的軌道A上運(yùn)行時機(jī)械能為E,它若進(jìn)入軌道半徑較大的軌道B運(yùn)行時機(jī)械能為E，在軌道變化后這顆衛(wèi)星（）A、動能減小，勢能增加，E EB、動能

13、減小，勢能增加，E=EC、動能減小，勢能增加，EVED、動能增加，勢能增加，EE錯解：選D。錯誤原因分析：沒有考慮到變軌過程中萬有引力做功導(dǎo)致錯解。答案：選A。要使衛(wèi)星由較低軌道進(jìn)入較高軌道，必須開動發(fā)動機(jī)使衛(wèi)星加速， 衛(wèi)星做離心運(yùn)動。在離心運(yùn)動過程中萬有引力對衛(wèi)星做負(fù)功，衛(wèi)星運(yùn)行速度的大 小不斷減小，動能不斷減小而勢能增大。由于推力對衛(wèi)星做了正功，因此衛(wèi)星機(jī) 械能變大。三、對橢圓軌道特點(diǎn)理解錯誤導(dǎo)致錯解例三發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其 沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火將衛(wèi)星送入同步圓軌道3,軌道1、2相切于Q 點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖2所示，則衛(wèi)星分別

14、在軌道1、2、3 上正常運(yùn)行時，下列說法正確的是A衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B衛(wèi)星在軌道3上角速度的小于在軌道1上的角速度C衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時 的加速度D衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度小于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度錯解：選BD。錯誤原因分析：不清楚衛(wèi)星在橢圓軌道近地點(diǎn)和遠(yuǎn)圖2地點(diǎn)時，加速度都是由萬有引力產(chǎn)生的，因此加速度相等。不清楚橢 圓軌道和圓軌道在同一個點(diǎn)的曲率半徑不相等，盲目套用圓周運(yùn)動的公式導(dǎo)致錯 解。疑難點(diǎn)清單（機(jī)械能及其守恒定律）重點(diǎn)掌握一功 功率（1）功是標(biāo)量，但有正負(fù)由W=FLcosa,可以看出：（2）合力的功：當(dāng)物體

15、在幾個力的共同作用下發(fā)生一段位移時，這幾個力的合力對物體所做的功，等于 各個力分別對物體所做的功的代數(shù)和。（3）A:功率是描述做功快慢的物理量，定義為功與完成這些功所用的時間的比值，所以功率的大小只與 功和時間的比值有直接聯(lián)系，與做功多少盒時間的長短無直接聯(lián)系，比較功率的大小，就要比較 這個值，比值越大，做功就越快，比值越小，功率就越小，做功就越慢。B：計(jì)算功率的兩種表達(dá)式：a：，用此公式求出的是平均功率。b:,若v為平均速度，則P為平均功率；若v為瞬時速度，則P為瞬時功率。C:發(fā)動機(jī)銘牌上所標(biāo)注的功率為這部機(jī)械的額定功率。機(jī)械運(yùn)行過程中的功率是實(shí)際功率，機(jī)械的 實(shí)際功率可以小于其額定功率，可

16、以等于其額定功率。二動能定理機(jī)械能守恒定律（1）動能定理：合外力對物體所做的功等于物體動能的變化。勢能A、重力勢能：選取統(tǒng)一的參考系，由物體所處位置的高度決定的能量稱為重力勢能，物體的 質(zhì)量越大、高度越高B、彈性勢能：發(fā)生形變的物體，在恢復(fù)原狀時都能夠?qū)ν饨缱龉Γ蚨哂心芰?，叫做彈?勢能，大小跟形變量大小有關(guān)系。例：.一蹦極運(yùn)動員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺下落，到最低點(diǎn)時距水面還有數(shù)米距 離。假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動員可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說法正確的是蹦極繩張緊后的下落過程中，運(yùn)動員的加速度先增大后減小運(yùn)動員從下落到達(dá)最低點(diǎn)前，速度先增大后減小蹦極過程中，運(yùn)動員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械

17、能不守恒蹦極過程中，重力勢能的改變量與彈性勢能的改變量總是相等（2）機(jī)械能守恒定律A、機(jī)械能：動能和勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能。即：B、機(jī)械能守恒定律：在只有重力（和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力）做功的情形下，動能和重力勢能（及彈性 勢能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。判斷機(jī)械能守恒的方法：a：分析物體系統(tǒng)所受的力，判斷重力以外的力（不管是系統(tǒng)內(nèi)部物體 的力還是系統(tǒng)外部其他物體施加給系統(tǒng)內(nèi)物體的力）是否對物體做 功，如果重力以外的力對物體系統(tǒng)做了功，則物體系統(tǒng)的機(jī)械能不 守恒，否則，機(jī)械能守恒。例：1下列關(guān)于功和機(jī)械能的說法，正確的是在有阻力作用的情況下，物體重力勢能的減少不等于重力對物體所做的功合力對物體所做

18、的功等于物體動能的改變量物體的重力勢能是物體與地球之間的相互作用能，其大小與勢能零點(diǎn)的選取有關(guān) C運(yùn)動物體動能的減少量一定等于其重力勢能的增加量速度為g，則小球從P到B的運(yùn)動過程中2 .如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓弧軌道，半徑OA水平、OB豎直，一 個質(zhì)量為m的小球自A的正上方P點(diǎn)由靜止開始自由下落，小球沿軌道到達(dá)最高點(diǎn) B時恰好對軌道沒有壓力。已知AP =2 R，重力 加A.重力做功2mgRB,機(jī)械能減少mgR合外力做功mgR克服摩擦力做功1 mgR3.將地面上靜止的貨物豎直向上吊起，貨物由地面運(yùn)動 至最高點(diǎn)的過程中，v -圖像如圖所示。以下判斷 正確的是前3s內(nèi)貨物處于超重狀態(tài)最

19、后2s內(nèi)貨物只受重力作用前3s內(nèi)與最后2s內(nèi)貨物的平均速度相同第3s末至第5s末的過程中，貨物的機(jī)械能守恒三用能量的觀點(diǎn)解決問題（1）功和能的關(guān)系：功是能量轉(zhuǎn)化的量度，做了多少功，就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化。（2）重力做功和和重力勢能的關(guān)系：重力做正功（負(fù)功），重力勢能減?。ㄔ龃螅?。（3）滑動摩擦力做功和物體內(nèi)能變化的關(guān)系：滑動摩擦力做功轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能等于滑動摩擦力乘以相對滑動的兩個物體的相對位移，即：Q=fs相。（4）靜摩擦力、滑動摩擦力都可以做正功，可以做負(fù)功，還可以不做功。17 .如圖（甲）所示，質(zhì)量不計(jì)的彈簧豎直固定在水平面上，t =0時刻，將一金屬小球從彈 簧正上方某一高度處由靜止釋放，小

20、球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點(diǎn)，然后又被彈起離 開彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復(fù)。通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測 出這一過程彈簧彈力F隨時間t變化的圖像如圖（乙）如示，則a . ti時刻小球動能最大B . t2時刻小球動能最大ct2 t3這段時間內(nèi)，小球的動能先增加后減少t2 t3這段時間內(nèi)，小球增加的動能等于彈簧減少的彈性勢能22. (15分)如圖所示，一工件置于水平地面上，其AB段為一半徑R=1.0m的光滑圓弧軌道，BC段為一長度L=0.5m的粗糙水平軌道，二者相切于B點(diǎn)，整個軌道位于同一豎直平面內(nèi)，P點(diǎn)為圓弧軌道上的一個確定點(diǎn)。一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，其質(zhì)量m=0.2kg， 與BC

21、間的動摩擦因數(shù)七=0.4。工件質(zhì)量M=0.8kg，與地面間的動摩擦因數(shù)七=0.1。(取 g=10m/s2)若工件固定，將物塊由P點(diǎn)無初速度釋放，滑至C點(diǎn)時恰好靜止，求P、C兩點(diǎn)間 的高度差h。若將一水平恒力F作用于工件，使物塊在P點(diǎn)與工件保持相對靜止，一起向左做 勻加速直線運(yùn)動。求F的大小。當(dāng)速度v=5m/s時，使工件立刻停止運(yùn)動(即不考慮減速的時間和位移)，物塊飛離圓 弧軌道落至BC段，求物塊的落點(diǎn)與B點(diǎn)間的距離。21.如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì) 管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、 下端固定的

22、輕質(zhì)彈簧。投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一 粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去。設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口 C時，對管壁的作 用力恰好為零。不計(jì)魚餌在運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧 的彈性勢能。已知重力加速度為g。求：質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口 C時的速度大小vi；彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能Ep；已知地面與水平面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線00,在90角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚 餌，魚餌的質(zhì)量在3m到m之間變化，且均能落到水面。持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？如圖所示，豎直平面

23、內(nèi)有一個半徑為R的半咖形孰誼OQP.K中Q是半曖形輪道 的中點(diǎn)，半圓形就諧.與水平枕道0E在。點(diǎn)拇切。質(zhì)量為也的小球匱水平輒道運(yùn)動通過 。點(diǎn)進(jìn)人半圓形軌謂，恰好能夠通時斌高點(diǎn)F,然后落到水平軌道上.不計(jì)一切摩擦阻勺, 下列說法正確的是 TOC o 1-5 h z A、小球落地時的劫能為幻5*R/T13小球落地點(diǎn)離。點(diǎn)的距一為紡! 小球適動到羋圓形象道最高點(diǎn)F時.向心力恰好為零j Q小球到達(dá)Q點(diǎn)的速度太小為必次E腹瞅?yàn)閙的衛(wèi)星用繞地球做勺速幽周運(yùn)動，其軌道半徑是地球半徑的2倍.已即 地球半徑為R*地球表面的重力加速度為育,則衛(wèi)星的動能是18 .如圖所示，質(zhì)量為m的小車在水平恒力F推動下，從山坡(粗糙)底部A處由靜止起 運(yùn)動至高為h的坡頂8,獲得速度為v，AB之間的水平距離為s，重力加速度為g.下列說 法正確的是 TOC o 1-5 h z 小車重力所做的功是mghF 合外力對小車做的功是|mv2/ h14- 推力對小車做的功是2mv2+mghI阻力對小車做的功是Fs -2mv2-mgh機(jī)械能守恒定律與動能定理的區(qū)別和聯(lián)系(見卡片)機(jī)車啟動問題(見卡片)重點(diǎn)難點(diǎn)易考點(diǎn)拓展訓(xùn)練1 一輛電動汽車的質(zhì)量為1 x 103 kg ,額定功率為2x104 W,在水