單自由度振動分析

1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)三級項目班級：冶金五班小組成員：邱林凱李海洋張富張富增指導(dǎo)老師：王健2017年4月18日第第 頁共18頁單自由度系統(tǒng)的振動單自由度振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立建立和分析有粘性阻尼時的自由度振動微分方程。以靜平衡位置為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)，由牛頓定律得運(yùn)動方程為13：/TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document mx+cx+kx=0(2-1)令ck2n=,w2=mnm其中n稱為衰減系數(shù)，單位為1S；w是相應(yīng)的無阻尼時的固有頻率,n式(2-1)可以寫為： HYPERLINK l bookmark14 o Current Docume

2、nt X+2nx+w2x=0(2-2)n如果進(jìn)一步令nG=-n其中無量綱的g稱為相對阻尼系數(shù)，則式（2-2）可寫為:X+2如x+w2x二0nn為了求解，令x=est代入（2-4）后得到特征方程：s2+2如s+W2二0nn他的兩個特征根為：s=一土七g2一11,2nn根據(jù)相對阻尼系數(shù)g的不同大小，可以將阻尼分為三種狀態(tài):g1時為過阻尼，g二1時為臨界阻尼，0g1，s與s是兩個不等的負(fù)實根，令12*Jg2一1n（2-9）初始條件x(0)=x,x(0)=x00（2-10）系統(tǒng)初始條件響應(yīng)為x（t）=e-gn（xch*t+凡sh*t）（2-11）0*臨界阻尼狀態(tài)g=1,s=-3是二重根，方程（2-4）

3、的通解為系統(tǒng)對式（2-10）的初始條件的響n應(yīng)為x(t)二e-nx+(x+wx)t(2-12)TOC o 1-5 h z00n0欠阻尼狀態(tài)G1，其中V1-g2(2-13)dn初始條件響應(yīng)/、/X+WX.、/CT八x(t)=e-湘(xcost+on-osmt)(2-14)0d(0dd參數(shù)設(shè)定與求解阻尼比g分別??；應(yīng)用Matlab對式(2-11)和(2-12),(2-14)求解。程序如下：clear,formatcompact;a=0.5;t=0:0.1:18;w0=1;k=1;x0=1;wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wdy=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t

4、)+(x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)figure(1),plot(t,y,r);holdona=1.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=1;x1=wd;y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t);figure(1),plot(t,y,d);holdona=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1);y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t);figure(l),plot(t,y,v);holdon結(jié)論：圖2-2為Matlab計算后給出的

5、響應(yīng)曲線，從中可以得到一些重要的結(jié)論：在01時，振蕩系統(tǒng)等同于兩個一階系統(tǒng)串聯(lián)。此時雖然不產(chǎn)生振蕩，但也需要經(jīng)過較長時間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。在一定的q之下，欠阻尼系統(tǒng)能夠更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值；而過阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲飩，動作緩慢，所以系統(tǒng)通常設(shè)計成欠阻尼系統(tǒng)，q取值為20.80.60.4-0.218t(S)4110.80.60.4-0.218t(S)4111iI0K,1a=2.01111111s.4a=0.50.2圖2-2算例繪制無阻尼單自由度系統(tǒng)的固有頻率和周期隨靜變形的變化曲線。固有頻率和周期Tnnrst取g=9.81m/s2?？梢岳孟铝蠱ATLAB程序畫出8在00.5范圍內(nèi)stn和T的變換曲線：n%E

6、x2_17.mg=9.81;fori=1:101t(i)=0.01+(0.5-0.01)*(i-1)/100;w(i)=(g/t(i)人0.5;tao(i)=2*pi*(t(i)/g)A0.5;endplot(t,w);gtext(w_n);holdon;plot(t,tao);gtext(T_n);xlabel(delta_s_t);title(Example2.1);單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(2-15)簡諧激勵是激勵形式中最簡單的一種，雖然它在實際中存在的場合比較少但掌握系統(tǒng)對于簡諧激勵的響應(yīng)的規(guī)律，是理解系統(tǒng)對周期激勵或更一般形式激勵的響應(yīng)基礎(chǔ)。圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，質(zhì)量塊上作用有簡諧激

7、振力(2-15)P(t)=P0sintmxk-nmxk-nc其中P為激振力幅，o為激振頻率。以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立0(2-16)圖示的坐標(biāo)系。從圖的受力分析，得到運(yùn)動微分方程為:(2-16)mx+cx+kx=psinot由常微分方程理論知道，方程(3.2)的通解x由相應(yīng)的齊次方程的通解x和非齊次方程的任意特解x兩部分組成，即hp(2-17)x(t)二x(t)+x(t)(2-17)hp當(dāng)欠阻尼時，式中x(t)為有阻尼自由振動，它的特點(diǎn)是振動頻率h為阻尼固有頻率，振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，稱為瞬態(tài)振動或瞬態(tài)響應(yīng);x(t)是一種持續(xù)的等幅振動，它是由于簡諧激勵振力的持續(xù)作用而產(chǎn)p生的，稱之為穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振

8、動或穩(wěn)態(tài)振動，在間隔充分長時間考慮的振動就是這種穩(wěn)態(tài)振動，而在剛受到外界激勵時，系統(tǒng)的響應(yīng)則是上述兩種振動之和。可見，系統(tǒng)受簡諧激勵后的響應(yīng)可以分為兩個階段,開始的過程稱為過渡階段，經(jīng)充分長時間后，瞬態(tài)響應(yīng)消失這時進(jìn)入過渡階段，經(jīng)充分長時間后，瞬態(tài)響應(yīng)消失，這是進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段。將方程（2-15）的兩端同除以質(zhì)量m，并且令二22（2-18）mn其中G為相對阻尼系數(shù)，為相應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)的固有頻率，則n方程（2-15）成為X+2wx+w2x=-Posint（2-19）nnm上述方程特解可以通過x=Bsint-Q）或者x=Acost+Bsint來求得，這里介紹用復(fù)數(shù)方法求式（2-19）的特解。先將式（2

9、-19）寫為下列的復(fù)數(shù)形式x+2grnx+2x二0e（2-20）nnm(2-21)其中x(2-21)x二Be；其中B稱為復(fù)振幅，其意義是包含有相位的振幅。將式（2-21）代入（2-20），解得(2-22)-P(2-22)B=rm22+i2gnn記X為頻率比，它定義為(2-23)則式（2-22）可以寫成(2-24)B=P(2-24)k1九2+九k(12)2+(2X)2式中B二旦=（2-25）k丫（1兀）2+（2X）2tg-1芋（2-26）1X2將式（2-24）代入（2-21）,得到復(fù)數(shù)形式的特解為(2-27)x=Bei（-申(2-27)比較方程（2-17）與（2-18）,可知（2-19）中的位移

10、x是（2-20）中復(fù)數(shù)x的虛部，因此（2-25）的虛部就是方程（2-12）的特解，即有(2-28)x=Bsin(t一甲(2-28)其中B為振幅，申為相位差。由式（2-26）、2-23）及（2-24）得出穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動有如下的基本特點(diǎn)：1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激勵頻率而相位滯后與激振力的簡諧振動；2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位差只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振的頻率及力幅，而與系統(tǒng)本身進(jìn)入運(yùn)動的方式無關(guān)。無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以從式（2-26）得出。當(dāng)時，得到X1,屮=兀，這時nP1x=0sin（t-兀）（2-23）kX21式（2-21）也可以寫成（2-22）的形式，這時相

11、位差反映在振幅的符號中。上述結(jié)果也可以由直接設(shè)x=Bsinot并代入下列方程而得到:mx+kx=Psin&t(2-24)0為了具體討論影響穩(wěn)定響應(yīng)的振幅和相位差的各種因素，記PB=(2-25)0kB實際是質(zhì)量塊在激振力幅靜作用下的最大位移。再引入無量綱的振幅放大因子0，它定義為P=1(2-26)B0W-S+0)2由式(2-26)和(2-19)可以分別畫出以相對阻尼系數(shù)G為參數(shù)的曲線一一0-九曲線與*-九曲線，前者稱為幅頻響應(yīng)曲線，后者稱為相頻響應(yīng)曲線如圖所示程序如下forkesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0lamda=0:0.01:5.0;beta=

12、1./(sqrt(1-lamda.人2).人2+(2*kesai*lamda).人2);plot(lamda,beta)holdonendaxis(0503);偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動振幅放大因子(2-27)MB_(2-27)me.(I九2)2+(2詼)2程序如下:forkesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50lamda=0:0.01:5.0;beta=lamda./(sqrt(1-lamda.人2).人2+(2*kesai*lamda).人2);plot(lamda,beta)holdonendaxis(0503);支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動振幅放大因子(2-28)

13、B_：1+(2-28)_a一：(1-2)2+(2gX)2程序如下：forkesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0lamda=0:0.01:5.0;beta=sqrt(1+(2*kesai*lamda).人2)./(1-lamda.人2).人2+(2*kesai*lamda).人2);plot(lamda,beta)holdonendaxis(0503);子因大放幅振5055子因大放幅振5055154算例利用MATLAB,繪制彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在簡諧力作用下的響應(yīng)曲線。已知數(shù)據(jù)如下：m二5kg,k二2000N/m,F(t)二100cos30tN,x二0.1m,

14、X二0.1m/s。00系統(tǒng)全解形式如下：x(t)=ssint+(x-0)cost+0costn022n22nnn式中，F(xiàn)100F1000=m5=20rad/s,=30rad/s利用MATLAB繪制解曲線上式的程序如下：%Ex3_ll.mF0=100;wn=20;m=5;w=30;x0=0.1;x0_dot=0.1;f_O=FO/m;fori=1:101t(i)=2*(i-1)/100;x(i)=x0_dot*sin(wn*t(i)/wn+(x0-f_0/(wnA2-wA2)*cos(wn*t(i)+f_0/(wnA2-wA2)*cos(w*t(i);endplot(t,x);xlabel(t);ylabel(x(t);title(Ex3.11)Ex3.11小結(jié)基于MATLAB對單自由度自由振動繪制振動圖像，進(jìn)行粘性阻尼，強(qiáng)迫振動振幅放大因子繪圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，使振動數(shù)據(jù)更加明顯?？偨Y(jié)與心得經(jīng)過多天的工作，我們四人小組終于完成了這個項目。期間經(jīng)歷了很多，首先在確定題目時就產(chǎn)生了分歧，但我們靜下心來，通力合作，激烈討論，以解決問題。選擇了單自由度這個題目，雖然簡單，但卻代表了結(jié)構(gòu)動力學(xué)對大體內(nèi)