焦半徑公式的證明

1、時(shí)間：2021.02.07命題人：歐陽物焦半徑公式的證明【尋根】橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的立義：到兩定點(diǎn)凡Fz (|=2e)距 離之和為左值2a (2a2c)的動(dòng)點(diǎn)軌跡(圖形).這里，從橢圓的“根上”找到了兩個(gè)參數(shù)c和a.第一個(gè)參數(shù)c,就確泄了橢圓的位置：再加上另一個(gè)參數(shù)a,就確左了橢圓的形狀 和大小.比較它們的“身份”來，c比a更“顯貴”.遺憾的是，在橢圓的方程護(hù)里，卻看不到C的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有“忘本”之嫌.為了 “正本”，我們回到橢圓的焦點(diǎn)處，尋找6并尋找關(guān)于C的“題根”用橢圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式數(shù)學(xué)題的題根不等同數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，數(shù)學(xué)教學(xué)的根基是數(shù)學(xué)概念，如橢圓教

2、學(xué)的 根基是橢圓的左義但是在具體數(shù)學(xué)解題時(shí)，不一泄每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù) 學(xué)泄義引出來的某些已知結(jié)論(立理或公式)出發(fā)，如解答橢圓問題時(shí)，經(jīng)常從橢圓的 方程出發(fā).【例1】已知點(diǎn)P(AS蘭+疋=1 是橢圓護(hù)上任意一點(diǎn)，片(-&0)和cc_ x XE(gO)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)求證：PFj“a : PF：F - a .【分析】可用距離公式先將PF：和處I分別表示出來然后利用橢圓的方程“消yn即可.【解答】由兩點(diǎn)間距離公式.可知蘭十疋=1從橢圓方程/護(hù) 解岀代（2）于（1）并化簡，得a十a(chǎn)PF、二 a (Wa)a- 7L同理有PF：二 攵（-aWxWa）【說明】通過例1，得岀了橢圓的焦半徑公式n

3、=a-exraex）從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點(diǎn)尸（為刃橫坐標(biāo)的一次函數(shù).星是x 的增函數(shù)，匕是X的減函數(shù)，它們都有最大值a*c,最小值a-c.從焦半徑公式，還 可得橢圓的對(duì)稱性質(zhì)（關(guān)于再y軸，關(guān)于原點(diǎn)）.二、用橢圓的定義求橢圓的焦點(diǎn)半徑用橢圓方程推導(dǎo)焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的 成立是以橢圓方程為其依賴的為了看淸焦半徑公式的基礎(chǔ)性，我們考慮從橢圓左義直 接導(dǎo)出公式來.橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標(biāo)化”后的產(chǎn)物，按橢圓左義，對(duì)焦半徑直接用距 離公式即可.【例2 P （a; y）是平而上的一點(diǎn)，尸到兩泄點(diǎn)F： （-c, 0） , F： （c, 0）的距離的 和

4、為2a （acQ）.試用x, y的解析式來表示耳二朋和rp PF：.【分析】問題是求匕二f（.V）和匕它（0 .先可視-V為參數(shù)列岀關(guān)于芯和匕的方程 組，然后從中得出和孔.【解答】依題意，有方程組 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document q十勺=2(z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document PF |= ePD |=)=(7 +即同理有 rFapx.X= +對(duì)中學(xué)生來講，橢圓的這個(gè)第二定義有很大的“人為性” 準(zhǔn)線 卍缺乏足義的“客觀性因此，把橢圓的第二泄義視作橢圓的一條性質(zhì)左理更符合

5、邏輯性.【例3】P5 y）是以兀（-6 0），匹（c, 0）為焦點(diǎn)，以距離之和為2&的橢圓a2上任意一點(diǎn).直線1為X=- C , PD_1交1 Di.求證：I陽11【解答】由橢圓的焦半徑公式PF：二Mr:對(duì)I冋用距離公式PD 二乂- c2十 r X+【例4】設(shè)點(diǎn)PZ蘭十疋=1y）適合方程/訃 求證:點(diǎn)Pg y）到兩泄點(diǎn)片1111故有【說明】此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點(diǎn)，到泄點(diǎn)A（-C.0）（尺（G0）與泄a2a1直線厶:w- c （厶：“C ）的距離之比為左值e （0el）用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現(xiàn)行教材在橢圓部分，只完成了 從曲線到方程”的單向推導(dǎo)，實(shí)際上這只完 成了任務(wù)的一半而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學(xué)生（關(guān)于這一點(diǎn)，被 許多學(xué)生所忽略了可逆推導(dǎo)過程并不簡單，特別是逆過程中的兩次求平方根）.其實(shí)，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明.（p0）和尺（6 0）的距離之和為2a【分析】這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程利用例2導(dǎo)岀的焦 點(diǎn)半徑公式，很快可推出結(jié)果.【解答】PJ y）到疋（-o,0）的距離設(shè)作曠二朋|由橢圓的焦點(diǎn)半徑公式可知同理還有+得rt+r2a即PF, + PF：二2乩即Pg y0到兩立點(diǎn)尺（-6 0）和乙（gO）的距離之