奧數(shù)專題練習(xí)-盈虧問題

1、- - -復(fù)雜盈虧問題【專題知識點概述】盈虧問題是一類生活中很常見的問題.按不同的方法分配物品時，經(jīng)常發(fā) 生不能均分的情況.如果有物品剩余就叫盈，如果物品不夠就叫虧，這就是盈 虧問題的含義. TOC o 1-5 h z 1【授課批注】本節(jié)與實際生活練習(xí)較為緊密，生活中經(jīng)常遇到此類問題，學(xué)生較感興趣。合理提煉分配的總量和份數(shù)（單位量），能夠在多個條件下，統(tǒng)一關(guān)系?？谠E：同相減，異相加，除以分配差，每后是單位。J解題步驟：四部曲廣【授課批注】、注意總量與份數(shù)（單位量）是恒定不變的，能夠?qū)⒍鄠€條件統(tǒng)一到統(tǒng)一條件關(guān)系下，利用【重點難點解析】1.理解掌握并運用直接計算型盈虧問題;.理解掌握條件轉(zhuǎn)換型盈虧

2、問題;.理解掌握關(guān)系互換型盈虧問題.【習(xí)題精講】【題型一】基本盈虧條件的轉(zhuǎn)化2張信紙，乙每封甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用20張信紙，乙用完所有信信用3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下紙還剩下10個信封，則他們每人各買了多少張信紙？【分析與解】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙.這是盈方問題，盈方總額為（20 +30） 張信紙，兩次分配的差為（3 2）張信紙，所以有信封（20 + 30） + （3 2） = 50（個），有信紙 2X 50+20= 120（張）.小同有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中 2分幣比5分幣多22個；按錢數(shù)算，5分 幣

3、卻比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣.小同共存了多少錢 ？【分析與解】假設(shè)去掉22個2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3分，所以5分幣有：84 +（5 2）=28（個）2 分幣有：28 + 22=50（個）5X 28+2 X 50+1 X 36= 140 + 100 + 36= 276（分）.、實驗小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學(xué)生？【分析與解】每輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐 60+5=65人，則多出一輛車，也就是差 65人.因此車輛數(shù)目為：（65+15）

4、+ 5=80+5=16 （輛）.學(xué)生人數(shù)為：60 X （ 16-1 ） +15=60 X 15+15=900+15=915 （人）.答：一共有16輛車，915名學(xué)生.用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多 5米；如果繩子3折時，差4米.求繩子長度和井深.【分析與解】井的深度為：（5X 2+4X 3） + （ 3-2 ） =22+1=22 （米）.繩子長度為：（22+5） X 2=27X 2=54 （米），或者 （22-4） X 3=18X3=54 （米）王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車 500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車 600米，就可以比上課時間提前 2分鐘到校.王老師家到學(xué)

5、校的路程是多少米？【解析】 遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：500X 3=1500 （米），提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：600X2=1200 （米）王老師家到學(xué)校需要（1500+ 1200） + （ 60-50 ） =270 （分鐘），王老 師家到學(xué)校的路程：500 X （270+3） = 136500 （米）學(xué)校規(guī)定上午8時到校，小明去上學(xué)，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學(xué)校的路程是多少？【解析】 小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60X 10= 600 （米）；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到

6、校，即到校后還可多走50X8=400 （米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走6050= 10（米），就可以多走600-400=200（米），從而可以求出小明由家到校所需時間.10分種走多少米？ 60X10=600 （米），8分種走多少米？ 50X 8=400 （米），（3）需要時間：（600400） + （ 6050） = 20 （分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校.（4）由家到校的路程：60 X （2010） =600 （米）或：50 X （208） = 600 （米）.【題型二】分配方案要統(tǒng)一！ ！ ！小胖的爺爺買回一筐梨，分給全家人.如果小胖和小妹二人每人分4個，其余每人分2個

7、，還多出4個，如果小胖1人分6個，其余每人分4個，又差12個.問小胖家有多 少人？這筐梨子有多少個？【分析與解】第一次分法是小胖、小妹各4個，其余每人2個，多余4個.假設(shè)小胖、小妹也分 2個，那么會多多少個梨呢？很容易想，那就會多出：2X 2+4=8 （個）.第二次分法是小胖一人得 6個，其余每人4個，差12個，假如小胖也只分 4個呢，那么就 只差：12-2=10 （個）.這樣一想，就變成和前面講的例子一樣了解小胖家的人數(shù)為：2X2+4+ （12-2） + 2= （8+10） + 2=9 （人）.梨子數(shù)為：4X2+2X （9-2） +4=8+14+4=26 （個）,或者 6+4 X （ 9-1

8、 ） -12=6+32-12=26 （個）.答：小胖家有9人，這筐梨有26個.實驗小學(xué)少先隊員去植樹.如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中 2人各種4棵，其余的人各種 6棵，這些樹苗正好種完.問有多少少先隊員參加植樹，一共種多少樹苗？【分析與解】這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵,其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況一一 2人各種4棵，其 余的人各種6棵.如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種6棵，那么，就可以多種樹（6 4） X2=4（棵）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種； 如果每人種6棵樹苗

9、，還缺4棵.問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？人數(shù)：3 + （64） X 2 + （65） =7 （人），棵數(shù)：5X7+3=38 （棵）或 6X74=38 （棵）.【鞏固】 少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖 6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名 少先隊員？共挖了多少樹坑？【解析】 這是一個典型的盈虧問題，關(guān)鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即：應(yīng)該統(tǒng)一成每人挖6個樹坑，形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。 那么它就相當(dāng)于每人挖 6個樹坑，就要差（6-4） *2=4 個樹坑。這樣，

10、盈虧總數(shù)就是3+4=7,所以，有少先隊員 7/ （6-5） =7名，共挖了5*7+3=38個坑。 盈虧總數(shù)等于3+ （6-4） *2=7 ,少先隊員有7/ （6-5） =7名，共 挖了 5*7+3=38個樹坑。國慶節(jié)快到了，學(xué)而思學(xué)校的少先隊員去擺花盆.如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺 6盆，這些花盆正好擺完.問有多少少先隊員參加 擺花盆活動，一共擺多少花盆？【解析】這是一道有難度的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完， 這組條件中包含著兩種擺花 盆的情況一一2人各擺4盆，其余的人各擺 6盆.如

11、果我們把它統(tǒng)一成一種情況， 讓每人都擺6盆，那么，就可以多擺 （6-4區(qū)2 =4（盆）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為： 如果每人各擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果每人擺6盆花，還缺4盆.問有多少 少先隊員，一共擺多少花盆？人數(shù)：3+（64）尺 子（6-5）=7（人），盆數(shù)：5 M7 +3 =38（盆）或 6 M7 -4 =38（盆）.【題型二】總量和單位量是不變的數(shù)，題目中有兩個總量或單位量 時要轉(zhuǎn)化為一個。兩個單位量：食堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？【分析與解】這里有兩種肉，思考起來比

12、較困難，能否化為一種肉的問題呢？仔細分析一下已知條件，買牛肉18千克差4元，而買豬肉20千克還多2元，說明牛肉貴一些.每千克貴8角，如果18千克牛肉換成18千克豬肉，就要少花8X18=144 （角）=14元 4 角.這樣就會多出14元4角-4元=10元4角.因此問題就可變?yōu)椋骸靶±钯I豬肉18千克多余10元4角，買20千克多余2元，求豬肉單價和錢數(shù)雖然兩次都是盈余，仍屬盈虧問題，不過豬肉單價= 兩次錢的差+兩次千克量差 .解 由已知條件知牛肉比豬肉貴，每千克貴8角.18千克牛肉比18千克豬肉貴8X18=144 （角）=14元 4 角.因此小李若買18千克豬肉就會多余14元4角-4元=10元4角.

13、由已知小李買20干克豬肉多余2元，所以豬肉每千克價格為（104-20 ） + （ 20-18 ） =84 + 2=42 （角）=4元 2 角.所以牛肉每千克價格為：4元2角+8角=5元.小李帶的錢為：4.2 X 20+2=86 （元）.李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為 8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢.問：李媽媽帶了多少錢？【分析與解】（法1） “李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋”，這三袋洗衣粉多花 8X3=24 （元），又因為花的錢總數(shù)一樣多，所以在買碧浪洗衣粉的時候要把這些錢補上，而 碧浪比雕牌每袋貴 2元，所

14、以要買碧浪洗衣粉袋數(shù)24+2=12 （件）.這樣李媽媽帶的錢數(shù)是 10X 12= 120 （元）.（法2）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數(shù)量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3X8= 24 （元），根據(jù)普通的盈虧問題解法，買碧浪洗衣粉的數(shù)量是：24+ （ 108） =24+ 2= 12 （件），所以李媽媽帶的錢數(shù)是：12X10=120 （元）.四班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果.如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元.已知每千克芒果比奶糖貴 2元，那么，輔導(dǎo)員老 師帶了 元錢.這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會多出 13M 2 = 26元

15、，所以這 筆錢買13千克奶糖會多出26 -4 = 22元.而這筆錢買15千克奶糖會多出2元，所以每千克 奶糖的價格為：（22-2）+（15-13）=10 （元）.輔導(dǎo)老師共帶了 10父15+2=152元兩個總量：、總量之間是和差幼兒園把一袋糖果分給小朋友.如果分給大班的小朋友，每人 5粒就缺6粒.如果分給小班的小朋友，每人 4粒就余4粒.已知大班比小班少 2個小朋友，這袋糖果共有多少粒？【分析與解】如果大班增加2個小朋友，大、小班人數(shù)就相等了，變?yōu)椤懊咳?5粒缺16粒，每人4粒 多4粒” 的盈虧問題.小班有（16+4） + （54） =20（人）.這袋糖果有 4X20+ 4= 84（粒）. 總

16、量之間是倍數(shù) 王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？ 【分析與解】因為桔子每人分3個多4個，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個就多8個.又已知 蘋果每人分7個少5個，所以應(yīng)有（8+5） + （6-5） =13 （人）.蘋果個數(shù)為13X7-5=86 （個）.桔子數(shù)為13X3+4=43 （個）.答：有13個小朋友，86個蘋果和43個桔子.學(xué)而思學(xué)校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍 14副，則差30副，問：學(xué)而思學(xué)校買來羽毛球

17、拍、乒乓球拍各多少副？【分析與解】因為羽毛球拍是乒乓球拍的 2倍，如果每次分羽毛球拍 5X 2=10（副）,最后應(yīng)余下15X2=30 （副），因為14-5X2=4 （副），分到最后還差 30副，所以比每次分 10副總共差30+30=60 （副）,所以有小組：60+4=15 （組），乒乓球拍有：5X 15+15=90 （副），羽毛球拍90X 2=180 （副）.體育隊將一些羽毛球分2若干個人，每人5個還多余10個羽毛球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分 2個羽毛球還缺少 8個，問有羽毛球多少個？【分析與解】考慮人數(shù)增加3倍后，相當(dāng)于按原人數(shù)每人給 2X3=6 （個），每人給5個與給6個，總數(shù) 相差

18、10+8=18 （個），所以原有人數(shù) 18 +（ 65） = 18 （人），乒乓球總數(shù)是 5X18+10 = 100 （個）.臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到 3倍還少5只，那么每只大熊貓分 2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大 熊貓多少只，竹子多少棵？使同學(xué)們感到困難的是條件“ 3倍還少5只大熊貓”.先要轉(zhuǎn)化這一條件，假設(shè)還有10棵竹子，10 =2父5 ,就可以多有 5個大熊貓，把“少 5只大熊貓”這一條件暫時擱置一邊, 只考慮3倍大熊貓數(shù)，也相當(dāng)于按原大熊貓數(shù)每只大熊貓給 2父3 = 6（棵）竹子，每只大熊貓 給5棵與給6棵，總

19、數(shù)相差10+10+8 =28（棵），所以原有大熊貓數(shù) 28-（65） =28（只）， 竹子總數(shù)是 5x28 +10 =150 （棵）.【題型四】放堆堆 固定一個不動 把誰分給誰有若干個蘋果和梨，如果按 1個蘋果配3個梨分一堆，那么蘋果分完時，還剩 2個梨；如 果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時，還剩半個蘋果.問梨有多少個？【分析與解】1個蘋果配3個梨，多2個梨；半個蘋果配 2個梨，即1個蘋果配4個梨，剩半個蘋果，即 少2個梨.蘋果有（2+2） + （4-3） =4 （個），梨有 3 X 4+2=14 （個）.有若干個蘋果和若干個梨.如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；

20、如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個？【解析】容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到.原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配” 2個梨，第二種方案是 3個蘋果“搭配” 5個梨.如果將這兩種方案統(tǒng)一為 1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了.將原題條件變?yōu)椤?個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/ 3個梨，多1個梨”， 此時盈虧總額為4+1=5（個）梨，兩次分配數(shù)之差為 25/3 =1/3（個）梨.所以有蘋 果（4 +1）+（2 -5/ 3） =15（個），有梨 15x24 =26（個）.四（2）班在這次的班級評比中，獲得了

21、 “全優(yōu)班”的稱號.為了獎勵同學(xué)們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮.劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學(xué)生.如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時橡皮還剩5塊；如果每堆有 3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時還剩 5支鉛筆.那么，劉老師一共買了多少塊橡皮？多少支鉛筆？【解析】如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆 分，則剩下10+5=15（支）鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可 以分成：15+（65）=15（堆），所以，橡皮數(shù)為：15X3=45（塊），鉛筆數(shù)為：15X6 10=80（支）.小白兔和小灰兔各有若干只.如果5只小白

22、兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多 12只.那么小白兔和小灰兔共有多少只？【分析與解】“7只小白兔和3只小灰兔裝一個籠子，小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說明小白兔少了 12+3X7 = 28 （只），這樣原來籠子數(shù)有：（28 + 4） + （75） = 16 （個），所以小白兔有16X5+4 = 84 （只），小灰兔有16X3=48 （只），合起來有 84 + 48= 132 （只）.四（2）班在這次的班級評比中，獲得了 “全優(yōu)班”的稱號.為了獎勵同學(xué)們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮.劉老師把

23、這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學(xué)生.如果每堆有 1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時還剩5支鉛筆.那么，劉老師一共買了多少塊橡皮？多少支鉛筆？【分析與解】如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按 3塊橡皮、5支鉛筆分，則 剩下10+5=15（支）鉛筆，但如果按 3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成： 15+（65）=15（堆），所以，橡皮數(shù)為：15X3=45（塊），鉛筆數(shù)為：15X 610=80（支）.二、訓(xùn)練營地.一些橘子分給若干人，每人5個余10個橘子。如果人數(shù)增加到3倍還少5人, 那么每人分2個還缺8個，有橘子多少個？.有一些蘋果和梨，蘋果的數(shù)量是梨的4倍少2個，如果每次吃掉5個蘋果和2個梨，當(dāng)梨吃完還剩下40個蘋果。有多少個蘋果？.小明花19元買了 10本練習(xí)本和10支鉛筆，他還有余錢。如果要買1支鉛筆, 就多0.3元；如果再買一本練習(xí)本就少 o. 2元。小明原有多少元？.小明從家到校，如果每分鐘走 120米，則早到3分鐘；如果每分鐘走90米, 則遲到2分鐘。小明家到學(xué)校多少米？.學(xué)校園林科有一批樹苗，交給若干名學(xué)生去栽，一次一次往下分，每次分一棵, 最后剩下12棵，不夠分了。如果再拿來8棵，那么每個學(xué)生正好栽10棵。參加