北大高代課件高等代數(shù)第5章

1、第5章 二次型二次型及其矩陣表示標(biāo)準(zhǔn)形唯一性正定二次型 二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線或二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題.第5.1節(jié) 二次型及其矩陣表示 這里首先介紹一些基本概念.基本內(nèi)容二次型的概念線性替換矩陣合同 稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型.稱為二次型的系數(shù).1.二次型的概念(1)二次型定義(2)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含有平方項(xiàng)的二次型，即稱為標(biāo)準(zhǔn)形. 例如：一般二次型標(biāo)準(zhǔn)型(3)二次型的矩陣表示二次型f 與對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)的. 稱A為二次型f 的矩陣；稱A的秩為二次型f 的秩.二次型f 的標(biāo)準(zhǔn)形與對(duì)角矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.二次型的矩陣表示例1 寫出二次型的矩陣解簡(jiǎn)稱線性替換.2.線性

2、替換定義問(wèn)題：二次型經(jīng)過(guò)可逆的線性替換仍為二次型，新老二次型的矩陣之間關(guān)系如何？設(shè)有二次型經(jīng)過(guò)可逆線性替換X=CY，有3.合同矩陣定義：設(shè)A、B為數(shù)域P上n階矩陣，如果有數(shù)域P上可逆矩陣C，使 CTAC=B稱A與B合同.合同是矩陣之間的一種關(guān)系，具有反身性對(duì)稱性傳遞性結(jié)論：經(jīng)過(guò)非退化的線性替換，新老二次型的矩陣是合同的. 以下考慮利用非退化的線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題配方法、初等變換法.定理 數(shù)域P上任意二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形. 先以具體例子體現(xiàn)該定理內(nèi)容，然后給出定理證明.1.配方法例1 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的非退化線性替換.解 (1)由于f 中含有x1的平

3、方項(xiàng),首先把含x1的項(xiàng)歸并起來(lái)進(jìn)行配方，得第5.2節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)形則非退化線性替換XCY化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：解 (2)由于f 中不含有平方項(xiàng),首先令所求非退化線性替換為XCZ，這里配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（小結(jié)） 利用和的平方公式逐步消非平方項(xiàng)（交叉項(xiàng)）.(1)若二次型含有xi的平方項(xiàng)，則把含有xi的項(xiàng)集中,再按xi配成平方項(xiàng)，其余類推，直至都配成平方項(xiàng)； (2)若在二次型中沒(méi)有平方項(xiàng),但aij0(i j),則首先作非退化線性替換：化二次型為(1)的情形，再配方. 定理證明：對(duì)變量的個(gè)數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納法.n=1時(shí)， f(x1)=a11x12為標(biāo)準(zhǔn)形.假設(shè)對(duì)n-1元二次型結(jié)論成立，再設(shè)關(guān)于x2,xn的二次型

4、 由歸納法假定，有非退化線性替換于是非退化線性替換 (2)aii=0(i=1,2,n),但有a1j0(j1), 不妨設(shè)a120.令為n-1元二次型，由歸納法假設(shè)它可以化為標(biāo)準(zhǔn)形. 綜上所述，證畢. (3)a1j=0(j=1,2,n),由對(duì)稱性ai1=0(i=1,2,n), 此時(shí)上述定理也可用合同關(guān)系敘述為： 數(shù)域P上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣.2.初等變換法配方法的矩陣實(shí)施過(guò)程： （自看）內(nèi)容回顧:定理 數(shù)域P上任意二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.1.配方法用合同關(guān)系敘述為： 數(shù)域P上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣.2.初等變換法對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣，即有可逆矩

5、陣C使 CT AC=為對(duì)角矩陣. 由于C為可逆矩陣，因此可以寫成一系列初等矩陣的乘積,即 C=P1,P2 Ps ,從而 CTAC=PsTP2TP1T AP1,P2 Ps=. 由于初等矩陣有三種類型:P(i,j) , P(i(k) , P(i,j (k) 且P(i, j)T = P(i, j) ,P(i(k)T= P(i(k) ,P(i,j (k)T= P(j,i (k)于是 P(i, j)TA P(i, j)= P(i, j)A P(i, j) P(i(k)TA P(i(k)= P(i(k)AP(i(k) P(i,j (k)TAP(i,j (k)=P(j, i(k)AP(i,j (k)定理表明

6、：對(duì)A的行每作一次初等變換的同時(shí)，也對(duì)A的列作相同的初等變換，經(jīng)過(guò)若干次這樣的雙變換就可把A化為對(duì)角矩陣.第 i 列 的k 倍加到第 j 列初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟： (1)構(gòu)造2n n矩陣 (2) 例2 用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求相應(yīng)的非退化線性替換.解 二次型f 的矩陣 于是 則可逆線性變換X=CY化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形思考練習(xí)第5.3節(jié) 唯一性（二次型的規(guī)范形）要說(shuō)的話：一個(gè)二次型 f (x1,xn)=XTAX ，用不同的非退化線性替換均可將其化為標(biāo)準(zhǔn)形, 因此其標(biāo)準(zhǔn)形不惟一.但需要指出的是:盡管標(biāo)準(zhǔn)形不惟一,但標(biāo)準(zhǔn)形中非零平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)唯一確定, 它等于二次型的秩r(合同矩陣有

7、相同的秩), 這與所作的非退化線性替換無(wú)關(guān). 至于標(biāo)準(zhǔn)形中正、負(fù)系數(shù)的平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù), 則隨著數(shù)域的變化而變化. 以下在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上討論唯一性問(wèn)題.且規(guī)范形是唯一的，其中r =r(A).證明：復(fù)系數(shù)的二次型 f (x1,xn)=XTAX 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化XCY可化為標(biāo)準(zhǔn)形1.復(fù)數(shù)域情形定理：任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型 f(x1,xn)=XTAX 均可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化為規(guī)范形推論2 兩個(gè)n階復(fù)對(duì)稱矩陣A合同r(A)=r(B).推論1 任意一個(gè)n階復(fù)對(duì)稱矩陣A均合同于矩陣且規(guī)范形是唯一的，其中r =r(A).證明 實(shí)系數(shù)的二次型 f (x1,xn)=XTAX 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性

8、替換化XCY可化為標(biāo)準(zhǔn)形2.實(shí)數(shù)域情形定理（慣性定理）任意一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型 f(x1,xn)=XTAX 均可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化為規(guī)范形下證唯一性. 設(shè)實(shí)二次型f(x1,xn)=XTAX 經(jīng)非退化線性替換XBY和XCZ分別把它化為規(guī)范形則有p=q.事實(shí)上，若pq,由于其中ZC-1BY=GY，即考慮齊次線性方程組由于方程個(gè)數(shù)=q+n-p=n-(p-q)0,代到(*)式右端， 其值0,因此，應(yīng)有pq.同理可證qp,從而p=q.定義 實(shí)二次型 f (x1,xn)=XTAX 的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p 稱為f (x1,xn)的正慣性指數(shù),負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱為f (x1,xn)的負(fù)慣性指數(shù)

9、,它們的差p-( r-p)= 2p - r稱為f (x1,xn) 的符號(hào)差.推論1 兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A合同r(A)=r(B)，且正慣性指數(shù)相等.推論2 任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A均合同于矩陣?yán)?因?yàn)橹榷际?，而A和C正慣性指數(shù)相同，則 A與C合同,A與B不合同.第5.4節(jié) 正定二次型 對(duì)不同二次型進(jìn)行分類，在理論上和應(yīng)用上都有重要意義,本節(jié)介紹一種重要的實(shí)二次型 正定二次型.基本內(nèi)容基本概念正定二次型判定定理負(fù)定、半正定、半負(fù)定二次型1.基本概念定義：設(shè)有實(shí)二次型f(x1,xn)=XTAX,如果對(duì)任意的X0，都有 f(x1,xn)=XTAX0稱f 為正定二次型;相應(yīng)的矩陣A稱為正定矩陣，記為

10、A0; ；若對(duì)任意X0都有f)的充分必要條件是標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)均為正.證明 若可逆線性替換X=CY使f =XTAX=YT(CTAC)Y=YTY =由于C可逆，所以X0與Y0等價(jià).而X0時(shí)，即標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)均為正.推論1 f=XTAX正定（或A）的充分必要條件是正慣性指數(shù)等于n.推論2 f=XTAX正定（或A）的充分必要條件是存在可逆陣C，使A=CTC.推論3 f=XTAX正定（或A）則A0.例1解該二次型正定.問(wèn)題：對(duì)一般的二次型，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形非易事，能否直接利用二次型的矩陣A判別它是否正定？A的順序主子式定義1階順序主子式2階順序主子式n階順序主子式定理3 二次型f(x1,xn) = X

11、TAX正定(或A)的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零,即證明 ()設(shè)二次型對(duì)每一個(gè)k (1k n),令從而二次型fk(x1,xk) 正定，故其矩陣的行列式() 對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，由條件a110, 顯然有f(x1)正定. 假設(shè)對(duì)n-1元二次型結(jié)論成立，下證n元的情形也成立.即A的各級(jí)順序主子式都大于零.由于A1的所有順序主子式即為A的1,2,n-1階順序主子式,從而A1的所有順序主子式均大于零，由歸納法假設(shè)知A1是正定矩陣.故存在n-1級(jí)可逆矩陣G，使 GTA1G=En-1令對(duì)稱矩陣與對(duì)角矩陣合同兩端取行列式，C2A=a.依據(jù)條件A0,得a0.因此，A與單位矩陣合同，故A為正定矩陣，即二次型f(x1,xn) = XTAX為正定二次型. 解各級(jí)順序主子式所以，f是正定二次型.例2 判斷二次型是否正定. 解各級(jí)順序主子式故f不是正定二次型.例3 判斷二次型是否正定. 解f 正定，應(yīng)有例43.負(fù)定、半正定、半負(fù)定二次型判定定理(1)負(fù)定二次型 若f 負(fù)定，則 -f 正定;因此有如下結(jié)論定理 (i)n元二次型f=xTAx負(fù)定的充分必要條件是標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)均為負(fù)；(ii)n元二次型f=xTAx負(fù)定的充分必要條件是負(fù)慣性指數(shù)等于n；(iii)n元二次型f=xTAx負(fù)