北京大學(xué)量子力學(xué)課件-第31講

1、 第 三 十 一 講 . 輻射場下原子的躍遷率 當(dāng)微擾影響較小時(shí)，一級(jí)近似很好 現(xiàn)考慮原子被置于一個(gè)純輻射場中 1 . 散射問題的一般描述： 在散射問題中，能量是給定的。這時(shí)關(guān)心的是遠(yuǎn)處的波函數(shù)，即解滿足一定邊條件下的定態(tài)波函數(shù)。從而能夠從這一定態(tài)波函數(shù)中，獲得 有關(guān)靶或組成靶的元素的性質(zhì)； 有關(guān)入射粒子與靶或組成靶的元素之間的相互作用的性質(zhì)； 入射粒子的性質(zhì)。2 （1） 散射截面定義： 一束不寬的（與散射區(qū)域比），具有一定能量的粒子，轟擊到一個(gè)靶上（當(dāng)然與散射中心尺度比較起來，是寬的）。為簡單起見，達(dá)到散射中心時(shí)，可用一平面波描述。 34 A. 相對(duì)通量：單位時(shí)間通過與靶相對(duì)靜止的垂直于傳播

2、方向上的單位面積的入射粒子數(shù)（對(duì)于單粒子，顯然即為幾率流密度），以 表示5 這時(shí)，單位時(shí)間，經(jīng)散射而到達(dá) 方向 中的粒子數(shù)為 比例常數(shù)一般是 的函數(shù)。它包含入射粒子和靶的相關(guān)信息，其量綱為 。6 B. 散射微分截面：在單位時(shí)間內(nèi)，單個(gè)散射中心將入射粒子散射到 方向上的單位立體角中的粒子數(shù)與入射粒子的相對(duì)通量 （幾率流密度）之比。而散射總截面7 對(duì)于固定散射中心，實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系是一樣的。但如果兩個(gè)粒子散射，則不一樣理論上處理問題一般在質(zhì)心坐標(biāo)系（較簡單），而實(shí)驗(yàn)上常常靶是靜止的。所以在比較時(shí)，需要將這兩個(gè)坐標(biāo)系進(jìn)行換算。 （2） 散射振幅： 我們現(xiàn)在討論一種穩(wěn)定情況，即入射束的粒子不斷

3、入射，長時(shí)間后體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的情況 8 薛定諤方程 其定態(tài)解為 當(dāng)粒子以一定動(dòng)量 入射，經(jīng)位勢散射后，在 很大處，解的漸近形式（彈性散射）為9這時(shí)，被稱為定態(tài)散射波函數(shù)。 可以證明 的本征方程，在 很大時(shí)，即保留到 次冪時(shí)，則 10 我們稱 為散射振幅, 為散射波. 當(dāng)入射粒子沿 方向入射，則散射與 無 關(guān)（束、靶都是非極化），即 11 可以證明：在遠(yuǎn)處，對(duì)于漸近解的幾率流密度矢于是 1213所以，散射振幅的模的平方，即為散射微分截面。 而散射總截面為 現(xiàn)在問題是要從 14 出發(fā)，求 具有很遠(yuǎn)處的漸近形式為的解，從而獲得 . 玻恩近似15 現(xiàn)在討論如何近似求 ，以至 。 假設(shè) 產(chǎn)生一個(gè)散射（

4、對(duì)自由粒子）。根據(jù)Fermis Golden Rule，從開始為動(dòng)量本征態(tài) 躍遷到末態(tài)動(dòng)量本征態(tài) 躍遷率為 由此可以推出散射微分截面16稱為散射振幅的一級(jí)玻恩近似17 當(dāng)位勢為有心勢則或18這即為有心勢下的一級(jí)玻恩近似的散射振幅。 為 方向 由于一級(jí)玻恩近似是處理位勢作為自由粒子的一個(gè)微擾。所以一級(jí)玻恩近似適用于高能的情況。19（3）有心勢中的分波法和相移 當(dāng)位勢是有心勢時(shí)，粒子在中心力場作用下，角動(dòng)量是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角動(dòng)量本征態(tài)疊加而成，而每一個(gè)波（本征態(tài)）分別被位勢散射，彼此互不相干。 A相移和散射截面20 當(dāng)入射粒子方向 取為 軸，則入射（無自旋）是對(duì)

5、 對(duì)稱，即與 無關(guān). 而相互作用勢 是各向同性。因此，經(jīng) 作用后也與 無關(guān) （ 在 方向）代入方程得 21 其漸近解，在 時(shí)滿足 22 所以，在有心勢存在時(shí)，具有確定 （在 方向）的解為 23 當(dāng)位勢不存在時(shí)，解為而24 與 比較入射波應(yīng)相同， 即球面入射波系數(shù)應(yīng)相等25 顯然，對(duì)每一個(gè)分波 ，它們都是一個(gè)入射球面波和一個(gè)出射球面波（同強(qiáng)度）的疊加。但定態(tài)散射解中的出射波和平面波的出射波差相因子 。 這表明：散射位勢的效應(yīng)是使每一個(gè)出射分波有一相移 ，相應(yīng)的相因子為 。26 當(dāng)粒子以一定動(dòng)量 入射，經(jīng)有心勢散射后，在 很大處，解的漸近形式（彈性散射）為（ 在 方向）所以，散射振幅27 散射微分

6、截面28 散射總截面其中每一項(xiàng)29 代表相應(yīng)的角動(dòng)量為 的分波對(duì)散射截面的貢獻(xiàn)。 當(dāng) （ ），達(dá)極大。 因30所以 于是有這稱為光學(xué)定理。 31 B一些討論 1分波法的適用性 a. 中心力場 b. 不為 的數(shù)要少，即 或 對(duì) 的收斂很快才行 若相互作用力程為 ，處于分波 的粒子，其運(yùn)動(dòng)區(qū)域 32 即滿足 如果 ，則表明，這一分波不能進(jìn)入相互作用的力程 內(nèi)，也即在力程 之外。所以， 很小時(shí)，僅分波 受影響， 即僅 ，或 很小，即低能散射 33 2相移符號(hào)：自由粒子為 有位勢時(shí)為前者波節(jié)在后者 34 排斥勢是將粒子向外推，所以 應(yīng)大，即 而對(duì)吸引勢 。 例：方位阱散射（一維） 3536 在a點(diǎn)波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù) 37 所以在 給定下， 依賴于能量 （或 ）3839（4）全同粒子的散射 A對(duì)稱微分截面和反對(duì)稱微分截面 在討論自旋一章時(shí)，我們討論了全同粒子的對(duì)稱性。我們知道，