頻譜分析完整版

1、Mat l ab信號(hào)處理工具箱幫助文檔譜估計(jì)專題頻譜分析Spectral estimation （譜估計(jì)）的目標(biāo)是基于一個(gè)有限的數(shù)據(jù)集合描 述一個(gè)信號(hào)的功率（在頻率上的）分布。功率譜估計(jì)在很多場合下都是有 用的，包括對(duì)寬帶噪聲湮沒下的信號(hào)的檢測。從數(shù)學(xué)上看，一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程x的power spectrum （功率譜）和 correlat ion sequenceC相關(guān)序列）通過 d i screte-time Four ier transform （離散時(shí)間傅立葉變換）構(gòu)成聯(lián)系。從normal ized frequency （歸一化角 頻率）角度看，有下式注：S 0)= X0)2，其中 X (

2、w ) = limN * NN/2 x ejw -k k 。其nn =- N /2mat l ab 近似為 X=fft (x, N) /sqrt (N)，在下文中 X(f)就是指 mat l ab fftxx函數(shù)的計(jì)算結(jié)果了使用關(guān)系=2兀f / f可以寫成物理頻率f的函數(shù)，其中匕是采樣頻率相關(guān)序列可以從功率譜用IDFT變換求得:序列x在整個(gè)Nyquist間隔上的平均功率可以表示為上式中的P 0)=史電以及P (f )=史XX2 冗xxfs被定義為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X的power spectral density (PSD)(功率譜 密度)一個(gè)信號(hào)在頻帶氣,氣,0巴 也丸上的平均功率可以通過對(duì)PSD在

3、 頻帶上積分求出從上式中可以看出Px (s)是一個(gè)信號(hào)在一個(gè)無窮小頻帶上的功率濃度， 這也是為什么它叫做功率譜密度。PSD的單位是功率(e.g瓦特)每單位頻率。在p (s)的情況下，這是 瓦特/弧度/抽或只是瓦特/弧度。在P (f )的情況下單位是瓦特/赫茲。PSD 對(duì)頻率的積分得到的單位是瓦特，正如平均功率p 所期望的那樣。g對(duì)實(shí)信號(hào)，PSD是關(guān)于直流信號(hào)對(duì)稱的，所以0s k的P (s)就足夠 完整的描述PSD 了。然而要獲得整個(gè)Nyqu i st間隔上的平均功率，有必要 引入單邊PSD的概念：信號(hào)在頻帶s ,s ,0 s s N，在計(jì)算Xl f 前，我們必須繞回Xl n 模N。作為一個(gè)例子

4、，考慮下面1001元素信號(hào)x，它包含了 2個(gè)正弦信號(hào)和randn(state,0);fs = 1000;t = (0:fs)/fs;A = 1 2;f = 150;140;噪聲% Sampling frequency% One second worth of samples% Sinusoid amplitudes (row vector)% Sinusoid frequencies (column vector) xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t);注意：最后三行表明了一個(gè)方便的表示正弦之和的方法，它等價(jià)于：xn = sin(2*pi*150*t

5、) + 2*sin(2*pi*140*t) + 0.1*randn(size(t);對(duì)這個(gè)PSD的周期圖估計(jì)可以通過產(chǎn)生一個(gè)周期圖對(duì)象(periodogram object)來計(jì)算Hs = spectrum.periodogram(Hamming);估計(jì)的圖形可以用psd函數(shù)顯示。psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,1024,SpectrumType,twosided)平均功率通過用下述求和去近似積分求得Pxx,F = psd(Hs,xn,fs,twosided); Pow = (fs/length(Pxx) * sum(Pxx) Pow = 2.5059你還可以用單邊PSD去計(jì)算平均功

6、率Pxxo,F = psd(Hs,xn,fs,onesided);Pow = (fs/(2*length(Pxxo) * sum(Pxxo)Pow = 2.5011周期圖性能下面從四個(gè)角度討論周期圖法估計(jì)的性能：泄漏，分辨率，偏差和方差。頻譜泄漏考慮有限長信號(hào)x n,把它表示成無限長序列xn乘以一個(gè)有限長矩 形窗 R的乘積的形式經(jīng)常很有用：因?yàn)闀r(shí)域的乘積等效于頻域的卷積，所以上式的傅立葉變換是前文中導(dǎo)出的表達(dá)式說明卷積對(duì)周期圖有影響。正弦數(shù)據(jù)的卷積影響最容易理解。假設(shè)xn是M個(gè)復(fù)正弦的和其頻譜是對(duì)一個(gè)有限長序列，就變成了所以在有限長信號(hào)的頻譜中，Dirac函數(shù)被替換成了形式為W (f - f

7、)Rk的項(xiàng)，該項(xiàng)對(duì)應(yīng)于矩形窗的中心在fk的頻率響應(yīng)。個(gè)矩形窗的頻率響應(yīng)形狀是一個(gè)s i nc信號(hào)，如下所示該圖顯示了一個(gè)主瓣和若干旁瓣，最大旁瓣大約在主瓣下方13. 5dB處。 這些旁瓣說明了頻譜泄漏效應(yīng)。無限長信號(hào)的功率嚴(yán)格的集中在離散頻率 點(diǎn)fk處，而有限長信號(hào)在離散頻率點(diǎn)fk附近有連續(xù)的功率。因?yàn)榫匦未霸蕉?，它的頻率響應(yīng)對(duì)Dirac沖擊的近似性越差，所以數(shù) 據(jù)越短它的頻譜泄漏越明顯?？紤]下面的100個(gè)采樣的序列randn(state,0) fs = 1000;t = (0:fs/10)/fs;A = 1 2;f = 150;140;% Sampling frequency% One-te

8、nth of a second worth of samples% Sinusoid amplitudes% Sinusoid frequenciesxn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t);Hs = spectrum.periodogram;psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,1024)注重到頻譜泄露只視數(shù)據(jù)長度而定。周期圖確實(shí)只對(duì)有限數(shù)據(jù)樣本進(jìn) 行計(jì)算，但是這和頻譜泄露無關(guān)。分辨率分辨率指的是區(qū)分頻譜特征的水平，是分析譜估計(jì)性能的關(guān)鍵概念。要區(qū)分兩個(gè)在頻率上離得很近的正弦，要求兩個(gè)頻率差大于任何一個(gè) 信號(hào)泄漏頻譜的主瓣寬度。主瓣寬度定義為主瓣上

9、峰值功率一半的點(diǎn)間的 距離（3dB帶寬）。該寬度近似等于f L兩個(gè)頻率為f 1 f2的正弦信號(hào)，可分辨條件是上例中頻率間隔10Hz，數(shù)據(jù)長度要大于100抽才能使得周期圖中兩個(gè)頻率可分辨。下圖是只有67個(gè)數(shù)據(jù)長度的情況randn(state,0) fs = 1000;t = (0:fs/15)./fs;A = 1 2;f = 150;140;% Sampling frequency% 67 samples% Sinusoid amplitudes% Sinusoid frequenciesxn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t);Hs=spectrum.p

10、eriodogram;psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,1024)上述對(duì)分辨率的討論都是在高信噪比的情況進(jìn)行的，因此沒有考慮噪 聲。當(dāng)信噪比低的時(shí)候，譜特征的分辨更難，而且周期圖上會(huì)出現(xiàn)一些噪 聲的偽像，如下所示randn(state,0) fs = 1000;t = (0:fs/10)./fs;A = 1 2;f = 150;140;% Sampling frequency% One-tenth of a second worth of samples% Sinusoid amplitudes% Sinusoid frequenciesxn = A*sin(2*pi*f*t) + 2

11、*randn(size(t);Hs=spectrum.periodogram;psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,1024)估計(jì)偏差周期圖是對(duì)PSD的有偏估計(jì)。期望值可以是該式和頻譜泄漏中的xl （f ）式相似，除了這里的表達(dá)式用的是平均功 率而不是幅度。這暗示了周期圖產(chǎn)生的估計(jì)對(duì)應(yīng)于一個(gè)有泄漏的PSD而非 真正的PSD。注重WR（f-P）F本質(zhì)上是一個(gè)三角Bart lett窗（事實(shí)是兩個(gè)矩形脈沖 的卷積是三角脈沖。）這導(dǎo)致了最大旁瓣峰值比主瓣峰值低27dB，大致是 非平方矩形窗的2倍。周期圖估計(jì)是漸進(jìn)無偏的。這從早期的一個(gè)觀察結(jié)果可以明顯看出, 隨著記錄數(shù)據(jù)趨于無窮大，矩形窗對(duì)頻譜對(duì)D

12、irac函數(shù)的近似也就越來越 好。然而在某些情況下，周期圖法估計(jì)很差勁即使數(shù)據(jù)夠長，這是因?yàn)橹?期圖法的方差，如下所述。周期圖法的方差L趨于無窮大，方差也不趨于0。用統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語講，該估計(jì)不是無偏估 計(jì)。然而周期圖在信噪比大的時(shí)候仍然是有用的譜估計(jì)器，特別是數(shù)據(jù)夠 長。Mod ified Per i odogram 修正周期圖法在fft前先加窗，平滑數(shù)據(jù)的邊緣?？梢越档团园甑母叨?。旁瓣是使用矩形窗產(chǎn)生的陡峭的剪切引入的寄生頻率，對(duì)于非矩形窗, 結(jié)束點(diǎn)衰減的平滑，所以引入較小的寄生頻率。但是，非矩形窗增寬了主瓣，因此降低了頻譜分辨率。函數(shù)periodogram允許指定對(duì)數(shù)據(jù)加的窗，例如默認(rèn)的矩形窗

13、和randn(state,0)fs = 1000;t = (0:fs/10)./fs;A = 1 2;f = 150;140;Hammi ng 窗% Sampling frequency% One-tenth of a second worth of samples% Sinusoid amplitudes% Sinusoid frequencies xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t);Hrect = spectrum.periodogram;psd(Hrect,xn,Fs,fs,NFFT,1024);Hhamm = spectrum.period

14、ogram(Hamming);psd(Hhamm,xn,Fs,fs,NFFT,1024);事實(shí)上加Hamming窗后信號(hào)的主瓣大約是矩形窗主瓣的2倍。對(duì)固定 長度信號(hào)，Hamming窗能達(dá)到的譜估計(jì)分辨率大約是矩形窗分辨率的一半。 這種沖突可以在某種程度上被變化窗所解決，例如Kaiser窗。非矩形窗會(huì)影響信號(hào)的功率，因?yàn)橐恍┎蓸颖幌魅趿恕榱私鉀Q這個(gè) 問題函數(shù)periodogram將窗歸一化，有平均單位功率。這樣的窗不影響信 號(hào)的平均功率。修正周期圖法估計(jì)的PSD是其中U是窗歸一化常數(shù)假如U保證估計(jì)是漸進(jìn)無偏的。Welch 法包括：將數(shù)據(jù)序列劃分為不同的段(可以有重疊)，對(duì)每段進(jìn)行改進(jìn)周 期圖

15、法估計(jì)，再平均。用spectrum. welch對(duì)象，或pwe lch函數(shù)。默認(rèn)情況下數(shù)據(jù)劃分為4 段，50%重疊，應(yīng)用Hamming窗。取平均的目的是減小方差，重疊會(huì)引入冗余但是加Hamming窗可以部分消除這些冗余，因?yàn)榇敖o邊緣數(shù)據(jù)的權(quán)重比較小。數(shù)據(jù)段的縮短和非矩形窗的使用使得頻譜分辨率下降。下面的例子展示W(wǎng)elch法的折衷。首先用周期圖法估計(jì)一個(gè)小信噪比下信號(hào)的PSD：randn(state,1)fs = 1000;% Sampling frequencyt = (0:0.3*fs)./fs;% 301 samplesA = 2 8;f = 150;140;% Sinusoid ampl

16、itudes (row vector)% Sinusoid frequencies (column vector)xn = A*sin(2*pi*f*t) + 5*randn(size(t);Hs = spectrum.periodogram(rectangular) psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,1024);可以看出由于噪聲太大，150Hz正弦信號(hào)已經(jīng)無法識(shí)別。Hs = spectrum.welch(rectangular,150,50);psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,512)可以看出兩個(gè)信號(hào)峰，但是如果進(jìn)一步削減方差，主瓣增寬也使得信 號(hào)不可識(shí)別。Hs = spec

17、trum.welch(rectangular,100,75);psd(Hs,xn,Fs,fs,NFFT,512);We l ch法的偏差其中、是分段數(shù)據(jù)的長度，U = 111 |w(n)|2是窗歸一化常數(shù)。對(duì)一定長度的數(shù)據(jù)，Welch法估計(jì)的偏差會(huì)大于周期圖法，因?yàn)長 L方差比較難以量化，因?yàn)樗头侄伍L以及實(shí)用的窗都有關(guān)系，但是總 的說方差反比于使用的段數(shù)。Mu ltitaper Method 多椎體法周期圖法估計(jì)可以用濾波器組來表示。L個(gè)帶通濾波器對(duì)信號(hào)x屋進(jìn) L行濾波，每個(gè)濾波器的3dB帶寬是七/ L。所有濾波器的幅度響應(yīng)相似于矩 形窗的幅度響應(yīng)。周期圖估計(jì)就是對(duì)每個(gè)濾波器輸出信號(hào)功率的計(jì)

18、算，僅 僅使用輸出信號(hào)的一個(gè)采樣點(diǎn)計(jì)算輸出信號(hào)功率，而且假設(shè)x R的PSD在L每個(gè)濾波器的頻帶上是常數(shù)。信號(hào)長度增加，帶通濾波器的帶寬就在減少，近似度就更好。但是有 兩個(gè)原因?qū)_度有影響：1矩形窗對(duì)應(yīng)的帶通濾波器性能很差2每個(gè)帶 通濾波器輸出信號(hào)功率的計(jì)算僅僅使用一個(gè)采樣點(diǎn)，這使得估計(jì)很粗糙。Welch法也可以用濾波器組給出相似的解釋。在Welch法中使用了多個(gè) 點(diǎn)來計(jì)算輸出功率，降低了估計(jì)的方差。另一方面每個(gè)帶通濾波器的帶寬 增大了，分辨率下降了。Thompson的多椎體法（MTM）構(gòu)建在上述結(jié)論之上，提供更優(yōu)的PSD 估計(jì)。MTM方法沒有使用帶通濾波器（它們本質(zhì)上是矩形窗，如同周期圖 法

19、中一樣），而是使用一組最優(yōu)濾波器計(jì)算估計(jì)值。這些最優(yōu)FIR濾波器 是由一組被叫做離散扁平類球體序列（DPSS，也叫做Slepian序列）得到 的。除此之外，MTM方法提供了一個(gè)時(shí)間-帶寬參數(shù)，有了它能在估計(jì)方差和分辨率之間進(jìn)行平衡。該參數(shù)由時(shí)間-帶寬乘積得到，NW,同時(shí)它直接 與譜估計(jì)的多椎體數(shù)有關(guān)?？傆?*NW-1個(gè)多椎體被用來形成估計(jì)。這就 意味著，隨著NW的提升，會(huì)有越來越多的功率譜估計(jì)值，估計(jì)方差會(huì)越 來越小。然而，每個(gè)多椎體的帶寬仍然正比于NW，因而NE提升，每個(gè)估 計(jì)會(huì)存在更大的泄露，從而整體估計(jì)會(huì)更加呈現(xiàn)有偏。對(duì)每一組數(shù)據(jù)，總 有一個(gè)NW值能在估計(jì)偏差和方差見獲得最好的折中。ra

20、ndn(state,0) fs = 1000; t = (0:fs)/fs; A = 1 2; f = 150；140;% Sampling frequency信號(hào)處理工具箱中實(shí)現(xiàn)MTM方法的函數(shù)是pmtm而實(shí)現(xiàn)該方法的對(duì)象是 spectrum. mtmo下面使用spectrum. mtm來計(jì)算前 例子中的PSD：% One second worth of samples% Sinusoid amplitudes% Sinusoid frequenciesxn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t);Hs1 = spectrum.mtm(4,adapt);p

21、sd(Hs1,xn,Fs,fs,NFFT,1024)通過降低時(shí)間-帶寬積，能夠提升分辨率。Hs2 = spectrum.mtm(3/2,adapt);psd(Hs2,xn,Fs,fs,NFFT,1024)注重到兩個(gè)例子中平均功率都被保留:Hs1p = psd(Hs1,xn,Fs,fs,NFFT,1024);Pow1 = avgpower(Hs1p)Pow12. 4926Hs2p = psd(Hs2,xn,Fs,fs,NFFT,1024);Pow2 = avgpower(Hs2p)Pow2 =2. 4927這中方法相比Weich方法計(jì)算復(fù)雜度更高，這是計(jì)算離散扁平類球體 序列的代價(jià)。對(duì)于長數(shù)據(jù)序

22、列(10000點(diǎn)以上)，通常計(jì)算一次DPSS序列 并將其存為MAT文件更加實(shí)用。Matlab在dpss.mat中提供了 dpsssave、 dpssload、dpssd i r 和 dpssc l ear 供使用?；プV密度函數(shù)PSD是互譜密度(CPSD)函數(shù)的一個(gè)特例，CPSD由兩個(gè)信號(hào)xn、yn如 下定義：如同互相關(guān)與協(xié)方差的例子，工具箱估計(jì)PSD和CPSD是因?yàn)樾盘?hào)長度 有限。為了使用Welch方法估計(jì)相隔等長信號(hào)x和y的互功率譜密度，cpsd 函數(shù)通過將x的FFT和y的FFT再共軛之后相乘的方式得到周期圖。與實(shí) 值PSD不同，CPSD是個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)。cpsd如同pwe l ch函數(shù)一樣處理

23、信號(hào)的 分段和加窗問題：Sxy = cpsd(x, y, nwin, noverlap, nfft, fs)傳輸函數(shù)估計(jì)Welch方法的一個(gè)應(yīng)用是非參數(shù)系統(tǒng)的識(shí)別。假設(shè)H是一個(gè)線性時(shí)不變 系統(tǒng)，x(n )和y(n )是H的輸入和輸出。則x(n)的功率譜就與x(n)和y(n)的CPSD通過如下方式相關(guān)聯(lián)：x(n)和y(n)的一個(gè)傳輸函數(shù)是：該方法同時(shí)估計(jì)出幅度和相位信息。tfestimate函數(shù)使用Welch方法 計(jì)算CPSD和功率譜，然后得到他們的商作為傳輸函數(shù)的估計(jì)值。 tfestimate函數(shù)使用方法和cpsd相同：將信號(hào)x(n)通過FIR濾波器，再畫出實(shí)際的幅度響應(yīng)和估計(jì)響應(yīng)如下:h =

24、 ones(1,10)/10;% Moving-average filteryn = filter(h,1,xn);HEST,f = tfestimate(xn,yn,256,128,256,fs);H = freqz(h,1,f,fs);subplot(2,1,1); plot(f,abs(H);title(Actual Transfer Function Magnitude);subplot(2,1,2); plot(f,abs(HEST);title(Transfer Function Magnitude Estimate);xlabel(Frequency (Hz);相干函數(shù)兩個(gè)信號(hào)幅

25、度平方相干性如下所示：該商是一個(gè)0到1之間的實(shí)數(shù)，表征了 x(n)和y(n )之間的相干性。mscohere函數(shù)輸入兩個(gè)序列x和y，計(jì)算其功率譜和CPSD，返回CPSD 幅度平方與兩個(gè)功率譜乘積的商。函數(shù)的選項(xiàng)和操作與cpsd和tfestimate 相類似。x和濾波器輸出y的相干函數(shù)如下:mscohere(xn, yn, 256, 128, 256, fs)如果輸入序列長度nfft,窗長度window,個(gè)窗中重疊的數(shù)據(jù)點(diǎn)為 numoverlap,這樣的話mscohere 只對(duì)一個(gè)樣本操作，函數(shù)返回全1。這是 因?yàn)橄喔珊瘮?shù)對(duì)線性獨(dú)立數(shù)據(jù)值為1Parametr i c Methods 參數(shù)法參數(shù)法

26、在信號(hào)長度較短時(shí)能夠獲得比非參數(shù)法更高的分辨率。這類方 法使用不同的方式來估計(jì)頻譜：不是試圖直接從數(shù)據(jù)中估計(jì)PSD，而是將 數(shù)據(jù)建模成一個(gè)由白噪聲驅(qū)動(dòng)的線性系統(tǒng)的輸出，并試圖估計(jì)出該系統(tǒng)的 參數(shù)。最常用的線性系統(tǒng)模型是全極點(diǎn)模型，也就是一個(gè)濾波器，它的所有 零點(diǎn)都在z平面的原點(diǎn)。這樣一個(gè)濾波器輸入白噪聲后的輸出是一個(gè)自回 歸(AR)過程。正是由于這個(gè)原因，這一類方法被稱作AR方法。AR方法便于描述譜呈現(xiàn)尖峰的數(shù)據(jù)，即PSD在某些頻點(diǎn)特別大。在很 多實(shí)際應(yīng)用中(如語音信號(hào))數(shù)據(jù)都具有帶尖峰的譜，所以AR模型通常 會(huì)很有用。另外，AR模型具有相對(duì)易于求解的系統(tǒng)線性方程。信號(hào)處理工具箱提供了下列AR

27、譜估計(jì)方法：Yule-WalkerAR method (autocorrelation method)BurgmethodCovar i ancemethodModifiedcovar i ance method所有的AR方法都會(huì)給出如下表示的PSD估計(jì):不同的AR方法估計(jì)AR參數(shù)ap（k）稍有不同，從而得到不一樣的PSD估計(jì)。下表對(duì)各種AR方法做了一個(gè)陳述總結(jié):Burg協(xié)方差修正協(xié)方差Yule-Walker特點(diǎn)對(duì)數(shù)據(jù)不加窗； 在取小一乘意義 上最小化前向后 向預(yù)測誤差，限定 AR系數(shù)以滿足 L-D遞歸；對(duì)數(shù)據(jù)不加窗；在最小一乘意義 上最小化前向后 向預(yù)測誤差；對(duì)數(shù)據(jù)不加窗；在最小二乘意義 上

28、最小化前向后 向預(yù)測誤差；對(duì)數(shù)據(jù)加窗；在最小二乘意義 上最小化前向預(yù) 測誤差（也叫自 相關(guān)法）；優(yōu)點(diǎn)對(duì)短數(shù)據(jù)具有高分辨率；模型總是穩(wěn)定；對(duì)短數(shù)據(jù)比Y-W 有更好分辨率（估 計(jì)更準(zhǔn)確）；能夠從包含p或 更多純正弦信號(hào) 的數(shù)據(jù)中提取頻 率；對(duì)短數(shù)據(jù)具有高 分辨率；能夠從包含p或 更多純正弦信號(hào) 的數(shù)據(jù)中提取頻 率；沒有譜線分裂；對(duì)大數(shù)據(jù)性能與其他相當(dāng)；模型總是穩(wěn)定；缺點(diǎn)峰值位置高度依 賴于初始相位； 在正弦信號(hào)包含 噪聲或階數(shù)很高 時(shí)可能出現(xiàn)譜線 分裂；正弦信號(hào)估計(jì)頻 偏；模型可能不穩(wěn)定； 正弦信號(hào)估計(jì)頻 偏；模型可能不穩(wěn)定； 峰值位置高度依 賴于初始相位； 正弦信號(hào)估計(jì)較 小頻偏；對(duì)于短數(shù)據(jù)性能

29、 不高；正弦信號(hào)估計(jì)頻偏；非奇異條件階數(shù)必須不大于 輸入幀尺寸一半；階數(shù)必須不大于 輸入幀尺寸的三 分之二；由于估計(jì)有偏， 自相關(guān)矩陣需要 確保正定；Yule-Walker 法Yule-Walker AR法通過計(jì)算信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的有偏估計(jì)、求解前向預(yù) 測誤差的最小二乘最小化來獲得AR參數(shù)。這就得出了 Yu l e-Wa l ker等式。Yule-Walker AR法結(jié)果與最大熵估計(jì)器結(jié)果一致。更多信息參考item2 i n the Selected Bibli ographyo由于自相關(guān)函數(shù)的有偏估計(jì)的使用，確保了上述自相關(guān)矩陣正定。因 此，矩陣可逆且方程一定有解。另外，這樣計(jì)算的AR參數(shù)總會(huì)

30、產(chǎn)生一個(gè) 穩(wěn)定的全極點(diǎn)模型。Yu l e-Wa l ker方程通過Lev i nson算法可以高效的求解。工具箱中的對(duì)象spectrum. yu l ear和函數(shù)pyu l ear實(shí)現(xiàn)了 Tu l e-Wa l ker 方法。下例比較了一個(gè)語音信號(hào)通過We l ch法和Yu l e-Wa l ker法的譜：load mtlbHwelch = spectrum.welch(hamming,256,50);psd(Hwelch,mtlb,Fs,Fs,NFFT,1024)Hyulear = spectrum.yulear(14);psd(Hyulear,mtlb,Fs,Fs,NFFT,1024)Yu

31、le-Walker AR法的譜比周期圖法更加平滑。這是因?yàn)槠鋬?nèi)在的簡單 全極點(diǎn)模型的緣故。Burg 法Burg AR法譜估計(jì)是基于最小化前向后向預(yù)測誤差的同時(shí)滿足 Levi nson-Durb i n 遞歸(參考 Marp le3, Chapter 7, Proak is6, Sect ion 12. 3. 3)o對(duì)比與其它的AR估計(jì)方法，Burg法避免了對(duì)自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算, 改而直接估計(jì)反射系數(shù)。Burg法最首要的優(yōu)勢(shì)在于解決含有低噪聲的間隔緊密的正弦信號(hào)，并 且對(duì)短數(shù)據(jù)的估計(jì)，在這種情況下AR功率譜密度估計(jì)非常逼近與真值。 另外，Burg法確保產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定AR模型，并且能高效計(jì)算。Burg

32、法的精度在階數(shù)高、數(shù)據(jù)記錄長、信噪比高(這會(huì)導(dǎo)致線分裂、 或者在譜估計(jì)中產(chǎn)生無關(guān)峰)的情況下較低Burg法計(jì)算的譜密度估計(jì)也 易受噪聲正弦信號(hào)初始相位導(dǎo)致的頻率偏移(相對(duì)于真實(shí)頻率)影響。這 一效應(yīng)在分析短數(shù)據(jù)序列時(shí)會(huì)被放大。工具箱中的spectrum. burg對(duì)象和pburg函數(shù)實(shí)現(xiàn)了 Burg法。比較下 對(duì)于語音信號(hào)通過Burg法和Yule-Walker法得到的譜，在較長信號(hào)數(shù)據(jù) 的情況下它們非常相似。load mtlbHburg = spectrum.burg(14); % 14th order model psd(Hburg,mtlb(1:512),Fs,Fs,NFFT,1024)H

33、yulear = spectrum.yulear(14); % 14th order model psd(Hyulear,mtlb(1:512),Fs,Fs,NFFT,1024)比較受噪聲干擾的信號(hào)的譜，分別使用Burg法和Welch法計(jì)算:randn(state,0) fs = 1000; t = (0:fs)/fs; A = 1 2; f = 150;140;% Sampling frequency% One second worth of samples% Sinusoid amplitudes% Sinusoid frequenciesxn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.

34、1*randn(size(t);Hwelch = spectrum.welch(hamming,256,50);psd(Hwelch,xn,Fs,fs,NFFT,1024)Hburg = spectrum.burg(14);psd(Hburg,xn,Fs,fs,NFFT,1024)需要注重的是，隨著Burg法模型階數(shù)的降低，由于正弦信號(hào)初始相位 帶來的頻率偏移逐漸明顯。Covar i ance & Mod ified Covar i ance協(xié)方差和修正協(xié)方差法AR譜估計(jì)的協(xié)方差算法基于最小化前向預(yù)測誤差而產(chǎn)生。而修正協(xié)方 差算法是基于最小化前向和后向預(yù)測誤差而產(chǎn)生。工具箱中的 spectrum. cov對(duì)象和pcov函數(shù)，以及spectrum. mcov對(duì)象和pmcov函數(shù) 實(shí)現(xiàn)了各自