集合的基本概念及其應(yīng)用

1、集合的基本概念及其應(yīng)用目標(biāo)認(rèn)知：知識要點(diǎn)：集合的概念及表示法、集合與集合之間的關(guān)系、集合的運(yùn)算。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：集合中元素的三要素、集合之間的四大關(guān)系及運(yùn)算。學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)：對集合中元素的三要素的應(yīng)用.運(yùn)用集合的兩種常用表示方法：列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合；(3 )弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別；集合的交集與并集、補(bǔ)集的概念；集合的交集與并集、補(bǔ)集“是什么”，“為什么”，“怎樣做”。學(xué)習(xí)內(nèi)容：集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)，一方面，許 多重要的數(shù)學(xué)分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上。另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想， 在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用。

2、集合的有關(guān)概念：集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這 些東西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體。一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，一些元素組成的總體叫集合(set)，也簡稱 集。關(guān)于集合的元素的特征確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對象，則或者是A的元素，或者 不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對象)，因此， 同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a屬于(belong to)A，記作

3、aA如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(not belong to)A，記作a您A常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作或+.整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R（二）集合的表示方法:我們可以用自然語言來描述一個(gè)集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列 舉法和描述法來表示集合。（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)。如：1，2, 3, 4, 5，/，3x+2，5己工? +/ .，（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在人括號 內(nèi)。具體方法：在大 括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線

4、后寫出 這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。（三）集合與集合之間的“包含”關(guān)系：集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集 合A是集合B的子集（subset）。記作：AB（或BA），當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作 AB，用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系：AB（或BA）（四）集合與集合之間的“相等”關(guān)系：AB且BA，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B結(jié)論：任何一個(gè)集合是它本身的子集.（五）真子集的概念：若集合B，存在元素xB且x您A，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset）。C D記

5、作：AB（或BA）（六）空集的概念：不含有任何元素的集合稱為空集（empty set），記作：曰規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（七）并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并 集，記作：AUB 讀作：A 并 B”，即：AUB=x!xA，或 xBVenn圖表示:說明：兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重 復(fù)元素只看成一個(gè)元素）。（八）交集:一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集;即 AHB=xlxeA，且 xEB；交集的 Venn圖表示:記作：AHB，讀作：“A交B”

6、，說明：兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合。（九）補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè) 集合為全集，通常記作U。補(bǔ)集：對于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集 合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集（complementary set），簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作：排& ； 即 CuA=x|xeU_axA；補(bǔ)集的 Venn圖表示：說明：補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制.（十）求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的 關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)

7、，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示， 挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。（十）集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論：ACbUa, AfUB, ACA=A, AC 曰=曰，ACB=BCAaUa=b, bWab, aa=a, ad =a, ADB=BDA(%A)Da=U, (&A)Ca=9若acb=a，貝0 ab，反之也成立若AUB=B,則A匚B，反之也成立若 XE(ACB),則 xEA 且 xEB若 xE(AUB),則 XEA, 或 XEB本周相關(guān)例題：O1.已知全集U=R，集合H*kT|M), 3 = 小-6工+ 8履，則集合Mn=aUI-l&MB冒工圣:A.B .工

8、|2c 蕓DX|-1EH = k 3 或二x 3 B = x2 x 4)，JZ 解析：C；容易解得于是Mn = ui2xl)2= x|?-，a. p=qB FUQ=RB.x0，則下列結(jié)論正確的是C P郭 D白解析：C；予=(LE,3.設(shè)合集1 = 列3藥，工普，S1，晝-2,-1，則仙(邙)等于A. 1 B. 1, 2C. 2D. 0, 1, 24.設(shè)集合應(yīng)=1，2,4,6解析：D；im，邙=5,故納(邙)=。,頃 = 2,3,5，則韋恩圖中陰影部分表示的集合A.2 B.3,5 C. 1,4,6D.3, 5,7,8解析：B；陰影部分表示&H=3,5.5 .若集合 = (0,1,2)則Q中元素的

9、個(gè)數(shù)是A. 3B. 5 C. 7D. 9解析：B；R = (E|1 c y ） N=yy= x + R） = yyeR， 說明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合與集合.（.乩） =普+1/巴投）是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線 =上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例刃，R|=UBi）。C10.已知集合應(yīng)=小一而+2=0， = 小-弘+2 = 0），且acb=B， 求實(shí)數(shù)m范圍。解題思路分析：化簡條件得 A=1，2），ACBuBObA根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類討論，B=，B=1或2，B=l，2當(dāng)B=時(shí)，=必一8罰 -22 m 22A = 0或2時(shí)，1- + 2 = 04-2m+ 2 = 0 蹄十”，狀無解當(dāng) B=1，2時(shí)，1 + 2 =刑1x2 = 2綜上所述說明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個(gè)重 要方面，如本題當(dāng)B=1或2時(shí)，不能遺漏=0。11.設(shè)=一尸，葬，求證：（i）(2)分析：如果集合月=U 具有性質(zhì)盧），那么判斷對象a是否是集合A的元素的基本方法就