大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)中冊(cè)湖南教育出版社

1、大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ) 高等數(shù)學(xué)(中冊(cè))湖南教育出版社第六章 向量代數(shù)與空間解析幾何6.1 向量及其線性運(yùn)算6.2 向量的向量積6.3 平面與直線6.4 曲面與曲線湖南教育出版社下頁(yè)6.1向量及其線性運(yùn)算1. 空間直角坐標(biāo)系2. 空間向量及其線性運(yùn)算3. 向量的坐標(biāo)表示上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.1向量及其線性運(yùn)算1. 空間直角坐標(biāo)系通常規(guī)定x軸，y軸，z軸的正向要遵循右手法則.橫軸縱軸豎軸坐標(biāo)原點(diǎn)上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限.6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)解 根據(jù)坐標(biāo)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，描出各點(diǎn)如下圖所示.

2、例1 求空間直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)： A(1,2,3), B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)空間兩點(diǎn)的距離公式長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于三條棱長(zhǎng)的平方和，則：所以點(diǎn)間的距離為由圖可知，該長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)分別為：6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例2 求證：以的三角形是等腰三角形.三點(diǎn)為頂點(diǎn)證 因?yàn)樗怨嗜切螢榈妊切?6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例3 一動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)到原點(diǎn)O(0,0,0)的距離為定值1，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解 因?yàn)閨MO|=1，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得化簡(jiǎn)，得所求軌跡方程為6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)2.

3、空間向量及其線性運(yùn)算6.1向量及其線性運(yùn)算向量：既有大小又有方向的量.向量表示：或以M為起點(diǎn)，N為終點(diǎn)的有向線段.向量的模：向量的大小.或零向量：模長(zhǎng)為0的向量.單位向量：模長(zhǎng)為1的向量.相等向量：模相等且方向相同的向量.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 共線向量(平行向量): 方向相同或相反的兩個(gè)向量互相平行或 重合. a/b 零向量與任何向量都平行.向量a與b垂直:約定零向量與任何向量都垂直.空間向量的加法、減法、與數(shù)乘統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算.6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 將向量a與b的起點(diǎn)放在一起,以向量a和b為鄰邊為平行四邊形,則從起點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱為a與b的和向量,記作a+b.這種求向量和的方法稱

4、為向量加法的平行四邊形法則. 向量可以平移，若把b的起點(diǎn)放到向量a的終點(diǎn)上，則自a的起點(diǎn)到向量b的終點(diǎn)的向量亦為a+b向量.這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則.定義16.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)向量a與-b的和稱為a與b的差,記作a-b.6.1向量及其線性運(yùn)算負(fù)向量: 與a的模相同而方向相反的向量.向量的減法: 把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起,a-b即是以b的終點(diǎn) 為起點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)空間向量的加法、減法與數(shù)乘滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：（1）交換律定義2（2）結(jié)合律（3）分配律6.1向量及其線性運(yùn)算定理向量b與非向量a平行的充要條件是存在實(shí)數(shù)使得上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)3. 向量的坐標(biāo)

5、表示于是，由向量加法，有點(diǎn)M在Ox,Oy,Oz軸上的投影依次為P,Q,R.如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,z),則6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)向量a有序數(shù)組6.1向量及其線性運(yùn)算a=(x,y,z)稱為向量a的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)x,y,z稱為向量a的坐標(biāo)，向量xi,yj,zk分別稱為向量a在x軸,y軸,z軸的分向量.設(shè)則 上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例4 已知和，求向量的模及與方向相同的單位向量.解 因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)為所以，向量的模為與方向相同的單位向量為6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例5 設(shè)向量解 (1) 由a/b的充要條件，得，問(wèn)數(shù) 為何值時(shí)，(1) a與b平行；(2) a與

6、b垂直. (2) 由的充要條件，得可取任意值.6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例6 已知三點(diǎn)A(-1,2,3), B(1,1,1), C(0,0,5),求因?yàn)?解 作向量 則 與 的夾角就是所以6.1向量及其線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)實(shí)例6.2 向量的向量積設(shè)O為一根杠桿的支點(diǎn)，有一力F作用于這杠桿上點(diǎn)A處，力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M，它的模M的方向垂直于F和 ,且 , F, M構(gòu)成右手系.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)定義兩個(gè)向量a和b的向量積(又稱叉積或外積)記作它是滿足下述條件的向量：構(gòu)成右手系.6.2 向量的向量積（1）向量的模（2）向量與a和b都垂直,且a, b,的方向上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)向量積有以下運(yùn)算律：（

7、1）反交換律（2）結(jié)合律（3）分配律6.2 向量的向量積上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例1 設(shè)a,b是兩個(gè)向量，且b=3a，試證：證 （1）如果a=0，則所以于是 所以（2）如果則b=3a與a平行，所以=0,6.2 向量的向量積 兩個(gè)非零向量平行的充要條件是它們的向量積為零向量. 定理上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例2 設(shè)m,n是互相垂直的單位向量，a=m-n,b=m+n,求解6.2 向量的向量積上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)設(shè)向量6.2 向量的向量積向量積的坐標(biāo)表示式上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)為了記憶，它可寫成下面的形式：其中上述三式的左端都稱為二階行列式，它的值等于對(duì)角線兩 數(shù)之積的差.6.2 向量的向量積上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例3 設(shè)a=(1,0,2),b=(-1

8、,1,2),求解 及6.2 向量的向量積上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例4 求同時(shí)垂直于x軸與向量a=(3,6,8)的單位向量.所以，所求單位向量為解 取與x軸同向的單位向量i=(1,0,0),則同時(shí)垂直于a與i的 單位向量就是與ai的平行的單位向量.或6.2 向量的向量積上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例5 已知三點(diǎn)A(1,1,1),B(2,0,-1),C(-1,1,2),求三角形ABC的面積.解 三角形ABC的面積等于以向量為邊的平行形面積的一半，根據(jù)向量積模的幾何意義，得6.2 向量的向量積上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.3 平面與直線1. 平面2. 直線3. 平面、直線間的夾角4. 點(diǎn)到平面的距離上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)平面的的方程6.3 平面與直線

9、(1) 平面的點(diǎn)法式方程如果一個(gè)非零向量n垂直于一個(gè)平面,則稱n為平面 的法向量.平面的法向量常記作n=(A,B,C).1. 平面定義1M(x,y,z)上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例1 已知平面過(guò)點(diǎn)，且垂直于的連線，求平面的方程.解 取平面的法線向量為由平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程為2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0, 即 2x+y-z=0.6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)都在平面上，例2 求過(guò)點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程.解 由于A,B,C三點(diǎn)都在平面上，所以向量因此向量垂直于平面，故可取它作為平面的法向量.因此，過(guò)點(diǎn)A(1,0,0)，且以n=i+j+k為法向量

10、的平面方程為 即 x+y+z=1.6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.3 平面與直線(2) 平面的一般方程平面的一般方程由平面的點(diǎn)法式方程上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò) 軸；平面平行于 軸；平面平行于 坐標(biāo)面；類似地可討論 情形.類似地可討論 情形.6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例3 作出下列平面. (1) x=2; (2) z=3; (3) x+y=2; 解 (1) x=2表示過(guò)點(diǎn)(2,0,0)且平行于yOz面的平面. (2) z=3表示過(guò)點(diǎn)(0,0,3)且平行于xOy面的平面.6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)(3) x+y=2表示過(guò)點(diǎn)(2,0,0),(0,2

11、,0)且與z軸平行的平面.表示過(guò)三點(diǎn)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面.6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例4 求過(guò)x軸和點(diǎn)M(2,-2,3)的平面方程.解 因?yàn)槠矫孢^(guò)x軸，所以設(shè)平面的方程為 By+Cz=0. 將點(diǎn)M(2,-2,3)代入上式，得 -2B+3C=0. 解得將代入方程By+Cz=0中，得因?yàn)?，故所求平面方程為?3y+2z=0.6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例5設(shè)平面過(guò)點(diǎn)P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc 0)，解 設(shè)平面的方程為 Ax+By+Cz+D=0.6.3 平面與直線將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得求它的方程.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)將代入所設(shè)方程得平面的截距

12、式方程6.3 平面與直線整理得上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)2. 直線(1)直線的一般方程設(shè)空間一直線為l,為交于l的兩個(gè)平面，方程為直線的一般方程6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 如果一個(gè)非零向量s平行于一條直線l，則稱s為直線l的方向向量.定義2直線l的點(diǎn)向式方程6.3 平面與直線直線的一組方向數(shù)上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)令6.3 平面與直線直線的參數(shù)方程參數(shù)上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例6 求過(guò)點(diǎn)(1,-1,2)且垂直于平面3x+2y-z+5=0的直線方程.解 與平面的法向量n=(3,2,-1) ,可取n作為直線的方向向量. 于是由點(diǎn)向式方程，得所求直線的方程為6.3 平面與直線例7求過(guò)點(diǎn)A(2,1,-1)和B(0,3,4) 的直線方程

13、.解 上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例8把直線l的一般方程化為點(diǎn)法式方程和參數(shù)方程.解先在直線l上找一點(diǎn)，令z=0，得為直線l上的一點(diǎn).6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)所以，直線l的點(diǎn)法式方程為參數(shù)方程為6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.3 平面與直線3. 平面、直線間的夾角定義3兩平面發(fā)向量的夾角中的銳角，稱為兩平面的夾角.兩平面的夾角公式 上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)(1)(2)例9 求兩平面x-2y+z+1=0和2x-y-z-2=0的夾角.解所以，兩平面的夾角6.3 平面與直線兩平面位置特征：上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)定義4兩直線方向向量的夾角中的銳角，稱為兩直線的夾角.設(shè)兩直線的夾角為兩直線的夾角公式6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 根

14、據(jù)向量平行、垂直的條件，可推出下述結(jié)論：例10 試證直線與直線垂直.證3(-2)+25+1(-4)=06.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 直線與其在平面內(nèi)的投影之間的夾角的銳角，叫做直線與平面的夾角.定義5直線與平面的夾角公式6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)根據(jù)向量平行、垂直的條件，可推出下述結(jié)論：例11 求直線與平面x-y+2z-3=0的夾角.解 直線的方向向量為s=(2,1,1),平面的法向量為n=(1,-1,2).所以，所求夾角為6.3 平面與直線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.3 平面與直線4. 點(diǎn)到平面的距離上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.3 平面與直線點(diǎn)到平面的距離公式為 例12 求點(diǎn)(3,1,-2)到平面3x-5y+

15、4z-1=0的距離.解 根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，得上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.4 曲面與曲線1. 曲面方程的概念2. 旋轉(zhuǎn)曲面3. 柱面4. 二次曲面5. 曲線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)1. 曲面方程的概念如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系：6.4 曲面與曲線定義1曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0；(2) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足F(x,y,z)=0，則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程，而曲面S稱為方程F(x,y,z)=0的圖形.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例1 求球心在點(diǎn)，半徑為R的球面方程.解 設(shè)M(x,y,z)是球面上任意一點(diǎn)， 則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得整理，得特別地，當(dāng)球心在

16、原點(diǎn)O(0,0,0)時(shí)，球面方程為6.4 曲面與曲線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)的球面.例2方程解 把原方程配方，得表示怎樣的曲面？所以，它表示球心在點(diǎn)(2,0,-1),半徑為6.4 曲面與曲線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)2. 旋轉(zhuǎn)曲面6.4 曲面與曲線 一條平面曲線C繞同一平面上的定直線l旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線l叫作旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，平面曲線C叫作旋轉(zhuǎn)曲面的母線.定義2 都在垂直于z軸的平面上，(2)(1)上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)到z軸的距離，又點(diǎn)M到z軸的距離等于點(diǎn)(3)將(2)和(3)代入(1)，得6.4 曲面與曲線類似地，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例3 求xOy面上的橢圓 繞z軸旋轉(zhuǎn)而成

17、的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 因?yàn)閦軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程以中，保持z不變，代y，得即所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為6.4 曲面與曲線旋轉(zhuǎn)橢球面 上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例4 求xOy面上的拋物線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 因?yàn)閥軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程中保持y不變，以代x，得所求曲面方程為6.4 曲面與曲線旋轉(zhuǎn)拋物面 上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例5 求yOz面上的直線z=ky(k0)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn) 曲面方程.解 因?yàn)閦軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程z=ky中保持z不變，以代y，得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為對(duì)上式平方，得6.4 曲面與曲線圓錐曲面 上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)凡是過(guò)xOy平面內(nèi)圓 且平行于z軸的直線3. 柱面例6 方程在空間表示怎樣

18、的曲面？解 方程在xOy平面上表示一個(gè)圓.上一點(diǎn)都在方程 所表示的空間圖形上.方程所表示的空間圖形可看作是由平行于z軸的一條直線沿xOy平面內(nèi)的圓移動(dòng)而成的曲面，稱為圓柱面.6.4 曲面與曲線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 一動(dòng)直線L沿定曲線C移動(dòng)，且始終與定直線l平行，則稱動(dòng)直線L的軌跡為柱面.定曲線C叫作柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫作柱面的母線.定義3 6.4 曲面與曲線上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例7 下列方程各表示何種曲面：解6.4 曲面與曲線橢圓柱面 雙曲柱面 拋物柱面 (1)(3)(2)上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè) 在空間直角坐標(biāo)系中，三元二次方程表示的曲面稱為二次曲面.4. 二次曲面定義4 (1) 橢球面 6.4 曲面與曲線相應(yīng)地，三元一次方程稱為一次曲面.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.4 曲面與曲線(2) 橢圓拋物面 zxyoxyzo上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.4 曲面與曲線5. 曲線空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.特點(diǎn)：（1）空間曲線的方程上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.4 曲面與曲線例如曲線的參數(shù)方程上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)6.4 曲面與曲線例8 設(shè)一動(dòng)點(diǎn)M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度v沿平行于z軸