線性方程組的矩陣求法

1、. z.線性方程組的矩陣求法摘要：關(guān)鍵詞：引言矩陣及線性方程組理論是高等代數(shù)的重要容, 用矩陣方法解線性方程組又是人們學(xué)習(xí)高等代數(shù)必須掌握的根本技能,本文將給出用矩陣解線性方程組的幾種方法，通過對線性方程組的系數(shù)矩陣或增廣矩陣進(jìn)展初等變換得到其解，并列舉出幾種用矩陣解線性方程組的簡便方法。用矩陣消元法解線性方程組第一節(jié) 預(yù)備知識 定義1：一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個矩陣的秩。 定理1：初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。定義2：定義假設(shè)階梯形矩陣滿足下面兩個條件：1B的任一非零行向量的第一個非零分量稱為的一個主元為1；2B中每一主元是其所在列的唯一非零元。則稱矩

2、陣為行最簡形矩陣。第二節(jié)1對一個線性方程組施行一個初等變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一個對應(yīng)的行初等變換，而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡它的增廣矩陣，因此，我們將要通過花間矩陣來討論化簡線性方程組的問題。這樣做不但討論起來比擬方便，而且能給我們一種方法，就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次都把未知量寫出來。下面以一般的線性方程組為例，給出其解法：1根據(jù)方程組可知其系數(shù)矩陣為：2其增廣矩陣為：3根據(jù)2及矩陣的初等變換我們可以得到和它同解的線性方程組，并很容易得到其解。定理2：設(shè)A是一個m行n列矩陣A=通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式4進(jìn)而化為5這里r

3、0,rm,rn,表示矩陣的元素，但不同位置上的表示的元素未必相等。即任何矩陣都可以通過初等變換化為階梯形，并進(jìn)而化為行最簡形現(xiàn)在考察方程組1的增廣矩陣3，由定理2我們可以對1的系數(shù)矩陣2施行一次初等變換，把它化為矩陣5，對增廣矩陣3施行同樣的初等變換，則3可以化為以下形式：6與6相當(dāng)?shù)木€性方程組是：7這里，是1，2，n的一個排列，由于方程組7可以由方程組1通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理1，方程組7與方程組1同解。因此，要求方程組1，只需解方程組7，但方程組7是否有解以及有怎樣的解很容易看出:情形1，rm,而,不全為零，這時方程組7無解，因?yàn)樗暮髆-r個方程中至少有

4、一個無解。因此方程組1也無解。情形1，r=m 或rm而,全為零，這時方程組7與方程組8同解。當(dāng)r=n時，方程組8有唯一解,就是=,t=1,2,n.這也是方程組1的唯一解當(dāng)rn時方程組8可以改寫為9于是,給予未知量,以任意一組數(shù)值,，就得到8的一個解：這也是1的一個解。由于,可以任選，用這一方法可以得到1的無窮多解。另一方面，由于8的任一解都必須滿足9，所以8的全部解，亦即1的全部解都可以用以上方法得到。例1：解線性方程組 解：方程組的增廣矩陣是進(jìn)展初等行變換可得到矩陣最簡形對應(yīng)的線性方程組是把移到右邊作為自由未知量，得原方程組的一般解用初等變換解線性方程組定義2：設(shè)B為mn行最簡形矩陣, 按以

5、下方法作sn矩陣C:對任一i :, 假設(shè)有B的*一主元位于第i列, 則將其所在行稱為C的第i行, 否則以n維單位向量作為C的第i行, 稱C為B的sn單位填充矩陣(其中).顯然, 單位填充矩陣的主對角線上的元素只能是1或-1 , 假設(shè)主對角線上*一元素為-1 , 則該元素所在列之列向量稱為C的J一列向量。定義3：設(shè)B為行最簡形矩陣, 假設(shè)B的單位填充矩陣C的任一J一列向量均為以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組:(1) (1)的解向量，則C與B是匹配的也說B與C是匹配的。引理1：設(shè)B為行最簡形矩陣，假設(shè)將B的第i列與第j列交換位置所得矩陣仍為行最簡形矩陣，則：將的單位填充矩陣的第行與第行交換位置，第列

6、與第列交換位置所得矩陣為單位填充矩陣，其中假設(shè)C與B是匹配的，則與也是匹配。證明：結(jié)論顯然成立，下證，因?yàn)镃與B是匹配的，故C只能是nn矩陣, 從而也是nn矩陣, 設(shè)以B為系數(shù)矩陣的方程組為(1), 以為系數(shù)矩陣的方程組為(1),以為系數(shù)矩陣的方程組為： (2)則由B與的關(guān)系可知對方程組1進(jìn)展變量代換。就得到方程組2, 于是方程組1的任一解向量交換i、j兩個分量的位置后就是方程組2的一個解向量, 又從C與的關(guān)系可知, 的任一J一列向量均可由C的*一J一列向量交換i、j兩個分量的位置后得到, 從而由C與B匹配知與也是匹配的。引理2：任一mn行最簡形矩陣與其nn單位填充矩陣C是匹配的。證明:1設(shè)(

7、3)則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為: (4)而B的單位填充矩陣為: (5)其所有J一列向量為顯然它們都是方程組(4)的解, 即B與C是匹配的.2，一般形式的行最簡形矩陣B顯然總可以通過一系列的第二類初等列變換(變換兩列的位置)化為(3)的形式, 從而B的單位填充矩陣C通過相應(yīng)的初等行、列變換就變成矩陣(5), 由于這種變換是可遞的, 據(jù)引理2及引理1知B與C是匹配的。定理3:設(shè)齊次線性方程組 (6)的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡形矩陣B, 則B的nn單位填充矩陣C的所有J一列向量構(gòu)成方程組(6)的一個根底解系。證明：設(shè)以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為(1), 則(1)與(6)同解,

8、 據(jù)引理2知C的所有J一列向量都是方程組(1)的解, 且是n-r個線性無關(guān)的解向量, (這里r=秩(B)= 秩(A), 從而構(gòu)成方程組(1)的一個根底解系, 也是方程組(6)的一個根底解系.定理3：設(shè)非齊次線性方程組 (7)有解, 其增廣矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡形矩陣B, 則B的n(n+1)單位填充矩陣C的所有J一列向量構(gòu)成方程組的導(dǎo)出組的一個根底解系, 而C的最后一個列向量為方程組(7)的一個特解。證明：由定理3, 前一結(jié)論顯然, 下證C的最后一個列向量為方程組(7)的一個特解。作齊次線性方程組(8)則方程組(8)的系數(shù)矩陣即為方程組(7)的增廣矩陣A,于是B的(n+1)(n+1)

9、單位填充矩陣為由定理3知的最后一個列向量是方程組(8)的一個解, 從而易知C的最后一個列向量即為方程組(7)的一個特解.例2:求線性方程組(9)的一般解。解:方程組(9)的增廣矩陣為用初等行變換將變?yōu)樾凶詈喰尉仃?。寫出B的56單位填充矩陣：于是, 方程組的導(dǎo)出組的根底解系為而方程的一個特解為 從而方程組9的一般解為其中,為任意常數(shù).線性方程組通解的一種簡便求法齊次線性方程組根底解系的一種簡便求法設(shè)有齊次線性方程組 (1)矩陣形式為,其中A=求方程組的一個根底解系的方法如下:,其中r = r ( A) , r ( ) = r ,即為一個行滿秩矩陣, 為n 階單位矩陣, P 為n 階可逆矩陣。則矩

10、陣P 的后( n - r) 行即為方程組(1) 的一個根底解系。下面證明此結(jié)論。證明:對于n m 矩陣,必存在n 階和m 階可逆矩陣P ,Q ,使PQ =,所以P=，因?yàn)镻為可逆矩陣, P的行向量組線性無關(guān),所以P的后( n - r) 行行向量線性無關(guān),而矩陣P的后( n - r) 行為(0 ,) P ,因?yàn)?0 , ) P=(0 , )=0,所以* = (0 , ) P為方程組一個解,即P 的后( n - r) 行為方程組(1) 的一個根底解系。因?yàn)?也就是對矩陣施行初等行變換,將其轉(zhuǎn)變?yōu)?則P 的后( n - r) 行即為方程組(1) 的一個根底解系。求齊次線性方程組的一個根底解系。解因?yàn)?/p>

11、r ( A) = 2 ,所以P的后3 行,即= ( - 2 ,1 ,1 ,0 ,0) ,= ( - 1 , - 3 ,0 ,1 ,0) , = (2 ,1 ,0 ,0 ,1)為方程組的一個根底解系。2 非齊次線性方程組通解的一種簡便求法設(shè)有非齊次線性方程組 (2)其矩陣方程為,其中.求方程組的通解的方法如下:,其中為n 階可逆矩陣, ,則(1) 矩陣Pn 的后( n - r) 行即為方程組*AT =0 的一個根底解系;(2) * = 3為方程組*AT = bT 一個特解。結(jié)論(1) 的正確性在前面已經(jīng)得到證明,下面證明結(jié)論(2) 。當(dāng)r ( AT ) = rATbT 時,方程組有解,對此情況進(jìn)展證明。則矩陣Pn 的后( n - r) 行即為方程組*AT = 0 的一個根底解系, * = 3為方程組*AT = bT 一個特解。作兩點(diǎn)說明:(1)對矩陣ATbT En+1 作初等行變換后,假設(shè)最后一行的前m 個元素不能全部變?yōu)榱?即r ( AT )rATbT ,此時方程組無解;(2) 對矩陣ATbT En+1 作初等行變換時,最后一行不能與其它各行交換位置。例2