課件現(xiàn)代控制線性系統(tǒng)2

1、2.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的線性系統(tǒng)從一般意義來講，是一類較簡的系統(tǒng)。大量的實際系統(tǒng)都可在合理的精度求范圍內(nèi)，當(dāng)作線性系統(tǒng)來對待。因此，它實用中很重要，2.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的線性系統(tǒng)從一般意義來講，是一類較簡的系統(tǒng)。大量的實際系統(tǒng)都可在合理的精度求范圍內(nèi)，當(dāng)作線性系統(tǒng)來對待。因此，它實用中很重要，本節(jié)分析這類系統(tǒng)的運(yùn)動特及其規(guī)律，并介紹了幾種主要的解法，從而出現(xiàn)代控制理論中最重要的概念之一狀態(tài)移陣狀態(tài)方程的)狀態(tài)方程變換法求解常用冪級數(shù)法冪級數(shù)法：設(shè)狀態(tài)方程的解是t的向量冪級t (btxb012k中b ,b,狀態(tài)方程的)狀態(tài)方程變換法求解常用冪級數(shù)法冪級數(shù)法：設(shè)狀態(tài)方程的解是t的向量冪級t (b

2、txb012k中b ,b,都是n維向量，則bb2t x12k) t b012k令上式等號兩邊t的同次項的系數(shù)相等，有b1 b2 b MAA 106b Akbkk!kk0M令上式等號兩邊t的同次項的系數(shù)相等，有b1 b2 b MAA 106b Akbkk!kk0M)且0，I AtA x12定義 I AteA 12Lk!k0稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為tx(tt)x(0)且0，I AtA x12定義 I AteA 12Lk!k0稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為tx(tt)x(0)例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1x1求狀態(tài)方程的x(tt)x(0)000A例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1x1求狀態(tài)方程的x(tt)x(0)000A

3、k IAt tL t keAk!21t2kk010t0k!21tt2t21 x0 t IAt tL t keAk!21t2kk010t0k!21tt2t21 x0 t At(1t 002)變換x(t& ) Ax( )邊取拉氏變換SxAx ) s 0 x()A ( x)變換x(t& ) Ax( )邊取拉氏變換SxAx ) s 0 x()A ( xx) 對上式進(jìn)行拉氏反變換得 SI )狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩 tss1 1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩 tss1 1 SI ss s ss1 s(s 4(5)5 s ()55411 ss 54s s

4、s 4狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 ss1 s(s 4(5)5 s ()55411 ss 54s ss 4狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 SIA 14t20 tt2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性) 1k k!t 具有如下的性質(zhì) tt2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性) 1k k!t 具有如下的性質(zhì) &(t)AktkAA(IA tLL2 (kAk1tkAtL (k A(t) (t)(0)A &(t)AktkAA(IA tLL2 (kAk1tkAtL (k A(t) (t)(0)A 則Q (0I又也就&(t t(t1 t2)(t1)(t2)(t2)(t11(t) (t)1(t) (t1 t2)(t1)(t2)(t2)(t11(t) (t)1(t

5、) (t)x(t2)(t2 t1)x(t1(t2 t0)(t2 t1)t0(t)k(ktAB BA eAB)t eAteBt eBteAteAB)t eAteBt eBteAt若AB 若 (t是齊次狀態(tài)方&(t) AB BA eAB)t eAteBt eBteAteAB)t eAteBt eBteAt若AB 若 (t是齊次狀態(tài)方&(t) Ax(t)的狀轉(zhuǎn)移矩陣，則引入非奇異變x px 后狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t) p1eAt ，那么原態(tài)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t) e兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩設(shè)為對角A2On且有互異的特征值，則兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩設(shè)為對角A2On且有互異的特征值，則e2t(t)Oten(m設(shè)A

6、陣約當(dāng)01OOA 10e2t(t)Oten(m設(shè)A陣約當(dāng)01OOA 10則etet tetett2LetOettm20L(m2)!(t) Mtet et000 0則etet tetett2LetOettm20L(m2)!(t) Mtet et000 0例：求下列狀態(tài)方程的解10 0 x 0 0et0e2t000(t) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩e e3t e例：求下列狀態(tài)方程的解10 0 x 0 0et0e2t000(t) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩e e3t et0e2t00狀態(tài)方程的解為：x(t 0 e3t 0已A 求：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解0已A 求：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解6 ( 例1 2 2 3 （特征值互異所以一定存在非奇異變換陣

7、p，使1A p1Ap變?yōu)閷? 2 2 3 （特征值互異所以一定存在非奇異變換陣p，使1A p1Ap變?yōu)閷茿pi i求得對應(yīng)的特征向量1p pp 123Api i求得對應(yīng)的特征向量1p pp 123則1 52p ete3t e2teQ則1 52p ete3t e2teQ例：已6A2042(t)e求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩例：已6A2042(t)e求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩解5I A 1(1)2(2)：解5I A 1(1)2(2)：Ap1 11I A 即112P Ap1 11I A 即112P 1 3p711廣義特征向(2I)21 3p711廣義特征向(2I)21 22求p492493(3I A)p3 2 p3 21 31

8、 22求p492493(3I A)p3 2 p3 21 321則1p pp p123將A化為約當(dāng)001 p0J 1e2t21則1p pp p123將A化為約當(dāng)001 p0J 1e2t0例：已1A 10求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩(t)e例：已1A 10求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩(t)e 解該矩陣的特征方程 13因此，矩陣A有三個相重特征值=1?？梢宰C明，矩陣A也將具有三重特征向量（即有兩個廣義，將矩陣A變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)特征向量）。形的變換矩陣 解該矩陣的特征方程 13因此，矩陣A有三個相重特征值=1。可以證明，矩陣A也將具有三重特征向量（即有兩個廣義，將矩陣A變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)特征向量）。形的變換矩陣010P11

9、12于是1001P11121 100:2tt 12ttet于是1001P11121 100:2tt 12ttette0即eAt=PJtt1tt20et2e 0100112111011t2et21t2et2t2et12 即eAt=PJtt1tt20et2e 0100112111011t2et21t2et2t2et12 t2ettet t2ettet t2et1212tet 3tet t2et2tet t2ett2et例已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩2et e2tete2t(t)2e2tet2t試求1(t),A解：根據(jù)性質(zhì)4， e2tet e2t2et例已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩2et e2tete2t(t)2e2tet2t

10、試求1(t),A解：根據(jù)性質(zhì)4， e2tet e2t2et1(t)(t)2et 2e2tet 2e2t而2et2e2t 2e2tet&A(t)t4e2tet 4e2ttt1 而2et2e2t 2e2tet&A(t)t4e2tet 4e2ttt1 補(bǔ)充作業(yè)已知1A03試求出矩陣指數(shù)（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t) e用不同的方法（1）拉氏變）（2）線性變化為約當(dāng)補(bǔ)充作業(yè)已知1A03試求出矩陣指數(shù)（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t) e用不同的方法（1）拉氏變）（2）線性變化為約當(dāng)3.狀態(tài)方程的n x為n維向量，u為p維向量常矩陣，B常數(shù)矩(1)直接積分解x()txt()te等式兩3.狀態(tài)方程的n x為n維向量，u為p維向量

11、常矩陣，B常數(shù)矩(1)直接積分解x()txt()te等式兩eAt&(t)Ax(t) eAtBu(t則eAt&(t) AeAtx(t) eAtBu(t即eAteAt&(t)Ax(t) eAtBu(t則eAt&(t) AeAtx(t) eAtBu(t即eAtx(t)eAtBu(t在0到t之間對上式進(jìn)行積分，可ttA)dx(t) eeBud 00Aex)d00t x0 e)(d0e兩邊同乘得0)t(d0eAt 即為線性定常系統(tǒng)之狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 t 則上式可寫t(Aex)d00t x0 e)(d0e兩邊同乘得0)t(d0eAt 即為線性定常系統(tǒng)之狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 t 則上式可寫t( 0 x(0通過變量代換，

12、上式還可以表示tx t ( )()(d)0非狀態(tài)方程的解，解中包含有系對初始狀態(tài)(x 響應(yīng)項和系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)項通過變量代換，上式還可以表示tx t ( )()(d)0非狀態(tài)方程的解，解中包含有系對初始狀態(tài)(x 響應(yīng)項和系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)項Laplace解&狀態(tài)方非的拉氏變換為（考慮初始條(x x( )( ( s )sI (x )上式等號兩邊：s)0A(對上式取拉氏反變換即得x( )( ( s )sI (x )上式等號兩邊：s)0A(對上式取拉氏反變換即得0 ) )L根據(jù)卷積定理有d0因0 ) e )xt (0tx t ( ()t()0根據(jù)卷積定理有d0因0 ) e )xt (0tx t ( ()t()0例10 11& 0 x1x(0) 0u(t)x(例10 11& 0 x1x(0) 0u(t)x(t)解：A為約當(dāng)型矩et0eAte2t 0t e)d00et0eAte2t 0t e)d00e)t0tt000t