拉氏變換教程

1、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換 設(shè)函數(shù)f(t) (t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實(shí)數(shù)）；稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。2、拉氏反變換 L1為拉氏反變換的符號(hào)。3、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 單位階躍函數(shù)1(t) 10tf(t)單位階躍函數(shù) 指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1 正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有： 從而：同理： 單

2、位脈沖函數(shù)(t) 0tf(t)單位脈沖函數(shù)1由洛必達(dá)法則：所以： 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 10tf(t)單位速度函數(shù)1 單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t) 函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。 常用拉氏變換表5、拉氏變換的主要定理 疊加定理 齊次性：Laf(t)=aLf(t)，a為常數(shù)； 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。 實(shí)微分定理 證明：由于即：所以：同樣有：當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）： 積分定理 當(dāng)初始條件為零時(shí)：證明：同樣：當(dāng)初始條件為零

3、時(shí)： 延遲定理 設(shè)當(dāng)t0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意0，有：函數(shù) f(t-)0tf(t)f(t)f(t-) 位移定理 例： 初值定理 證明：其中:初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 終值定理 若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面， 即：存在。則：證明：又由于：即：終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。7、求解拉氏反變換的部分分式法 部分分式法如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1F

4、(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，-p1，-p2，-pn為方程A(s)=0的根的負(fù)值，稱為F(s)的極點(diǎn)；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。 F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)式中，Ai為常數(shù)，稱為s = -pi極點(diǎn)處的留數(shù)。例：求的原函數(shù)。解：即：例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）解：其中：p10、p2-2、p3-5同理：A2=0.5、A30.6其反變換為： F(s)含有重極點(diǎn) 設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則： 式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。注意到：所以：例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：B（s）0有 p11的三重根、p20的二重根，所以F（s）可以展開為：從而：例：求的原函數(shù)。解：于是：8、 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程； 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達(dá)式； 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程 實(shí)例設(shè)系統(tǒng)微分方