結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算二

1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算（二）多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)Goals運(yùn)動(dòng)微分方程的建立和求解振型向量的概念自由振動(dòng)頻率和振型計(jì)算多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng)柔度法：受力分析多自由度和無(wú)限自由度體系的振動(dòng)柔度法：動(dòng)力平衡方程思路：自由振動(dòng)的任一時(shí)刻各質(zhì)量塊的位移應(yīng)等于該時(shí)刻各慣性力的共同作用所產(chǎn)生的位移。即兩自由度的體系有多自由度和無(wú)限自由度體系的振動(dòng)柔度法：微分方程求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算感興趣的是各質(zhì)量塊按相同的頻率和相同的相位角作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的自由振動(dòng)解，即所謂體系的固有振動(dòng)。設(shè)多自由度動(dòng)力平衡方程的解為（以兩自由度

2、體系為例）：多自由度和無(wú)限自由度體系的振動(dòng)柔度法：微分方程求解將簡(jiǎn)諧解代入動(dòng)力平衡方程得整理上述方程，得多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)上述方程記成矩陣形式多自由度和無(wú)限自由度體系的振動(dòng)柔度法：微分方程求解上述齊次代數(shù)方程組要有不全為零解則必須滿足條件（Cramer rule）令 并展開(kāi)上式，得到關(guān)于 的二次方程多自由度和無(wú)限自由度體系的振動(dòng)柔度法：微分方程求解其解為兩根均為正的實(shí)根，可求得圓頻率的兩個(gè)值多自由度和無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：建立微分方程兩自由度體系有多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：建立微分方程多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：建立微分方程質(zhì)量塊所受的彈性力與結(jié)構(gòu)的位移

3、之間的關(guān)系為一般來(lái)說(shuō)，對(duì)任意多自由度體系有多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：建立微分方程將彈性力表達(dá)式代入動(dòng)力平衡微分方程，得一般來(lái)說(shuō)，對(duì)任意多自由度體系有多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：建立微分方程記成矩陣形式其中：多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：微分方程求解同樣令解為代入到平衡微分方程（以兩自由度體系為例）得多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)剛度法：微分方程求解顯然，上述齊次方程組有全不為零解的條件是展開(kāi)頻率方程，得到用剛度系數(shù)表達(dá)的頻率的解為多自由度及無(wú)限自由體系的振動(dòng)剛度法：微分方程的解多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度體系自由振動(dòng)舉例Example 1:簡(jiǎn)支梁質(zhì)量集中

4、在兩點(diǎn)處如圖示，截面抗彎模量為常數(shù)，求自振頻率。多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)分析：簡(jiǎn)支梁的柔度系數(shù)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，用柔度法求解，（靜定結(jié)構(gòu)用柔度法方便）。解：計(jì)算結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)由圖乘法得計(jì)算圓頻率將柔度系數(shù)代入下式（注意到 以及 和 ）多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)簡(jiǎn)支梁的兩個(gè)自由振動(dòng)圓頻率為注意：頻率按從小到大的順序排列多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度體系自由振動(dòng)舉例Example 2橫梁剛度為無(wú)窮大，各層間剛度系數(shù)分別為 、 、 ，一、二、三層樓板處的質(zhì)量分別為 、 、 。求結(jié)構(gòu)的自振頻率。（說(shuō)明： 所謂層間剛度系數(shù)即是使該層產(chǎn)生單位移而其它各層固定不動(dòng)

5、時(shí)所需的力）多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)Example 2多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)解：求剛架的剛度系數(shù)及剛度矩陣類(lèi)似可求得其它系數(shù)，剛度矩陣為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)寫(xiě)出質(zhì)量矩陣計(jì)算圓頻率多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)其中展開(kāi)矩陣方程得求得多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓頻率為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)振型的概念注意到無(wú)論是柔度法的位移協(xié)調(diào)方程還是剛度法的動(dòng)力平衡方程，它們都是關(guān)于位移的齊次方程，因而其解應(yīng)該有無(wú)窮多組，即任一組解的線性組使都是該方程的解。結(jié)構(gòu)的位移并不能給出具體值。通常只關(guān)心在同一頻率下各質(zhì)量的相對(duì)位置，即關(guān)于振動(dòng)的形態(tài)。單跨三層平面剛架如圖所示，假定

6、剛架的質(zhì)量全部集中在各層橫梁上，m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的慣性矩。 I1=3.26710-3m4, I2=10-3m4, I3=10-3m4,橫梁I4=，材料彈性模量E=200Gpa。忽略桿的軸向變形,求剛架的自振頻率和振型。多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)解: (1) 體系由3個(gè)自由度；采用剛度法計(jì)算?，F(xiàn)計(jì)算剛度系數(shù)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)（2）求各階頻率 把計(jì)算得到的系數(shù)代入頻率方程多自由度及無(wú)限自由度的振動(dòng)令 則：方程的實(shí)根為：剛架的三個(gè)自振頻率為： 多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)（3）求振型 將計(jì)算

7、的結(jié)果代入方程：將 代入上式，令1（3）=1，展開(kāi)任意兩個(gè)方程可解得： 1(1)=0.3332 ， 1(2)=0.6665 ，第一主振型為： 1= 0.3332 0.6665 1 T 將 代入上式，令2（3）=1，同樣可解得： 2(1)=-0.6665 ， 2(2)=-0.6665 ，第二主振型為： 2= -0.6665 -0.6665 1 T 將 代入上式，令3（3）=1，同樣可解得：第三主振型為： 3= 4.0 -3.0 1 T 或3= 1 -0.75 0.25 T 多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)（4）剛架的振型圖0.66650.333210.66650.6665110.750.25多自由

8、度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)第一振型多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)第二振型多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)第三振型多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)主振型的正交性 在同一體系中，任何兩個(gè)不同的主振型向量 和 ，都滿足下列關(guān)系式：多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)主振型的正交性證明由功的互等定理知：任一主振型中的慣性力在另一主振型相應(yīng)位移上所做的功，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘诙裥偷膽T性力在該主振型的相應(yīng)位移上所做的功。以兩自由度為例，有多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)因是兩不同的主振型，所以有注意到兩振型的選擇任意性，故主振型正交性得到證明。類(lèi)似可以證明，主振型對(duì)剛度矩陣也有正交性，只要把質(zhì)量矩

9、陣換成剛度矩陣即可。 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化的振型向量，也同樣具有正交性 ：矩陣M和K兩邊相乘的是同一個(gè)振型向量i時(shí), 它們的乘積等于一個(gè)數(shù): Mi 稱(chēng)為廣義質(zhì)量. Ki 稱(chēng)為廣義剛度. 主振型正交性應(yīng)用：可利用振型的正交性來(lái)校核計(jì)算出的主振型向量是否正確。 多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)自由振動(dòng)微分方程的特解:自由振動(dòng)微分方程的通解為各特解的某種線性組合，即 :它的代表形式是： 多自由度體系自由振動(dòng)的通解 組合系數(shù)i和初位相i可由振動(dòng)的初始條件確定；在一般情況下系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，其位移向量中包含了各個(gè)主振型成分，是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)體系的初始位移和初始速度滿足一定的條件時(shí)體系

10、才按主振型振動(dòng)。振型向量Y一般可以看成是系統(tǒng)各主振型向量的某種線性組合:多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng) 振型組合系數(shù)的確定：對(duì)上式兩邊左乘 則： 考慮到振型的正交性, 等式右邊的多項(xiàng)式中, 除只有i=j 一項(xiàng)不等于零，而等于廣義質(zhì)量Mj 外，其余各項(xiàng)均為零綜上所述，根據(jù)結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K或柔度矩陣F，可計(jì)算結(jié)構(gòu)的各階自振頻率i和主振型向量i ，進(jìn)一步可計(jì)算振型組合系數(shù)i ，最終可求得系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)的振型向量Y。 其中廣義質(zhì)量Mj ： 多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)建立體系自身的質(zhì)量矩陣M：計(jì)算體系自身的剛度矩陣K或柔度矩陣F： 多自由度體系自由振動(dòng)的計(jì)算步驟：根據(jù)頻率方程計(jì)算結(jié)構(gòu)的各

11、階自振頻率i 多自由度及無(wú)限自由度的振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)計(jì)算系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)的振型向量Y計(jì)算結(jié)構(gòu)的主振型向量i計(jì)算振型的組合系數(shù)j 多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)n個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)（每一質(zhì)量體比自由振動(dòng)時(shí)多承擔(dān)一項(xiàng)強(qiáng)迫振動(dòng)力）多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)若荷載是簡(jiǎn)諧荷載（注意頻率相同），則有取穩(wěn)態(tài)解多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)振動(dòng)特征方程將穩(wěn)態(tài)解代入振動(dòng)方程，得（注意與自由振動(dòng)比較）解的討論：若系數(shù)矩陣不為零，即 可求得振幅，從而得到任一時(shí)刻各質(zhì)量體的位移多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)若系數(shù)矩陣為零，即聯(lián)系到多自由度體系的自由振動(dòng)解的存在

12、條件，可知此時(shí)，振幅趨于無(wú)窮大，意味著當(dāng)強(qiáng)迫振動(dòng)頻率與自由振動(dòng)頻率中的任一個(gè)相同時(shí)，就可能出現(xiàn)共振現(xiàn)象。多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)無(wú)限自由度體系的自由振動(dòng)有限自由度與無(wú)限自由度體系運(yùn)動(dòng)特征描述比較：有限自由度體系的質(zhì)量體是固定的，即質(zhì)量體的位置坐標(biāo)是一定的，可以單獨(dú)描述各質(zhì)量體的位置，各質(zhì)量體的振動(dòng)位置只是時(shí)間的函數(shù)，其運(yùn)動(dòng)方程是常微分方程。無(wú)限自由度體系的各質(zhì)量點(diǎn)的位置是變化化的，因而在連續(xù)描述其運(yùn)動(dòng)時(shí)是位置和時(shí)間的函數(shù)，即多變量函數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程。多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)等截面桿的彎曲振動(dòng)多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)用變量分離法求解無(wú)限自由度的振動(dòng)方程，即設(shè)其解為兩個(gè)分

13、別只與位置和時(shí)間有關(guān)的函數(shù)的乘積。上式意味著在不同的時(shí)刻，彈性曲線的形狀保持不變，只是隨著時(shí)間不同，振幅不同。將上述分離變量解代入運(yùn)動(dòng)方程，得多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)整理可得 上式右邊與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)，左邊與時(shí)間無(wú)關(guān)，因而它們都應(yīng)與位置坐標(biāo)和時(shí)間都無(wú)關(guān)，即為常數(shù)。進(jìn)而可得到兩個(gè)微分方程：多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)其中 或者 關(guān)于時(shí)間的微分方程（第一個(gè)方程）的通解為（回憶單自由度的自由振動(dòng)解） 或多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)于是無(wú)限自由度彎曲自由振動(dòng)梁的解為 可見(jiàn)自由振動(dòng)是以 為圓頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)， 是其振幅曲線，注意常數(shù) 已包括在待定振幅函數(shù) 中。關(guān)于位置坐標(biāo)的微分方程（第二個(gè)方程）的

14、解可表示為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)依據(jù)邊界條件，可寫(xiě)出包含待定常數(shù) 的四個(gè)齊次方程。對(duì)簡(jiǎn)支梁左邊界有導(dǎo)出振幅曲線為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)對(duì)簡(jiǎn)支梁右邊界有上述齊次方程組有解的條件為即多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)注意到將導(dǎo)致 ，故取解為其根為為無(wú)窮多個(gè)。多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)與特征解對(duì)應(yīng)的頻率為振幅曲線解為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)用Rayleigh法求第一頻率原理：一個(gè)無(wú)阻尼的彈性體系自由振動(dòng)時(shí)，它在任一時(shí)刻的總能量（應(yīng)變能與動(dòng)能之和）應(yīng)當(dāng)保持不變，即能量守恒。對(duì)等截面分布質(zhì)量的橫梁，其位移可表示為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)與振動(dòng)曲線對(duì)應(yīng)的彎曲應(yīng)變能為其最大值為梁的動(dòng)能為多自由度及無(wú)限自由度體系的振動(dòng)動(dòng)能的最值為當(dāng)