圖形的相似專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)資料配套練習(xí)

1、(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似;考點(diǎn)三十五：圖形的相似聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解1、比和比例的有關(guān)概念:表示兩個(gè)比相等的式子叫作比例式，簡(jiǎn)稱(chēng)比例ac第四比例項(xiàng)：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例項(xiàng).bdab比例中項(xiàng)：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中項(xiàng).bc黃金分割：把一條線段(AB)分割成兩條線段，使其中較長(zhǎng)線段(AC)是原線段AB與較短線段(BC)的比例線段，就叫作把這條斤_1線段黃金分割.即AC2=AB-BCAC=AB：0.618AB;一條線段的黃金分2割點(diǎn)有兩個(gè).2.比例的基本性質(zhì)及定理ac(1)ad=bcbd(2

2、)ca_bc_d=一T=dbdc=|l(=m(bd|n=0)dnac|l(mbd11(n3.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.4.相似三角形.相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做兩個(gè)相似三角形的相似比.5.相似三角形的判定兩角

3、對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似；直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似.相似三角形性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.8位似圖形概念：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)

4、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.名師點(diǎn)睛典例分類(lèi)考點(diǎn)典例一、比例的基本性質(zhì)、黃金分割【例1】已知b=，則色辿的值是()a13abA239r4A.一B.C.D.3249【答案】D.【解析】試題分析：先設(shè)出b=5k，得出a=13k，再把a(bǔ),b的值代入即可求出答案.試題解析：令a,b分別等于13k和5k,.a-b13k-5k4.ab13k5k9故選D.考點(diǎn)：比例的性質(zhì).【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形.【舉一反三】若4y-3x=0，則【答案】7.3【解析】試題分折:先用v表示出X,然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解.試題解析S/4y-3x-=0j

5、（2）如圖2,已知/【答案】考點(diǎn)：比例的性質(zhì).考點(diǎn)典例二、三角形相似的性質(zhì)及判定【例2】（2015.山東威海，第23題）（1）如圖1，已知/ACB2DCE=90,AC=BC=6CD=CEAE=3,/CAE=45,求AD的長(zhǎng).ACB=zDCE=90，/ABC玄CED2CAE=3C,AC=3AE=8,求AD的長(zhǎng).【解析】試題分析：（1）連接證明A3笑BCE,得到AD=BEj在RtABAE中，AB二沁，肛二4求出BE，得到答案（2）連接眄證明/UCDs眈E,得到坐坐遲求出盹的長(zhǎng)/得到AD的長(zhǎng).BEBC3試題解析：（1）如圖G連接BE扌.，ZACB=ZDCE=90,/.ZACB+ZACE=ZDCE+Z

6、AjCE,即ZBCE=ZACD7又TAC二egDC=ECJfAC=BC在ACD和ZkECE中，ZBCE=ZACD,/,AiCDABCE,?.AD=BEJ:圧-BC=6,DC二EGtAB=gV2,ZBAC=ZCAE=45&3?.Z0E=9O&,在RtABAE中，ABP伍，AE二3,.BE=9,J.AD=9BC3beBC，（2）如圖2,連接BE,在RtACB中，/ABC=CED=30,tan30/ACB玄DCE=90,/BCENACDACDABCE/BAC=60，/CAE=30/BAE=90，又AB=6,AE=8,?BE=10,AD=考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理3

7、【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.【舉一反三】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MN在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM連接NRBP.求證：四邊形BMNR是平行四邊形；線段MN與CD交于點(diǎn)Q連接AQ若厶MCAAMQ貝UBM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.D【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)BM=MC【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC/ABC=ZB,然后利用“邊角邊”證明BCP全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BPZBAMMC

8、BP再求出AMLBP,從而得到MNBP,然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；(2)根據(jù)同角的余角相等求出/BAMMCMQ然后求出厶ABMFHAMCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例ABamabam可得=，再求出厶AMQAABM根據(jù)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，從而得到MCMQBMMQABAB口,zl=t.，即可得解.MCBM試題解析：(1)證明：在正方形ABCD中,AB=BCMABCMB,在厶ABMDABCP中，AB=BCABC=C,CP=BMABNmBCP(SAS,AM=BPMBAMMCBP/BAMMAMB=90,MCBP+MAMB=90,AMLBP,/AM并將線段AM

9、繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MNAMLMN且AM=MNMN/BP,四邊形BMNP是平行四邊形;理宙如下：,ZAMB-ZCX【Q=9O”，.ZBAM=ZCNJQ?又?ZABC=ZC=90,二ABMsUCQ.AB_AM疋一龐T/AMCQAAMQ,/.AAMQAABXb麗-邁”AB_ABJic麗Z.BM=MC.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).考點(diǎn)典例三、相似三角形綜合問(wèn)題【例3】如圖，已知AB是OO的直徑，BC是OO的弦，弦ED丄AB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C的直線與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,PC=PG.(1)求證：PC是OO的切線；當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件

10、不變，若BG2=BF-B0求證：點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)在滿(mǎn)足(2)的條件下，AB=10,ED=4.6，求BG的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)25.【解析】試題分析：(1連0C,由ED丄得到ZFBG-ZFGB=90%又PC=PD,則而Z2=ZFGB,Z4-ZFBG,即可得到Zl-Z4=90根據(jù)切線的判走定理即可得到結(jié)論；2)連0G,由BBF-30,即3G;B0-3F:BG,根據(jù)三角形相似的判定定理得到BGOcoABFG,由苴性mJZOGB=ZBFG=90然后根據(jù)垂徑定理即二得到點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；連0三，由ED丄AB,根iS垂徑罡理得到FE=FD,而AB*10,ED=4缶,得到z

11、F=2a/60E=5,在RtAOEF中利用勾股定理可計(jì)算出OF,從而得到3F,燃后根據(jù)3G-BF-30即可求出BG.試題解析：(1)證明：連0C如圖，/EDAB,/FBG+ZFGB=90,又PC=PG/仁/2,而/2=ZFGB/4=/FBG/1+/4=90,即卩OCLPC,PC是OO的切線；(2)證明：連OG如圖，g-B/B&=BF?BQ即BGBO=BFBQ而/FBG=ZGBO/OGBMBFG=90,即OGLBGBG=CG即點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；解：連OE如圖，/ED丄AB,FE=FD而AB=10,ED=4.6,EF=2花,OE=5在RtOEF中，OF=.OE2EF2=,52-(2.6)2=1,B

12、F=5-1=4,/B=BF?BOB=BF?BO=4X5,BG=2、5考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、垂徑定理、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用.【舉一反三】課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC它的邊BC=120mm高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少毫米？小穎解得此題的答案為48mm小穎善于反思，她又提出了如下的問(wèn)題.如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖，此時(shí)，這個(gè)矩形零

13、件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少毫米？請(qǐng)你計(jì)算.如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng).2404802【答案】這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為mmmmS的最大值為2400mm,此時(shí)PN=60mmPQ=40mm77【解析】試題分析：(1)設(shè)PN=2y(mr)i，貝UPQ=y(mr)i，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出即可；(2)設(shè)PN=x用PQ表示出AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答

14、.試題解析：(1)設(shè)矩形的邊長(zhǎng)PN=2y(irn),則PQw(皿由條件可得APHSUC,.PN_AE1CAD12080解得y=7答：這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為2407rnm?4S0(2)設(shè)PN=x(mm,矩形PQMN勺面積為S(mm2,由條件可得APNAABCPNAE剛x80-PQ二,即BCAD120802解得PQ=80-x.3S=PN?PQ=x(80-x)=-x2+80 x=-(x-60)2+2400,3332S的最大值為2400mm,此時(shí)PN=60mmPQ=80 x60=40(mm.3考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；二次函數(shù)的最值.考點(diǎn)典例四、相似多邊形與位似圖形【例4】如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)

15、度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫(huà)出AiBiCi和厶A2B2C2;(1)把厶ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到AiBG;(2)以圖中的0為位似中心，將AiBC作位似變換且放大到原來(lái)的兩倍，得到AB2C2.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)作圖見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)把AB、C三點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到A,B,C,順次連接得至U的各點(diǎn)即可；(2)延長(zhǎng)0A到A,使0A=20A1，同法得到其余各點(diǎn)，順次連接即可.試題解析：考點(diǎn)：作圖-位似變換；作圖-平移變換.【點(diǎn)睛】本題考查了平移、位似的作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】

16、(2015遼寧營(yíng)口)如圖，ABE和厶CDE是以點(diǎn)E為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)A(3,4)，點(diǎn)C(2,2)，點(diǎn)D(3,1)，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是().kAA0第題割(5,2)D.(5,1)A.(4,2)B(4,1)C【答案】C.【解析】試題分析：分別過(guò)GD,屯做盂軸的垂線垂足分另1展巧比氏因?yàn)?D的橫坐標(biāo)相同，所以D在AH上，ECEF1E(IjO),C氛2)A(3,4,D(3.1)、二EQ1,FH二“TCFAH”B&；.=-,/CDAEEH2h*ECED1.tEHDHED1+.+.血=-,/DH/BK,=-,EH=27DH=1,.E1M,BK=2j/.0K=5J二AEEB2EKBKEB2B

17、(5；2)故選C考點(diǎn)：1.位似性質(zhì)；2.平行線分線段成比例定理.課時(shí)作業(yè)能力提升一、選擇題（2015成都）如圖，在ABC中,DEEBCAD=6，B=3，AE=4,貝UEC的長(zhǎng)為（）【解析】ADAE64試題分析：根據(jù)平行線段的比例關(guān)系，爛二竺，即6,EC=2，故選B.DBEC3EC考點(diǎn)：平行線分線段成比例.（2015黑龍江哈爾濱）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，連接EF,分別交ADCD于點(diǎn)GH,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()(A)EAEGEGAGABBCFHCF(B)-:_GD(C)-CF(D)BEEFGHAEEHAD【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)平行四邊

18、形的性質(zhì)可得AE3ABEF,ADGHTAAGECHFAAGE從而可以得出AB、D三個(gè)選項(xiàng)是正確的，只有C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.考點(diǎn)：三角形相似的應(yīng)用(2015湖北武漢，6題，3分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6,3)、B(6,0).以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為丄，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()3A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)C*4a0DB【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)位似團(tuán)形的性質(zhì)可得:點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6X1=2,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3X1=1,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(31)，考點(diǎn)：位似圖形的性質(zhì)(2015.山東淄博，第8題，4分)如圖，在四邊形ABCD中,

19、DC/ABCBLABAB=ADCDAB,點(diǎn)E、F2分別為ABAD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為(A.-B.C.D.【答案】C.【解析】試題分析：如團(tuán)連接D瓦根抿三角形的中位線求出E片Zed,EF/BD,推出AEFS21ABD得出學(xué)些丄,考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理.（2014?泰安）在厶AB6HAA1B1C中，下列四個(gè)命題：若AB=A1B1,AC=AiCi,ZA=Z人，則厶ABCAABC;若AB=A1B1,AC=AiCi,ZB=ZB1,則ABCAABC;若/A=ZA,ZC=Z6,則厶ABCAABC;若AC:AiCi=CB:CiBi,ZC=Z6,則厶ABCAAiBCi.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】試題分析：分別利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可得到正確的選項(xiàng).試題解