空間向量解立體幾何題講義(自編精品)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)空間向量解立體幾何題講義【提綱】一、回顧平面向量的有關知識平面直角坐標系平面向量的坐標表示及運算平面向量的數(shù)量積、模及夾角公式平面向量的平行和垂直的的充要條件二、介紹空間向量的有關知識（推廣）空間直角坐標系空間向量的坐標表示及運算空間向量的數(shù)量積、模及夾角公式空間向量的平行和垂直的充要條件直線的方向向量平面的法向量空間向量的應用（1）證明：平行；垂直（2）計算：角；距離【教學過程】一、復習回顧平面向量的有關知識1、平面直角坐標系2、平面向量的坐標表示及運算3、平面向量的

2、數(shù)量積、模及夾角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要條件二、介紹空間向量的有關知識（推廣）（一）空間直角坐標系1、建立 以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，即三條坐標軸稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面，如圖所示。注：作空間直角坐標系時，一般使（或），。2、（正交）基底 用表示（二）空間向量的坐標表示及坐標運算1、坐標表示給定空間直角坐標系和向量，設為坐標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，其中叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標若，則，如右圖所示。若，則

3、，如右下圖所示。2、坐標運算若，則（1）（2）（3）（三）空間向量的數(shù)量積、模及夾角公式1、設是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為02、模長公式：，其中3、夾角公式：（四）空間向量的平行和垂直的充要條件1、 2、，其中是兩個非零向量）（五）直線的方向向量把直線上的向量以及與共線的向量叫做直線的方向向量（六）平面的法向量若表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量。在空間求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。法2：（待定系數(shù)法）步驟：建立空間直接

4、坐標系；設平面的法向量為；在平面內(nèi)找兩個不共線的向量和；建立方程組：；解方程組，取其中的一組解即可。（七）空間向量的應用1、證明平行和垂直（1）證明兩直線平行已知兩直線和,則存在唯一的實數(shù)使（2）證明直線和平面平行已知直線和平面的法向量,則（3）證明兩個平面平行已知兩個不重合平面,法向量分別為,則（4）證明兩直線垂直已知直線，則（5）證明直線和平面垂直已知直線和平面，A、B,平面的法向量為,則（6）證明兩個平面垂直已知兩個平面和及兩個平面的法向量，,則2、求角與距離（1）求兩異面直線所成的角已知兩異面直線，且，則異面直線所成的角的計算公式為： （2）求直線和平面所成的角 已知A,B為直線上任意

5、兩點，為平面的法向量，則和平面所成的角為: 當時，； 當時，（3）求二面角已知二面角分別為面的法向量，則二面角的平面角的大小與兩個法向量所成的角相等或互補,即或注:如何判斷二面角的平面角和法向量所成角的大小關系？ 通過觀察二面角的平面角是銳角還是鈍角,再由法向量成的角來定之。 通過觀察法向量的方向,判斷法向量所成的角與二面角的平面角相等還是互補。（4）求兩條異面直線的距離已知兩條異面直線,是與兩條異面直線都垂直的向量,且，則兩條異面直線的距離為 推導：作，垂足為，連結(jié)，即為所求，設，則（5）求點到面的距離已知平面和點，,為平面的法向量，則點到平面的距為 推導過程：類似上面方法三、例題選講例1（

6、2008安徽理）如圖，在四棱錐中，底面是四邊長均為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線（）求異面直線與所成角的大?。唬ǎ┣簏c到平面的距離.例2（2005湖南文、理）如圖1，已知是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面角，如圖2（）證明：； （）求二面角的大小.ABCDOO1ABOCO1D例3(2007四川理）如圖，是直角梯形，又，直線與直線所成的角為60（）求證：平面平面； （）求二面角的大小；（）求三棱錐的體積.四、練習題1、（2006福建文、理）如圖，四面體中，、分別是、的中點，,.（I）求證：平面； （II）求異面直線與所成角的大小；（III）求

7、點到平面的距離.2、(2007海南、寧夏理)如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點 （）證明：平面；（）求二面角的余弦值3、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點在正方體的對角線上，（）求與所成角的大?。唬ǎ┣笈c平面所成角的大小.4、（2007安徽文、理)如圖,在六面體中,四邊形是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面，() 求證:與共面，與共面； () 求證:平面；() 求二面角的大小.5、(2006全國卷文、理)如圖，、是互相垂直的異面直線,是它們的公垂線段.點、在上，點在上，。 （）證明； () 若，求與平面所成角的余弦值。ABMNCl2l1H例題及練習題參考答

8、案 例1 解：作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系，則，()設平面OCD的法向量為,則即 取,解得平面 ()設與所成的角為, , 即與所成角的大小為()設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為例2 解:（I）證明 由題設知OAOO1，OBOO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，則相關各點的坐標是，,. 從而，所以ACBO1. （II）解：因為所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面O

9、AC的一個法向量.設是0平面O1AC的一個法向量，由 得. 設二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，所以cos，= 例3 解：（），又（）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系（如圖）由題意有 設，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設平面的一個法向量為，則，取，得,平面的法向量取為設與所成的角為，則,顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）解法一：由（）知，為正方形（）解法二：取平面的法向量取為，則點A到平面的距離 ，練習1：(1)證明：連結(jié)OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,AO

10、2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC. AO平面BCD.（）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0,0,1),E(,0), 異面直線AB與CD所成角的大小為（）解法一：設平面ACD的法向量為,則 令y=1，得=(-)是平面ACD的一個法向量.又點E到平面ACD的距離h=（）解法二：設點E到平面ACD的距離為h. ,SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h= 點E到平面ACD的距離為. 練習2：證明：（）由題設，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，

11、從而所以為直角三角形，又所以平面（）解：以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為 練習3：解：如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標系則，連結(jié)，在平面中，延長交于設，由已知，由ABCDPxyzH可得解得，所以（）因為，所以即與所成的角為（）平面的一個法向量是因為，所以可得與平面所成的角為 練習4：解（向量法）：以D為原點，以DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）（）證明：于是與AC共面，與BD共面.（）證明：內(nèi)的兩條相交直線， 又

12、平面（）解：設于是設于 練習5：解: 如圖,建立空間直角坐標系Mxyz.令MN=1, 則有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),ABMNCl2l1Hxyz()MN是 l1、l2的公垂線, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z軸. 故可設C(0,1,m).于是 eq o(AC,sup6()=(1,1,m), eq o(NB,sup6()=(1,1,0). eq o(AC,sup6() eq o(NB,sup6()=1+(1)+0=0 ACNB.() eq o(AC,sup6() =(1,1,m), eq o(BC,sup6()=(1,1,m), | eq o(AC,sup6

13、()|=| eq o(BC,sup6()|, 又已知ACB=60,ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB= eq r(2), 可得NC= eq r(2),故C(0,1, eq r(2).連結(jié)MC,作NHMC于H,設H(0, eq r(2) (0). eq o(HN,sup6()=(0,1, eq r(2), eq o(MC,sup6()=(0,1, eq r(2). eq o(HN,sup6() eq o(MC,sup6() = 12=0, = eq f(1,3) ,H(0, eq f(1,3), eq f(r(2),3), 可得 eq o(HN,sup6()=(0, eq f(2,3), eq f(r(2),3), 連結(jié)BH,則 eq o(BH,sup6()=(1, eq f(1,3), eq f(r(2),3), eq o(HN,sup6() eq o(BH,sup6()=0+ eq f(2