各種圓定理總結(jié)

1、費爾巴赫定理三角形的九點圓 與內(nèi)切圓內(nèi)切，而與旁切圓外切。此定理由德國數(shù)學(xué)家費爾巴赫(K W Feuerbach ， 1800 1834)于 1822 年提出。費爾巴赫定理的證明在不等邊ABC 中 ,設(shè)O,H,I,Q,Ia 分別表示ABC 的外心，垂心，內(nèi)心，九點圓心和 TOC o 1-5 h z A 所對的旁切圓圓心.s,R,r,ra 分別表示ABC 的半周長，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑和A所對的旁切圓半徑,BC=a,CA=b,AB=c.易得 HAO=|B-C|, HAI= OAI=|B-C|/2;AH=2R*cosA,AO=R,AI= (s -a)bc/s,AIa= sbc/-(as)在 AH

2、I 中，由余弦定理可求得:HI2=4R2+4Rr+3r2-s2;在 AHO 中，由余弦定理可求得:HO2=9R2+8Rr+2r2-2s2;在 AIO 中，由余弦定理可求得:OI2=R(R-2r). 九點圓心在線段HO 的中點 ,在 HIO 中，由中線公式可求得.4IQ2=2(4R2+4Rr+3r2-s2)+2(R2-2Rr)-(9R2+8Rr+2r2-2s2)=(R-2r)2故 IQ=(R-2r)/2. TOC o 1-5 h z 又 ABC 的九點圓半徑為R/2,所以九點圓與內(nèi)切圓的圓心距為d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.因此 三角形的九點圓與內(nèi)切圓內(nèi)切。在 AHIa 中，由余弦定理

3、可求得:IaH2=4R2+4Rr+r2-s2+2(ra)2;在AOIa 中，由余弦定理可求得:IaO2=R(R+2ra).在HIaO 中，由中線公式可求得.4IaQ2=2(4R2+4Rr+r2-s2+2ra2)+2(R2+2Rra)-(9R2+8Rr+2r2-2s2)=(R+2ra)2故 IaQ=(R+2ra)/2.九點圓與A 的旁切圓的圓心距為d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.故三角形的九點圓與A 的旁切圓外切。定理圖一些圓定理 .doc定理的內(nèi)容托勒密 (Ptolemy) 定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文： 圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形

4、的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一 系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理的提出“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus) 之手，托勒密只是從他的書中摘出。證明在任意四邊形ABCD 中，作ABE 使 BAE= CAD ABE= ACDABE ACD所以 BE/CD=AB/AC, 即 BE AC=AB CD (1)而 BAC= DAE ， ACB= ADE所以 ABC AED 相似 .BC/ED=AC/AD 即 ED AC=BC AD (2)(1)+(2), 得AC(BE+ED)=A BCD+

5、AD BC又因為BE+ED BDABCD 是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”)所以命題得證復(fù)數(shù)證明用 a、 b、 c、 d 分別表示四邊形頂點A、 B、 C、 D 的復(fù)數(shù)，則AB 、 CD 、 AD 、 BC 、 AC 、 BD 的長度分別是：(a-b) 、 (c-d) 、 (a-d) 、 (b-c) 、 (a-c) 、 (b-d) 。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)( b - d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d) 與 (a-d)(b-c) 的輻角相等，這與A、B 、 C

6、 、 D 四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、設(shè) ABCD 是圓內(nèi)接四邊形。在弦 BC 上，圓周角BAC = BDC ，而在 AB 上， ADB = ACB 。 在 AC 上取一點K，使得ABK = CBD ； 因為 ABK+ CBK = ABC = CBD + ABD ， 所以 CBK = ABD 。 因此 ABK 與 DBC 相似，同理也有ABD KBC 。 因此 AK/AB = CD/BD ，且 CK/BC =DA/BD ； 因此AK BD = AB CD ，且CK BD = BC DA； 兩式相加，得(AK+CK) BD =ABCD +BC

7、DA；但 AK+CK = AC ，因此ACBD =ABCD +BCDA。證畢。三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和 ) 已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD ，求證：AC BD AB CD AD BC 證明：如圖1 ，過 C 作 CP 交 BD 于 P，使1= 2，又3= 4， ACD BCP 得 AC： BC=AD ： BP， AC BP=AD BC 。又ACB= DCP ，5= 6， ACB DCP 得AC： CD=AB ： DP ， AC DP=AB CD 。得AC(BP DP)=AB

8、CD AD BC 即AC BD=AB CD AD BC 推論任意凸四邊形ABCD ，必有AC BD AB CD+AD BC ，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD 四點共圓時取等號。托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) ，兩邊取模，得不等式AC BD |(a -b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BC AD注意：1. 等號成立的條件是(a-b)(c-d

9、) 與 (a-d)(b-c) 的輻角相等，這與A、 B、 C、 D 四點共圓等價。四點不限于同一平面。歐拉定理：在一條線段上AD 上， 順次標(biāo)有B 、 C 兩點， 則 AD BC+AB CD=AC BD塞瓦定理簡介塞瓦( Giovanni Ceva ， 1648 1734 )意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于 1678 年發(fā)表的直線論一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。具體內(nèi)容塞瓦定理在 ABC 內(nèi)任取一點O，直線 AO、 BO 、 CO 分別交對邊于D、 E、 F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法簡介()本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC 被直線 BO

10、E 所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1而由 ABD 被直線 COF 所截，(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得： (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1()也可以利用面積關(guān)系證明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S ACD- S COD)=S AOB/S AOC 同理 CE/EA=S BOC/ S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:設(shè)三邊 AB 、 BC、 AC 的垂足分別為D、 E、 F

11、，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA ) /(CD*ctgB ) *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三條高CD 、 AE 、 BF 交于一點?？捎萌叨ɡ碜C明的其他定理;三角形三條中線交于一點(重心):如圖 5 D , E 分別為 BC , AC 中點 所以 BD=DC AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1且因為 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 所以 AF=FB 所以三角形三條中線交于一點此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：在 ABC 的三邊 BC 、 CA、 A

12、B 或其延長線上分別取L、 M、 N 三點，又分比是=BL/LC 、 =CM/MA、 =AN/NB。于是AL、 BM 、 CN 三線交于一點的充要條件是 =1。(注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是= -1 )塞瓦定理推論設(shè) E 是 ABD 內(nèi)任意一點，AE 、 BE 、 DE 分別交對邊于C、 G、 F，則 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1因為 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1 ，(塞瓦定理)所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K ( K 為未知參數(shù))且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K ( K 為未知參數(shù))又由梅涅勞斯定理得：

13、(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1塞瓦定理角元形式AD,BE,CF 交于一點的充分必要條件是：(sin BAD/sin DAC)*(sin ACF/sin FCB)*(sin CBE/sin EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證如圖，對于圓周上順次6 點 A,B,C,D,E,F ，直線 AD,BE,CF 交于一點的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點設(shè)三邊AB 、 BC 、 AC 的垂足分別為D、 E、 F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(

14、BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA)/(CD*ctgB ) *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三條高CD 、AE 、 BF 交于一點。梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯(Menelaus )定理(簡稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC 的三邊 AB 、 BC、 CA 或其延長線交于F、 D、 E 點，那么(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1 。 或：設(shè) X、 Y、 Z 分別在ABC 的 BC、 CA、 AB 所在直線上，則X、 Y、 Z 共線的充要條件是(AZ/ZB)*(

15、BX/XC)*(CY/YA)=證明一：過點 A 作 AG BC 交 DF 的延長線于G,則 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 。三式相乘得：(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC) (DC/AG)=1證明二：過點 C 作 CP DF 交 AB 于 P ，則 BD/DC=FB/PF ， CE/EA=PF/AF所以有AF/FB BD/DC CE/EA=AF/FBFB/PF PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三點F 、 D 、 E 分別在ABC 的邊AB 、 BC 、 CA 或其延長線上，且滿足(AF/FB) (BD

16、/DC) (CE/EA)=1 ，則 F、 D、 E 三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。證明三：梅涅勞斯(Menelaus) 定理過 ABC 三點向三邊引垂線AABBCC ，所以 AD ： DB=AA ： BB ， BE ： EC=BB ： CC ， CF ： FA=CC ： AA所以 (AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1證明四：連接 BF 。（ AD ： DB ） （ BE ： EC ） （ CF:FA）=（S ADF ：SBDF ） （SBEF ： S CEF ）（SBCF ：SBAF ）=（S ADF ：SBDF ） （SBDF ： S CDF ） （SCDF ：S

17、ADF ）=1此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶：在 ABC 的三邊 BC 、 CA、 AB 或其延長線上分別取L、 M、 N 三點，又分比是=BL/LC 、 =CM/MA、 =AN/NB 。于是 L、 M、 N 三點共線的充要條件是 。=1第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E， F， D 三點共線，則（sin ACF/sin FCB）（sin BAD/sin DAC）（sin CBA/sin ABE）=1即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式的梅涅勞斯定理也很實用第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點O，且 EDF 共線，則（sin AOF/sin FOB）（sin

18、BOD/sin DOC）（sin COA/sin AOE）=1 。 （O 不與點A、 B、 C 重合 ）記憶ABC 為三個頂點，DEF 為三個分點（AF/FB） （BD/DC） （CE/EA）=1（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1空間感好的人可以這么記：（上1/下 1 ） *（整/右）*（下2/上2） =1為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、 B、 C、 D、 E、 F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機(jī)就停在那里等待我們回去

19、。我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷 ”了所有的景點。只“路過 ”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷 ”。例如直升機(jī)降落在A 點，我們從A 點出發(fā)，“游歷 ”了其它五個字母所代表的景點 TOC o 1-5 h z 后，最終還要回到出發(fā)點A。另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。從 A 點出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明：方案 從 A 經(jīng)過 B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E 經(jīng)過 C（不停留）回到出發(fā)點A。按照這個方案，可以寫出關(guān)系式：（ AF

20、： FB ） *（ BD ： DC ） *（ CE ： EA） =1 ?，F(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。從 A 點出發(fā)的旅游方案還有：方案 可以簡記為：A B F D E CA，由此可寫出以下公式：AB ： BF ） *（ FD ： DE ） *（ EC ： CA） =1 。從 A 出發(fā)還可以向“ C”方向走，于是有：方案AC E D F BA，由此可寫出公式：AC ：CE ）*（ED：DF ）*（FB ：BA）=1 。從 A 出發(fā)還有最后一個方案：方案A EC D B FA，由此寫出公式：AE ：EC ）*（CD ：DB ）*（BF ：FA）=1 。我們的直升機(jī)還可以選擇在

21、B、 C、 D、 E、 F 任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當(dāng)直升機(jī)降落在B 點時，就會有四項因式。而在C 點和 F 點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。只是列出了一兩個典型的公式給我們看不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的， 看。還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1.現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會再寫錯或是記不住吧。西姆松定理西姆松定理圖示

22、西姆松定理是一個幾何定理。表述為： 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。西姆松定理說明相關(guān)的結(jié)果有：1 ）稱三角形的垂心為H 。西姆松線和PH 的交點為線段PH 的中點，且這點在九點圓上。2 ）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。3 ）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P 對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P 的位置無關(guān)。4 ）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。證明證明一： ABC 外接圓上有點P，且P

23、E AC 于 E， PF AB 于 F， PD BC于 D ，分別連DE 、 DF.易證P、 B、 F、 D 及 P、 D、 C、 E 和 A、 B、 P、 C 分別共圓，于是FDP= ACP ，（都是ABP 的補(bǔ)角）且 PDE= PCE而ACP+ PCE=180FDP+ PDE=180 即 F、 D、 E 共線 . 反之，當(dāng)F、 D、 E 共線時，由 可見 A、 B、證明二：如圖，若L、 M、 N 三點共線，連結(jié)M 垂直于AC ， PN 垂直于AB ，有B、 P、 L、M 、 P 、 L 、 C 分別四點共圓，有 PBN = PLN = PLM = PCM.故A、B、P、C 四點共圓。若A、

24、B、P、C 四點共圓，則PBN =AC ， PN 垂直于AB ，有B、 P、 L、 N 和 M、 PBN = PLN = PCM= PLM.故 L、 M、 N 三點共線。相關(guān)性質(zhì)的證明連 AH 延長線交圓于G,連 PG 交西姆松線與R,BC 于 Q如圖連其他相關(guān)線段AH BC,PF BC=AG/PF= 1=A.G.C.P 共圓 = 2= 3PE AC,PF BC=P.E.F.C 共圓= = 1= 4PF BCBP ， CP ，則因PL 垂直于BC ， PN和 PCM 。因PL 垂直于BC ， PM 垂直于P、 L、 C 四點共圓，有23= 4=PR=RQBH AC,AH BC= 5= 6A.B

25、.G.C 共圓 = 6= 7= 5= 7AG BC=BC 垂直平分GH= 8= 2= 4 8+ 9=90, 10+ 4=90= 9= 10=HQ/DF=PM=MH第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC 的外心，重心和垂心。則 O 是 ,確定九點圓的中點三角形XYZ 的垂心，而G 還是它的重心。那么三角形XYZ 的外心 O1 ， 也在同一直線上，并且HG/GO=GO/GO1=2 ，所以 O1 是 OH 的中點。三角形 ABC 和三角形XYZ 位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH 上，并且兩圓半徑比為1:2所以 G 是三角形ABC 外接圓和三角形XYZ 外

26、接圓（九點圓）的 反 位似中心（相似點在位似中心的兩邊）,H 是 正 位似中心（相似點在位似中心的同一邊）.所以 H 到三角形ABC 的外接圓上的連線中點必在三角形DEF 的外接圓上圓冪定理圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。定義圓冪 =PO2-R2|所以圓內(nèi)的點的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。割線定理：從圓外一點P 引兩條割線與圓分別交于A、 B； C、 D，則有

27、PA PB =PC PD 。統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P 引兩條直線L1 、 L2 ， L1 與圓交于A、 B（可重合，即切線），L2 與圓交于C、 D（可重合），則有PA PB=PC PD。進(jìn)一步升華（推論）過任意在圓O 外的一點P 引一條直線L1 與一條過圓心的直線L2 ， L1 與圓交于A、 B（可重合，即切線），L2 與圓交于C、 D。則PA PB=PC PD 。若圓半徑為r，則 PC PD=（PO-r） （PO+r）=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P 到圓 O 的冪。 （事實上所有的過P 點與圓相交的直線都滿足這個值）若點 P 在圓內(nèi)

28、，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2|故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、 B，那么PA PB 等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪 ”的由來）證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論（割線定理）統(tǒng)一歸納為圓冪定理）問題 1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。證明：連結(jié)AC ， BD ，由圓周角定理的推論，得A= D， C= B。 PAC PDB ， PA:PD=PC:PB ， PA PB=PC PD問題 2割線定理：從圓外一點P 引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有PA PB=PC PD ，

29、當(dāng) PA=PB ，即直線AB 重合，即PA 切線時得到切線定理PA2=PC PD證明：（令A(yù) 在 P 、 B 之間， C 在 P 、 D 之間）因為ABCD 為圓內(nèi)接四邊形，所以角 CAB+ 角 CDB=180 度，又角CAB+ 角 PAC=180 度，所以角PAC= 角 CDB ，又角 APC 公共，所以三角形APC 與三角形DPB 相似，所以PA/PD=PC/PB, 所以 PA*PB=PC*PD切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項幾何語言：PT 切 O 于點T， PBA 是 O 的割線 PT2=PA PB （切割線定理）推論 從圓外一點引

30、圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言：PBA 、 PDC 是 O 的割線 PD PC=PA PB (切割線定理推論)問題 3過點 P 任作直線交定圓于兩點A、 B，證明PA PB 為定值(圓冪定理)。證：以 P 為原點，設(shè)圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a過 P 的直線為 x=k1t y=k2t 則A、 B 的橫坐標(biāo)是方程(k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即(k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0的兩個根t1 、 t2 。由韋達(dá)定理t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是PA PB=

31、(k1t1)2+(k2t1)2) (k1t2)2+(k2t2)2)=( (k12+k22)2|t1|t2|=k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中 a 為圓的半徑的平方。所說的定值也就是(原點)與圓心O 的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P 在圓外時，這就是自P 向圓所引切線(長)的平方。這定值稱為點P 到這圓的冪。在上面證明的過程中，我們以P 為原點，這樣可以使問題簡化。如果給定點O，未必是原點，要求出P 關(guān)于圓的冪(即OP2-r2 )，我們可以設(shè)直

32、線AB 的方程為是 的傾斜角，表示直線上的點與的距離將代入得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達(dá)定理 是定值是 關(guān)于的冪(當(dāng)是原點時，這個值就是)它也可以寫成即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方當(dāng) P 在圓內(nèi)時，冪值是負(fù)值；P 在圓上時，冪為0 ； P 在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P 向圓所引切線長的平方。以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用問題 4自圓外一點向圓引割線交圓于、 兩點，又作切線、，、 為切點，與 相交于 ，如圖求證、 成調(diào)和數(shù)列，即證：設(shè)圓的方程為點 的坐標(biāo)為， 的參數(shù)方程為其中 是 的傾斜角，表示直線上的點與 的距離代入得即、 是它的兩個根，由韋達(dá)定理另一方面，直線是圓

33、的切點弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為代入得因此，這個方程的根滿足綜合，結(jié)論成立?？梢宰C明，當(dāng)在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。說明：問題4 的解決借用了問題3 的方法，同時我們也看到了問題4 與問題 1 、問題 2 的內(nèi)在聯(lián)系。-圖釋如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓 ”。四點共圓有三個性質(zhì)：（ 1 ）同弧所對的圓周角相等（ 2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)（ 3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。證明四點共圓的基本方法證明四點共圓有下述一些基本方法：方法 1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓方法 2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）方法 3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓方法 4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線