蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第5章5.1.2第1課時(shí)《曲線上一點(diǎn)處的切線》課件

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)課件曲線上一點(diǎn)處的切線“天圓地方”是我國(guó)先哲們認(rèn)識(shí)世界的思維方式，幾千年的社會(huì)實(shí)踐證明了它的正確性，尤其體現(xiàn)在古代中國(guó)的建筑和錢幣上，而反映到我們數(shù)學(xué)上，則是以直代曲，無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，比如我國(guó)古代劉徽在運(yùn)用“割圓術(shù)”求圓的周長(zhǎng)時(shí)，在圓內(nèi)作正多邊形，用正多邊形的周長(zhǎng)無(wú)限逼近圓的周長(zhǎng)，這是最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子，今天讓我們一起來(lái)探究如何通過(guò)利用直線或直線段來(lái)近似代替曲線或曲線段，并以此來(lái)研究曲線的某些性質(zhì).導(dǎo)語(yǔ)一、以直代曲問(wèn)題1如圖，我們把一條曲線上的任意一點(diǎn)P附近的圖象不斷放大，觀察有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示當(dāng)不斷放大時(shí)，曲線在點(diǎn)P附近的圖象逼近一條確定的直線，即在很小的范圍內(nèi)，

2、曲線可以看作直線，這就是以直代曲的思想.例1劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無(wú)限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，如圖是半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形，若用該正六邊形的面積近似代替圓的面積，則該圓的面積的近似值為_(kāi).反思感悟以直代曲思想用來(lái)研究函數(shù)的局部性質(zhì)，重在體會(huì)“無(wú)限逼近”，“量變到質(zhì)變”，“近似與精確”的思想.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示.若把曲線AB近似地看成線段，則圖中陰影部分的面積近似為_(kāi).解析若把曲線AB近似看成線段，二、曲線的割線和切線問(wèn)題2如圖，過(guò)P作割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q逐漸向P靠近時(shí)，有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示割線PQ在點(diǎn)P附近越來(lái)越逼近該曲線，當(dāng)點(diǎn)Q

3、無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，此時(shí)稱這條直線l為曲線在點(diǎn)P處的切線.知識(shí)梳理名稱割線切線斜率設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x，f(x)，另一點(diǎn)Q(xx，f(xx)，則割線PQ的斜率為kPQ當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，并無(wú)限靠近點(diǎn)P時(shí)，割線PQ逼近點(diǎn)P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)， 無(wú)限趨近于點(diǎn)P(x，f(x)處的切線的斜率例2已知曲線yx21上兩點(diǎn)A(2,3)，B(2x,3y)，當(dāng)x1時(shí)，割線AB的斜率是_；當(dāng)x0.1時(shí)，割線AB的斜率是_.解析當(dāng)x1時(shí)，54.1當(dāng)x0.1時(shí)，反思感悟一條直線與一條曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這條直線是這條曲線

4、的割線，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)不斷靠近，并重合為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這條直線就變成了這條曲線的切線.跟蹤訓(xùn)練2過(guò)曲線y2x上兩點(diǎn)(0,1)，(1,2)的割線的斜率為_(kāi)，過(guò)兩點(diǎn)(0,1)， 的割線的斜率為_(kāi).解析由平均變化率的計(jì)算公式及幾何意義，1三、切線的斜率在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為4，曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.反思感悟根據(jù)曲線上一點(diǎn)處的切線的定義，要求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點(diǎn)處，x無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近的常數(shù).跟蹤訓(xùn)練3(1)已知曲線yf(x)2x24x在點(diǎn)P處的切線的斜率為16，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi).解析設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)，(3,30

5、)當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，4x042x無(wú)限趨近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,30).(2)已知曲線yf(x)3x2x，求曲線在點(diǎn)A(1,2)處的切線的斜率及切線方程.解設(shè)A(1,2)，B(1x，f(1x)，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，53x無(wú)限趨近于5，所以曲線y3x2x在點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率是5.切線方程為y25(x1)，即5xy30.1.知識(shí)清單：(1)以直代曲.(2)曲線的割線和切線.(3)求曲線在一點(diǎn)處的切線.2.方法歸納：局部以直代曲、無(wú)限逼近的思想.3.常見(jiàn)誤區(qū)：不能正確理解用割線無(wú)限逼近切線的思想.課堂小結(jié)隨堂演練A.2 B.

6、1 C.1 D.2故函數(shù)f(x)在x1處的切線斜率為1.1234A.30 B.45 C.60 D.90123412343.已知曲線yx3在點(diǎn)(2,8)處的切線斜率為12a，則實(shí)數(shù)a的值是A.1 B.1 C.2 D.2所以曲線在點(diǎn)(2,8)處切線的斜率k12，所以12a12，即a1.1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，A(x0，y0)在曲線上，x02,2x且x無(wú)限趨近于0，則在A點(diǎn)處的切線斜率近似為解析由兩點(diǎn)割線的斜率，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141

7、5163.已知函數(shù)f(x)x24上兩點(diǎn)A，B，xA1，xB1.3，則割線AB的斜率為A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1解析f(1)5，f(1.3)5.69.123456789101112131415164.近兩年為抑制房?jī)r(jià)過(guò)快上漲，政府出臺(tái)了一系列以“限購(gòu)、限外、限貸限價(jià)”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策.各地房產(chǎn)部門(mén)為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定房?jī)r(jià)，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)Q.已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率(單位時(shí)間的供應(yīng)量)逐步提高的是12345678910111213141516解析單位時(shí)間的供應(yīng)量逐步提高時(shí)，供應(yīng)量

8、的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會(huì)越來(lái)越大，則曲線是上升的，且越來(lái)越陡，故函數(shù)的圖象應(yīng)是一直下凹的.123456789101112131415165.已知點(diǎn)P 為曲線上的一點(diǎn)，PQ為曲線的割線，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，若kPQ無(wú)限趨近于2，則在點(diǎn)P處的切線方程為A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x2解析根據(jù)題意可知，在點(diǎn)P處切線的斜率為2，所以在點(diǎn)P處的切線方程為y12(x1)，整理可得y2x1.12345678910111213141516C.y4x4 D.y4x21234567891011121314151612345678910111213141516812

9、345678910111213141516當(dāng)h無(wú)限趨近于0時(shí)，8h無(wú)限趨近于8.123456789101112131415168.過(guò)曲線yx2上兩點(diǎn)A 和B 作割線，當(dāng)x0.1時(shí)，割線AB的斜率為_(kāi).所以當(dāng)x0.1時(shí)，AB的斜率為4.1.4.1123456789101112131415169.求函數(shù)f(x)x2x的圖象在點(diǎn)A(2，f(2)處切線的方程.12345678910111213141516解設(shè)點(diǎn)B(2x，f(2x)，當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，函數(shù)f(x)x2x的圖象在點(diǎn)A(2，f(2)處切線的斜率為k3，又f(2)2222，所以切線的方程為y(2)3(x2)，即3xy40.123456789

10、1011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用11.已知函數(shù)f(x)x2圖象上四點(diǎn)A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割線AB，BC，CD的斜率分別為k1，k2，k3，則A.k1k2k3 B.k2k1k3C.k3k2k1 D.k1k3k212345678910111213141516k1k2k3.1234567891011121314151612.若曲線yax2在xa處的切線與直線2xy10平行，則a等于A.1 B.1 C.1或1 D. 或112345678910111213141516當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，2a22，a1，

11、當(dāng)a1時(shí)，yx2，切點(diǎn)是(1,1)，切線的斜率k2，故切線方程是y12(x1)，即2xy10和直線2xy10重合，故a1.13.曲線yx23x的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為A.(2,2) B.(2，2) C.(2,2) D.(2，2)12345678910111213141516解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，即k2x031，12345678910111213141516故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2).1234567891011121314151614.曲線yx33x26x10的切線中，斜率最小的切線方程為_(kāi).3xy11012345678910111213141516解析設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，在點(diǎn)P處的切線斜率為k，3(x01)23.所以k3(x01)23.當(dāng)x01時(shí)，k有最小值3，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，14)，其切線方程為3xy110.拓廣探究1234567891011121314151615.若函數(shù)yax21的圖象與直線yx相切，則a_.解析根據(jù)題意，12345