分析天體力學(xué)林lect

1、如果兩個(gè)天體的長周期變化項(xiàng)的頻率之間存在通約關(guān)系,則稱為長期.:近日點(diǎn)經(jīng)度 ,升交點(diǎn)經(jīng)度.天體運(yùn)動(dòng)中的長周期變化一般地,系中的近日點(diǎn)經(jīng)度和升交點(diǎn)經(jīng)度會(huì)因?yàn)楦鞔笮行侵g的相互引力作用而產(chǎn)生特定的頻率進(jìn)動(dòng),因而系中的天體可能和之間產(chǎn)生長期.不妨把攝動(dòng)函數(shù)中的長期項(xiàng)寫出來(展開到e, s的二階.注意攝動(dòng)函數(shù)展開式的間接項(xiàng)中不含長期項(xiàng)):11812 b0 D Db0s sb1e e222222Rsec221 2 1 2 3 21 D Dbcos ss bcos .11ee2 22241 2 3 2由這個(gè)展開式出發(fā),可以研究長期攝動(dòng)對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響.的機(jī)制.本節(jié)以平面橢圓型三體模型來展示長期假設(shè)攝動(dòng)體(某,

2、比如木星)在一個(gè)橢圓軌道上運(yùn)動(dòng),該橢圓半長徑a, 偏心率e為常數(shù),而近日點(diǎn)經(jīng)度 以恒定的速度進(jìn)動(dòng): g.在這個(gè)模型下,描述被攝動(dòng)體(軌道在攝動(dòng)體軌道內(nèi)側(cè),比如主帶小行星)的運(yùn)動(dòng)的Hamilton函數(shù)是: Gm0 2 Gm A Ae2 Be4 Cee cos Hasec02L2其中的系數(shù) A0 , A, B, C 是攝動(dòng)體與被攝動(dòng)體的半長徑之比 a的函數(shù):a118 00Ab ,A D Db ,22201 21 2 2b .B 128平面三體模型: s s 0,取e的4階且略去e2e2 項(xiàng).采用Poincare變量,1a , a 1l M , .L 1 e2 ,1Hamilton函數(shù)成為:Gm2G

3、m 2 cos .H A 20seca02L2其中: 2GmA ,aL Gm A 4B aL2GmeC , .aL 11 e2 L 2 2e2 1 1 2 L L L Hamilton函數(shù)中不顯含l, L 是常數(shù), 所以a, 是常數(shù)Hamilton函數(shù)是:略去常數(shù)H 2 2 cos .再略去其中的高階項(xiàng) J 2 ,并作從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的變換:x 2 cos ,y 2 sin .Hamilton函數(shù)變成H 1 x2 y2 x cos y sin .2相應(yīng)的正則運(yùn)動(dòng)方程是:x y sin gt 0 ,y x cos gt 0 .求解.這組方程可以 gt 正則運(yùn)動(dòng)方程x y sin gt 0 ,的

4、通解是:y x cos gt 0 1gx a cos t cos gt ,0001gy a sin t sin gt .000注意到 實(shí)際上是這個(gè)解的頻率,不妨記作g0 .當(dāng)g0 g時(shí),方程解的振幅(偏心率)趨于無窮,但實(shí)際上,隨著偏心率的增大,原本貢獻(xiàn)甚小可以略去的非線性項(xiàng)將抑制偏心率的增長,所以此時(shí)應(yīng)考慮 J 2 的作用.于x 0, y 0的軌道而言, 偏心率激發(fā)最大的頻率是:對(duì)于g g 2 221 3 .另一方面,忽略常數(shù)項(xiàng)之后,Hamilton函數(shù)是: 2 2 cos .Hsec這個(gè)Hamilton函數(shù)含時(shí)間( gt),通過生成函數(shù)S I 構(gòu)造正則變換 , I , ,消去時(shí)間的Hami

5、lton函數(shù)為:2I cos.H H S g I I 2 tt 1 3 2 3作變量變換 I 2 3 2 3J ,H J J 2 2J cos,得新的Hamilton函數(shù): g 1 3 2 3.再作從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的變換:x 2J cos,y 2J sin ,最后 Hamilton函數(shù)變成H 1 x2 y2 1 x2 y2 2 x.24分析過程同5.2節(jié)第二基本模型？由 Hamilton函數(shù) H 1 x2 y2 1 x2 y2 2x 得運(yùn)動(dòng)方程:2x y x2 y2 y,y x x2 y2 x 1.平動(dòng)點(diǎn)的解滿足:4 x x3 1 0,0y0 0.0當(dāng) x0 0,平動(dòng)點(diǎn)方程近似為 x0 1

6、0,所以: 1 ,y 0.x00當(dāng) x 遠(yuǎn)離0時(shí),平動(dòng)點(diǎn)方程近似為 xx3 0,所以平動(dòng)點(diǎn)位置近似為:0 x0 00y0 0.,的Hamilton函數(shù)出發(fā):從消去時(shí)間 g 1 3 2 3.H J J 2 2J cos,在長期攝動(dòng)發(fā)生的準(zhǔn)確位置(exact location), 有 0,即H J 0, 所以: 2Jres 2Jres cos 0.1 2 2Jres ,故上式給出:1 2 位置,偏心率被激發(fā)起來,可以認(rèn)為2Jres在J 1 ,res2項(xiàng)2J cos 變化較小,位置附近,因J 的變化而引起的進(jìn)而,在所以可以用Jres 來代替項(xiàng)中的J , 此時(shí):211H J Jcos J 2 4 cos.222Jres舍棄常數(shù)項(xiàng) 2 4 ,并且作變量變換 2 J 2, 得到:與單擺方程比較,H 1 GI 2 F cosH 1 2 cos .2214 , 那么相應(yīng)地,單擺中分界線給出了最大的變化范圍:max 2 2 1 J2 2.max2而由J 與I 之間的關(guān)系I 2 3 2 3J 以及 與偏心率e 之間的關(guān)系,:11maxemax 2 3 2 3Jmax2 1 2 3emax