數(shù)值分析(計(jì)算方法)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第一章 緒論 誤差來(lái)源：模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差（方法誤差）、舍入誤差 x=|x-x*|是x*的絕對(duì)誤差，e=x er=ex=x*-x相對(duì)誤差絕對(duì)值得上限稱(chēng)為相對(duì)誤差限記為：r 即：絕對(duì)誤差有量綱，而相對(duì)誤差無(wú)量綱若近似值x*的絕對(duì)誤差限為某一位上的半個(gè)單位，且該位直到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱(chēng)近似值 x*有例：設(shè)x=3.那么x*=3,1x=0.0.5100,則科學(xué)計(jì)數(shù)法：記x*=0.a1a由有效數(shù)字求相對(duì)誤差限：設(shè)近似值x*=0.a1由相對(duì)誤差限求有效數(shù)字

2、：設(shè)近似值x*=0.a1a令xx+y近似值為x*x-y近似值為xxy近似值為x(1避免兩相近數(shù)相減2避免用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)3避免大數(shù)吃小數(shù)4盡量減少計(jì)算工作量第二章 非線(xiàn)性方程求根1.逐步搜索法設(shè)f (a) 0，有根區(qū)間為 (a, b)，從x0=a出發(fā)， 按某個(gè)預(yù)定步長(zhǎng)(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步進(jìn)行一次根的搜索，即判別f(xk)=f(a+kh)的符號(hào)，若f(xk)0(而f(xk-1)0),則有根區(qū)間縮小為xk-1,xk (若f(xk)=0，xk即為所求根), 然后從xk-1出發(fā)，把搜索步長(zhǎng)再縮小，重復(fù)上面步驟，直到滿(mǎn)足精度：|xk-xk-1|E為止，此時(shí)取x*(xk

3、+xk-1)/2作為近似根。2.二分法設(shè)f(x)的有根區(qū)間為a,b= a0,b0, f(a)0.將a0,b0對(duì)分，中點(diǎn)x0= (a0+b0)/2),計(jì)算f(x0)。對(duì)于給定精度3.比例法一般地，設(shè) ak,bk為有根區(qū)間，過(guò)(ak, f(ak)、 (bk, f(bk)作直線(xiàn)，與x軸交于一點(diǎn)xk,則：x=a-1.試位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保證收斂。2.比例法不是通過(guò)使求根區(qū)間縮小到0來(lái)求根，而是在一定條件下直接構(gòu)造出一個(gè)點(diǎn)列（遞推公式），使該點(diǎn)列收斂到方程的根。這正是迭代法的基本思想。 事先估計(jì):|事后估計(jì)|局部收斂性判定定理：設(shè)x*局部收斂性定理對(duì)迭代函數(shù)的要求較弱，但對(duì)初始點(diǎn)要

4、求較高，即初始點(diǎn)必須選在精確解的附近Steffensen迭代格式：xxxNewton法：xNewton下山法：xk+1弦割法：x拋物線(xiàn)法：令t=x-其中：a=b=c=f(xx 設(shè)迭代 xk+1 = g(xk) 收斂到g(x) 的不動(dòng)點(diǎn)（根） x* 設(shè) ek = xk - x*若limkek+1ekp=C，則稱(chēng)該迭代為第三章 解線(xiàn)性方程組直接法列主元LU分解法：計(jì)算主元Si=uu 對(duì)于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣；Crout分解：L為下三角矩陣，U為單位上矩陣?？煞纸鉃椋篖y=b，下三角方程組Ux=y，上三角方程組y Cholesky平方

5、根法：系數(shù)矩陣A必須對(duì)稱(chēng)正定AX=bl 改進(jìn)Cholesky分解法：A=LDL=A=lc其中：D 追趕法：Ax=d(A=LU),可化為L(zhǎng)y=d,Ux=yA=u 向量范數(shù)：A矩陣范數(shù)：A譜半徑:收斂條件：譜半徑小于1條件數(shù)：Cond=第四章 解線(xiàn)性方程組的迭代法Jacobi迭代：x 基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:x迭代收斂：譜半徑小于1，范數(shù)小于1能推出收斂但不能反推 逐次超松弛迭代（SOR）:x或： 當(dāng)=1時(shí)，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加權(quán)平均）。第五章 插值法 Lagrange插值法：l構(gòu)造插值函數(shù)：L 則：y= 若記：w 則可改為：l 則

6、插值余項(xiàng)：R 逐次線(xiàn)性插值法Aitken （埃特金法）：L Newton插值法： N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)(x-x1)(x-xn)并滿(mǎn)足N(x)=f(x) 差商的函數(shù)值表示：f 差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：f 則：f 等距節(jié)點(diǎn)Newton插值公式： Newton向前插值：N 余項(xiàng)：R Newton向后插值：N 余項(xiàng)：R Hermite插值：H 可得： 插值余項(xiàng)：R 待定系數(shù)：H 三次樣條插值：（三彎矩構(gòu)造法） 記s 對(duì)于附加彎矩約束條件：2 對(duì)于附加轉(zhuǎn)角邊界條件：2 對(duì)于附加周期性邊界條件：2s 上式保證了s(x)在相鄰兩點(diǎn)的連續(xù)性第六章 函數(shù)逼近

7、與曲線(xiàn)擬合 主要求法方程第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 求積公式具有m次代數(shù)精度的充要條件：a 插值型求積公式a Newton-Cotes（等分） 梯形求積公式（n=1），具有1次代數(shù)收斂精度a 誤差公式：E 拋物型求積公式（Simpson求積公式，n=2），具有3次代數(shù)收斂精度a 誤差公式E Newton求積公式（Simpon3/8法則） 具有3次代數(shù)收斂精度N Cotes求積公式（n=4），具有5次收斂精度a 誤差公式E 節(jié)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為n;為偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為n+1。代數(shù)精度都是奇數(shù)。 復(fù)化梯形求積公式：T 截?cái)嗾`差：E 復(fù)化Simpson公式：S 截?cái)嗾`差：E 復(fù)化Cotes求積

8、： C 截?cái)嗾`差：E 若一個(gè)復(fù)化積分公式的誤差滿(mǎn)足 limh0Rfhp=C且C 復(fù)化求積公式（需要2n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)） Romberg求積算法：SCR 復(fù)化梯形求積公式：T 復(fù)化Cotes求積公式：C Gauss型求積公式： 內(nèi)積公式：p, 截?cái)嗾`差：E 高斯求積公式代數(shù)精度為2n+1 Gauss-Legendre求積公式（注意區(qū)間（-1,1），變換可得）：形如：-1求積系數(shù)可通過(guò)代數(shù)精度或插值型求積公式求積系數(shù)公式求出，亦可由下式求得：A 截?cái)嗾`差：E Gauss-Chebyshev求積公式：形如：1 求積系數(shù)：Ai 截?cái)嗾`差：E Gauss-Laguerre求積公式：形如：0 求積系數(shù)：A