《解三角形》全章知識(shí)復(fù)習(xí)與鞏固

1、解三角形全章知識(shí)復(fù)習(xí)與鞏固編稿：李霞 審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題目.應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即:【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即:要點(diǎn)詮釋：a b csin A sin B sin C(1)正弦定理適合于任何三角形，且a bsin A sin B(1)正弦定理適合于任何三角形，且a bsin A sin Bcsin C2R ( R為 ABC的

2、外接圓半徑)；(2)應(yīng)用正弦定理解決的題型：已知兩角和一邊，求其它已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其它.(3)在已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其它的類型中，可能出現(xiàn)無(wú)解、一解或兩解，應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”定理及幾何作圖來(lái)幫助理解要點(diǎn)二：余弦定理在 ABC中，222a c 2accosB , c2, 2a b 2abcosC222a c 2accosB , c2, 2a b 2abcosCa b c 2bccosA, b變形為:cos A,222b c a -cos A,222b c a -,cosB2bc22, 2a c b2accosC2, 22a b c2ab要點(diǎn)詮釋：(1)應(yīng)用余弦定理解決的題型

3、：已知三邊，求各角已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其它已知兩邊和夾角，求其它;(2)正、余弦定理的實(shí)質(zhì)是一樣的，從而正弦定理能解的問(wèn)題余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有別;(3)正、余弦定理可以結(jié)合使用要點(diǎn)三：三角形的面積公式小C1.1 . .1 一Sa-bh-chc,其中 ha,hb,hc為 a,b,c邊上的局2221,八1,1S absinC bcsin A acsin B(3)S Jp(p a)(p b)(p c),其中 p要點(diǎn)四：三角形形狀的判定方法設(shè)4ABC設(shè)4ABC的三邊為a、b、c,對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C,解斜三角形的主要依據(jù)是:(1)角與角關(guān)系：由于 A+B+C =兀，所以

4、A B . C (1)角與角關(guān)系：由于 A+B+C =兀，所以A B . C sin 一 ；.A B Csin cos 一, cos22(2)邊與邊關(guān)系： a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c a, c a c,已知BA BC =2, cosB= - , b=3,3求：（I）a 和 c 的值；（n ）cos（BC）的值.【答案】（I ） a=3, c=2, （n）23 .27【思路點(diǎn)撥】（1）由平面向量的數(shù)量積，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）畫出簡(jiǎn)易圖，將已知條件在圖上標(biāo)出來(lái)，運(yùn)用正弦定理求得角C的正弦值.1【解析】（I ） .BA BC

5、=2, cosB=，3，c?acosB = 2,即 ac= 6,b=3,，由余弦定理得：b2=a2+ c2-2accosB,即 9=a2+c24, .a2+c2=13,聯(lián)立得：a=3, c= 2;(n)在4ABC 中,sinB = (n)在4ABC 中,sinB = 1cos2 B1(3)2由正弦定理bsin B得:sin CsinC= - sinB= 一1 a= bc,，C 為銳角, cosCsin 2C1(4 2 cosCsin 2C1(4 271 7貝U cos(B C)= cosBcosC+sinBsinC = x3 922+34.292327【總結(jié)升華】解答該類題目要注意以下幾個(gè)方面

6、:【總結(jié)升華】解答該類題目要注意以下幾個(gè)方面:（1）借助圖形標(biāo)注已知和所求；（2）利用三角形的性質(zhì)把相關(guān)條件化歸到同一個(gè)三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實(shí)施邊、角互化舉一反三:【變式1】設(shè)4ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且 ABC, 3b=20acosA,貝U sinA ： sinB ： sinC 為（）A. 4:3:2 B. 5: 6: 7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】由于a, b, c三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且 ABC,可設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a、a-1、a-2.由余弦定理可得 cos A2bc由余弦定理可得 co

7、s A2bc2_ 22(a 1) (a 2) a2(a 1)(a 2)a 52(a 2)又 3b=20acosA,又 3b=20acosA,可得 c0sA解得a 6 ,故三邊是6,5,4.由正弦定理可得 sinA ： sinB ：3b 3(a 1) a 520a20 a 2(a 2)sinC=6:5:4【變式2已知 ABC中acosA bcosB，試判斷 ABC的形狀.【答案】方法一：用余弦定理化角為邊的關(guān)系 TOC o 1-5 h z ,22222, 2b c a , a c b 由 acosA bcosB 得 a b 2bc2ac2,，222、 ，2/22,2、整理得 a (b c a )

8、 b (a c b ),22222即(a b )(a b c ) 0,當(dāng)a2 b2 0時(shí)， ABC為等腰三角形；,222.222當(dāng)a b c 0即a b c時(shí)，則 ABC為直角三角形;綜上： ABC為等腰或直角三角形。方法二：用正弦定理化邊為角的關(guān)系由正弦定理得：-2Rsin A sin B即 a 2RsinA, b 2RsinBacosA bcosB ,2Rsin AcosA 2Rsin BcosB即 sin2 A sin2BA、B (0,) 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B或A B 一2故ABC為等腰三角形或直角三角形。類型三：利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題 TOC o 1-5 h

9、z 例3. （2016春 宜賓校級(jí)期中）一艘輪船從 A出發(fā)，沿南偏東70的方向航行40海里后到達(dá)海島 B,然 后從B出發(fā)，沿北偏東 35。的方向航行了 40J2海里到達(dá)海島 Co如果下次航行直接從 A出發(fā)到C,此 船航行的方向和路程（海里）分別為（）A.北偏東80,20（喬應(yīng)）B.北偏東65,20（732）C. d匕偏東65。，20（76揚(yáng)D. d匕偏東80。，20（732）【答案】C【思路點(diǎn)撥】在 ABC中，/ ABC=70 +35 =105 , AB=40 , BC 40J2 ,故可由余弦定理求出邊AC的長(zhǎng)度，在 ABC中，可由正弦定理建立方程 一BCAC ,求出/ CAB。sin CAB

10、 sin105【解析】由題意，在 ABC 中，Z ABC=70 +35 =105 , AB=40 , BC 4072 根據(jù)余弦定理得AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC402 （40 J2）2 2 40 40、. 2 43200 1600 . 3AC 20（76 22） o根據(jù)正弦定理 一BC-AC ，/ CAB=45 ,sin CAB sin105，此船航行的方向和路程（海里）分別為北偏東65、20（J6 J2）。故選Co【總結(jié)升華】本題的難點(diǎn)在于確定已知角度和所求角度之間的關(guān)系，這也是解三角形問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)， 破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形正確理解“南偏東”、

11、“北偏東”等概念，把相關(guān)條件轉(zhuǎn)化為三角形中 的內(nèi)角和邊長(zhǎng)，然后利用正弦定理、余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行求解.舉一反三：【變式1】（2016河南模擬）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得/ BCD=75 , / BDC=60 , CD=40 m,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為30 。則塔高 AB 為（）m。 TOC o 1-5 h z A. 20B. 20 aC. 2073D. 40【答案】/ BCD=75 , / BDC=60CBD=45 ,在 BCD中，由正弦定理得： 一BC一一CD一，即 BC 40,sin BDCsin CBD si

12、n60sin45解得 BC 20,6 ,又 tan ACB 也在，AB BC 20我。 BC 33故選Bo【高清課堂：解三角形應(yīng)用舉例 377493變式演練3】【變式2】如圖所示，海中小島 A的周圍38海里內(nèi)有暗礁，某船正由北向南航行，在 B處測(cè)得小島A在船的南偏東30,航行30海里后，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45,如果此船不改變航向，繼續(xù) 向南航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)?【答案】船繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，取決于 A到直線BC的距離與38海里的大小.于是，只要先算出AC（或AB）,再算出A到BC所在直線的距離，將它與38要先算出AC（或AB）,再算出A到BC所在直線的距離，將它與38海里比較

13、即得問(wèn)題的解在 ABC 中，BC 30,ABC 300, ACB 1800 450 1350,30 AC sin15 sin 30 ._ 30sin 30 AC 60cos1515(、6. 2)sin15由正弦定理知:BCsin AACsin B 于是A到BC所在直線的距離為AC sin 4515( .3 1)40.98(海里)它大于38海里，所以繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁危險(xiǎn)類型四：解三角形與其他知識(shí)的交匯例 4.在 4ABC 中，角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.已知 a -,bsin(- C) csin( B) a.(1)求證：B C 2(2)若a=T2，求ABC的面積.【解析】(【解析

14、】(1)證明：由bsin( C)4csin(- B) a及正弦定理得：sin Bsin( C) sinCsin(sin Bsin( C) sinCsin(44B) sinA,2即 2即 sin B(sin C2J22sinC).2 ,sin C(sin B2JsinB)上22整理得：sin B cosCcosBsin C整理得：sin B cosCcosBsin C1,所以 sin(B一 .3C) 1,又 0 B,C 4所以B C 2(2)由及B Ca sin B所以b (2)由及B Ca sin B所以b sin A所以三角形ABC的面積3可得B452sin ,c8,C ，又 A , a22

15、.84asinCsin A2sin , 81bcsin A . 2 sin 5sin 281bcsin A . 2 sin 5sin 288 2 sin cosMin-【總結(jié)升華】本題考查解三角形，三角形的面積，三角恒等變換、三角和差公式以及正弦定理的應(yīng)用【總結(jié)升華】本題考查解三角形，三角形的面積，三角恒等變換、三角和差公式以及正弦定理的應(yīng)用高考中，三角解答題一般有兩種題型、解三角形：主要是運(yùn)用正余弦定理來(lái)求解邊長(zhǎng)，角度，周長(zhǎng)，面高考中，三角解答題一般有兩種題型積等；二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：主要是運(yùn)用和角公式，倍角公式，輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換 ，求解三角函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，最值(

16、值域)等.來(lái)年需要注意第二種題型的考查uuir uur uur uuir【變式1】在 ABC中，已知ABgAC 3BAgBC.(1)求證：tanB 3tan A;(2)若 cosC -, 5 uuu求(2)若 cosC -, 5 uuu求A的值.uuiruuu uur【答案】(1)AB g AC 3BAg BC , /. ABgACgpos A=3BAgBCgcosB ,即 ACgpos A=3BCgposB .由正弦定理，得空BC由正弦定理，得空sin B sin A,.sin BgcosA=3sin Agpos B .sin B sin Asin B sin A又,.0A B 0, cosB 0.=3g即 tan B 3tan A .cosB cos A TOC o 1-5 h z _.2(2) . cosC 巫，0C 0, 1- tan A=1. A=.4uuir uuruir uur【變式2】在 ABC中，已知AB AC 3BA BC .(1)求證:tanB 3tan A;(2)若cosC 叵,求