空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用方向向量與法向量一、方向向量與法向量OPABPlAP2直線的方向向量直線的向量式方程 換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量3）平面3、平面的法向量AlP平面 的向量式方程 換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量 是平面的法向量，向量 是與平面平行或在平面內(nèi)，則有4、一個平面的法向量并不是唯一的。oxyzABCO1A1B1C1例. 如圖所示, 正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為_平面OABC 的一個法向量坐標(biāo)為_平面AB1C 的一個法向量坐標(biāo)為_(-1,-1,1)(

2、0,0,1)(1,0,0)例 已知平面 經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),試求平面 的一個法向量.解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)設(shè)平面 的法向量是依題意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2平面 的一個法向量是 練習(xí) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC的中點(diǎn)， 求平面EDB的一個法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例：在正方體中，E、F分別是BB

3、1,，平面ADE 證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以鞏固性訓(xùn)練11.設(shè) 分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行分析:平面法向量與兩平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系垂直平行相交(不垂直)例1 設(shè) 分別是平面 的法向量,根據(jù)下列條件判斷 與 的位置關(guān)系: 分析:直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直線與平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系例1 設(shè) 是平面 的法向量, 是直線 的方向向量,根據(jù)下列條件判斷 與 的位置關(guān)系: 垂直相交(斜交)鞏固性訓(xùn)練2垂直平行相交2.設(shè) 分別是平面 的法向量,

4、根據(jù)下列條件,判斷 的位置關(guān)系.鞏固性訓(xùn)練11.設(shè) 分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行鞏固性訓(xùn)練31、設(shè)平面 的法向量為(1,2,-2),平面 的法向量為(-2,-4,k),若 ，則k= ；若 ,則 k= . 2、已知 ，且 的方向向量為(2,m,1)，平面 的法向量為(1,1/2,2),則m= .3、若 的方向向量為(2,1,m),平面 的法向量為(1,1/2,2),且 ，則m= .ml（一）. 平行關(guān)系：（二）、垂直關(guān)系：lmlABC 例2 四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中點(diǎn)，D

5、F:FB=CG:GP=1:2 . 求證：AE/FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG 證 ：如圖所示, 建立空間直角坐標(biāo)系./AE與FG不共線幾何法呢？ 例3 四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的中點(diǎn)， (1)求證：PA/平面EDB.ABCDPEXYZG解1 立體幾何法ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EGABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(

6、1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為ABCDPEXYZ解4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：解得 x,A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F 例4 正方體中，E、F分別平面ADE. 證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，所以,E是AA1中點(diǎn)， 例5 正方體平面C1BD. 證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個法向量是平面C1BD. 平面EBDRDBCAA1QPNMD1C1B1例.在正方

7、體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是A1B1和BC上的動點(diǎn)，且A1P=BQ，M是AB1的中點(diǎn)，N是PQ的中點(diǎn). 求證： MN平面AC.M是中點(diǎn)，N是中點(diǎn) MNRQ MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為2，又A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1)所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量為 (0, 0, 1)， 又M不在平面AC 內(nèi)，所以MN平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證： 平面

8、A1BD平面CB1D1平行四邊形A1BCD1 A1BD1C平行四邊形DBB1D1 B1D1BD于是平面A1BD平面CB1D1DCBAD1C1B1A1FGHE例.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn). 求證： 平面AEH平面BDGFADGF，AD=GF又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四邊形ADGE AEDG 故得平面AEH平面BDGFDACBBCDAFEXYZ證明: 分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 AFEC1B1A1CBzy 不防設(shè) a =2，則A（0，0，0），B（3 ，1，0），C（0，2，0），E（ 3，1，2） ，F(xiàn)（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因為，x軸面ACF，所以可取面ACF的法