6樣運(yùn)用極限和導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程

1、淺談怎樣運(yùn)用極限和導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程 陳艷艷摘要：本文在中學(xué)生所掌握的微積分的初步知識(shí)的基礎(chǔ)上，以割線的極限位置來(lái)定義切線，并給出了相應(yīng)的求解切線方程的方法，擴(kuò)充了傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，對(duì)切線這一解析幾何中的重要內(nèi)容作了較系統(tǒng)的分析。關(guān)鍵詞：割線的極限位置 斜率函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 切線方程極限和導(dǎo)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)學(xué)分析中的重要概念，不僅在高等數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，更成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，對(duì)高中學(xué)生已掌握的微積分初步知識(shí)上，極限和導(dǎo)數(shù)把傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法加以擴(kuò)充，使之有著比傳統(tǒng)解法更巧妙的方法，甚至是傳統(tǒng)解法不能解決的方法。本文所討論的就是極限和導(dǎo)數(shù)在平面解析幾何中的一個(gè)運(yùn)用如何運(yùn)用極限和導(dǎo)

2、數(shù)求解曲線C的切線方程。切線的定義：首先，我們給出切線的定義：定義1：通過(guò)曲線C上兩點(diǎn)M、N的割線，當(dāng)點(diǎn)M不動(dòng)，點(diǎn)N沿著曲線C運(yùn)動(dòng)并趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線MN的極限位置的直線MT叫做曲線C的在點(diǎn)M的切線。 同中學(xué)課本中所定義的切線比較發(fā)現(xiàn)，定義1強(qiáng)調(diào)了切線是割線的極限位置，這就是從最本質(zhì)的地方認(rèn)識(shí)了切線。中學(xué)課本中的定義僅僅局限于圓、橢圓等二次曲線，而定義1是針對(duì)所有曲線定義的，中學(xué)課本中的定義只是定義1的一個(gè)特殊情況。斜率函數(shù)的定義及其求解方法：設(shè)曲線C的方程為y=f（x），則曲線上一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程就是yy0=k（xx0），其中k是切線的斜率，是待定的。怎樣來(lái)求切線的斜率呢？據(jù)切線的

3、定義，設(shè)曲線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），在點(diǎn)M的附近取曲線上另一點(diǎn)N。設(shè)點(diǎn)N橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y=f（x），于是割線MN的斜率是： 當(dāng)點(diǎn)N（x，y）沿曲線無(wú)限接近于點(diǎn)M（x0，y0），即xx0，yy0時(shí)，我們就有。表示為： ，這樣過(guò)曲線y=f（x）上點(diǎn)M的切線的斜率就求得了。 定義2：在曲線y=f（x）上點(diǎn)P（x1，f（x1）處，曲線的斜率（即該點(diǎn)切線的斜率）是，其中，。點(diǎn)（x2，f（x2）為曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)。例1：對(duì)于拋物線f：y=x2x2和點(diǎn)P（2，4），試求拋物線f在點(diǎn)P處的切線的斜率。解： 根據(jù)切線的斜率的定義，應(yīng)該再任意找一點(diǎn)Q（x0，y0），以求出x和y。由于x=x

4、02，所以不妨就設(shè)x0=2x。由于Q同樣在f上，那么 即 由于要求，那么我們?cè)谑阶笥覂蛇叿謩e除以x有： 取極限便有： =3+0=3 故拋物線f在點(diǎn)P處的切線的斜率是3。 在前面的推導(dǎo)中，不一定要用點(diǎn)P的數(shù)值坐標(biāo)，我們可設(shè)點(diǎn)P是曲線f上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)記為（x0，y0），另一點(diǎn)Q的坐標(biāo)是。因?yàn)镻，Q都在f：y=x2x2上。所以有： =2x01由于P（x0，y0）的任意性，那么我們可以把零下標(biāo)去掉，改寫(xiě)為k=2x1，k就是f在任意點(diǎn)（x，y）處的斜率函數(shù)。在導(dǎo)數(shù)定義中，如果令y=f(xh)f(x)，x=h，這里導(dǎo)數(shù)的定義就與斜率的定義是等價(jià)的。y=f（x）的導(dǎo)數(shù) 就是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x，y）處

5、的斜率函數(shù)。定義3：對(duì)于曲線C，若曲線方程y=f（x）在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，則曲線C在其上任一點(diǎn)（x，y）處的斜率函數(shù)便是。例2： 對(duì)于拋物線f：y=x2x2和點(diǎn)P（2，4），試求拋物線f在點(diǎn)P處的切線的斜率。 解：f（x）= y=x2x2 = 而 故拋物線f在點(diǎn)P處的切線的斜率是3。 曲線的切線方程的求解方法：定義4：設(shè)P（x1，f（x1）是曲線y=f（x）上的任一點(diǎn)，如果一條直線的方程可以寫(xiě)成：，則稱(chēng)這條直線為曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線。根據(jù)定義4，我們得出一個(gè)求解曲線y=f（x）在某點(diǎn)（x1，y1）處的切線方程的步驟：、求出切線的斜率函數(shù)；、將x1代入，算出；、應(yīng)用點(diǎn)斜式，寫(xiě)出切線方程y

6、=（xx1）y1上述方法可以算出曲線y=f（x）在某點(diǎn)處的切線方程，這里曲線C的方程是由顯函數(shù)的形式給出來(lái)的。對(duì)于曲線C的方程由隱函數(shù)、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等形式給出時(shí)，可以將這些形式轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)的形式，再計(jì)算切線方程。但對(duì)于參數(shù)方程形式給出的，也可以用以下方法求解：設(shè)曲線C的方程為，要求它在點(diǎn)t=t0處的切線方程的方法如下：由切線的斜率函數(shù)為，由，所以 那么曲線C在點(diǎn)t=t0處的切線的斜率便為，那么在點(diǎn)t=t0處的切線方程為： 例3：求曲線在點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）處的切線方程。 解： 當(dāng)x=0時(shí)，=0， 即k=0那么切線方程為 y=0當(dāng)x=1時(shí)， =3， 即k=3那么切線方程為 y1=3

7、（x1） y=3x2 例4：求曲線在處的切線方程。 解：解法一： 由， 那么時(shí)，y=0 ，x=1 這就轉(zhuǎn)化成求在點(diǎn)（1，0）處的切線方程。 由x=1 那么=4 所以切線方程為：y0=4（x1） y=4x+4 解法二： 所以切線方程為： y=4x+4 從例3、例4中，應(yīng)用極限和導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程，比起以前的方法就簡(jiǎn)捷得多。并且，像例3這種例子，用以前的方法是解不出來(lái)的，這充分說(shuō)明導(dǎo)數(shù)法是對(duì)初等解法的一個(gè)有效的補(bǔ)充。對(duì)兩個(gè)常見(jiàn)觀點(diǎn)的辨析：通過(guò)平面解析幾何的學(xué)習(xí)，大多數(shù)中學(xué)生有這樣的觀點(diǎn)：1、與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是曲線的切線；2、切線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)即切點(diǎn)。上述兩觀點(diǎn)對(duì)圓、橢圓的確成立

8、，但對(duì)所有的曲線都是這么回事嗎？這里，我們就通過(guò)剛才所討論的知識(shí)對(duì)兩觀點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于觀點(diǎn)1，我們舉例加以說(shuō)明：例5： 對(duì)于拋物線，它在原點(diǎn)（0，0）處與x軸、y軸都有且只有一個(gè)交點(diǎn)，試問(wèn)：x軸、y軸所在的直線都是在（0，0）處的切線嗎？ 解：我們可以利用切線的定義加以分析。如圖所示：由于在原點(diǎn)的切線是割線ON由N向O運(yùn)動(dòng)后的極限位置，當(dāng)N逐漸由N運(yùn)動(dòng)到N1，N2直到趨近于O時(shí)，割線ON，ON1，ON2就越來(lái)越“平坦”，也就是越來(lái)越趨近于x軸，逐步的在偏離y軸。由此我們可以斷言，y軸肯定不是在（0，0）處的切線，經(jīng)驗(yàn)算，x軸才是在（0，0）處的切線。 結(jié)論：通過(guò)上面的例子，說(shuō)明了與曲線只有一個(gè)

9、公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，觀點(diǎn)1是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)曲線是封閉的二次曲線時(shí)，觀點(diǎn)1才成立。對(duì)于觀點(diǎn)2，同樣，我們先看一個(gè)例子: 例6： 由在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y=3x2，試求出 與 y=3x2的交點(diǎn)。 解： 得 x1=1， x2=2那么有 y1=1， y2=8即與 y=3x2的交于兩點(diǎn)：（1，1）、（2，8），其中（1，1）是與 y=3x2的切點(diǎn)。 結(jié)論：直線與曲線相切，不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，能夠保證直線與曲線相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。微積分對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義： 在高三數(shù)學(xué)課本中，涉獵了微積分的初步知識(shí)，雖然這只是選學(xué)內(nèi)容，但筆者認(rèn)為這一章是不可忽略的，應(yīng)該讓學(xué)生掌握并很好的掌握這部分知識(shí)，為他們以后的學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ)，也對(duì)他們掌握較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、全面實(shí)施素質(zhì)教育會(huì)有很大的幫助。 例如，在求解函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值問(wèn)題以及本文所討論的切線方程等問(wèn)題時(shí)，通過(guò)微積分的學(xué)習(xí)，就可以運(yùn)用微積分知識(shí)來(lái)解決上述問(wèn)題，這往往會(huì)比傳統(tǒng)初等解法要簡(jiǎn)捷、巧妙得多。通過(guò)微積分知識(shí)的學(xué)習(xí)，廣大中學(xué)生便能從多角度、較高層次、較深入的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，擴(kuò)充了他們學(xué)習(xí)