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1、因式分解教學(xué)目標(biāo):1.掌握提取公因式法,公式法等因式分解的方法,能把簡(jiǎn)單多項(xiàng)式分解因式。2.提高分解因式的基本技能。3.培養(yǎng)思維有序,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的良好思維品質(zhì)。教學(xué)重難點(diǎn):1.理解分解因式的意義。2.掌握分解因式的步驟。3.靈活運(yùn)用分解因式的方法一。下列哪些式子的變形是分解因式?1. y2-1=(y+1)(y-1)2. 2(a+b)=2a+2b3. 4x2-y2=(2x+y)(2x-y)4. x2-y2-1=(x+y)(x-y)-15. x2-4xy+4y2=(x-2y)2因式分解的定義: 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解。你學(xué)過(guò)分解因式的哪些方法呢?a.提公因式
2、法(將多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù),相同因式的最低次冪提出)b.運(yùn)用公式法:平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2典例剖析一.將下列多項(xiàng)式分解因式。 1. 7x2-63解:原式 =7(x2-9) 提公因式 =7(x+3)(x-3) 2.平方差公式法 2. a4-8a2+16 解: 原式 =(a2-4)2 完全平方公式法 =(a+2) 2(a-2) 2 2.平方差公式法1.2.題完成了第一步已經(jīng)將多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式積的形式,為什么還要進(jìn)行第2步呢?分解因式的基本步驟到底是怎樣?(分組討論)因式分解的步驟: 首
3、先考慮是否有公因式提(提取公因式法),然后考慮用公式法,兩種方法反復(fù)試,結(jié)果必是連乘式。注意:由1.2例題可知:分解因式一定要分解到不能再分為止,而且相同因式要寫(xiě)成冪的形式,如:(a-b)(a-b)要寫(xiě)成(a-b)2 1,下列多項(xiàng)式中哪項(xiàng)能用提公因式法分解因式( )A.2x-y B.x2+2x C.x2+2y D.x2+xy+2yB現(xiàn)場(chǎng)練兵一.將下列各式分解因式。 1. a2-9解:原式= (a+3)(a-3)2. 2y2-4y+2 解:原式 =2(y2-2y+1) =2(y-1)2 3. a2-ab+ac解:原式 =a(a-b+c) 4. a3+2a2+a 解:原式 =a(a2+2a+1)=
4、a(a+1)2二.分解因式與代數(shù)求值。1.已知a+b=7,ab=6,求a2b+ab2的值解 a2b+ab2 =ab(a+b) 分解因式 =67=42 代入已知代數(shù)式的值求值 中考名題欣賞(我最棒!)1、(2008年,陜西):分解因式X2-4 2、(2007年,南京):分解因式3X2-33、(2008年,青海):分解因式x2y+4xy+4y3(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)Y(X+2)2開(kāi)放題4、(2008年,恩施):請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)成一個(gè)分式,并化簡(jiǎn)該分式。X2-4xy+4y2 x2-4y2 x-2y挑戰(zhàn)自我 我能行!請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勥@節(jié)課你有什么收獲?學(xué)習(xí)分解因式這節(jié)內(nèi)容你
5、還有哪些困惑?小結(jié):1.熟悉因式分解的兩種基本方法,熟練掌握公式法的兩個(gè)公式。2.掌握分解因式的基本步驟,先考慮是否有公因式提,再考慮是否可以用公式法,兩種方法反復(fù)試,最后必是幾個(gè)整式連乘。3.特別注意,分解因式要分解到不能分為止。新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上學(xué)期多媒體課件 15.5.2.1:利用平方差分解因式問(wèn)題: 什么叫多項(xiàng)式的因式分解?判斷下列變形過(guò)程,哪個(gè)是因式分解? (1) (x-2)(x-2)=x2- 4 (2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) 7m-7n-7=7(m-n-1) (4) 4x2- =(2x+ )(2x- )9y213y113y問(wèn)題:你學(xué)了什么方法進(jìn)行分
6、解因式?提公因式法把下列各式因式分解:(1) ax - ay(2) 9a2 - 6ab+3a(3) 3a(a+b)-5(a+b)(4) ax2 - a3(5) 2xy2 - 50 x= a( x y )=3a(a-2b+1)=(a+b)(3a - 5)=a(x2-a2)=2x(y2-25)=a(x+a)(x-a)=2x(y+5)(y - 5)平方差公式:(a+b)(a-b) = a - ba - b = (a+b)(a-b)整式乘法因式分解兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積明察秋毫下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來(lái)分解因式?(1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+
7、y2(4) -x2 - y2(2)(3)能,(1)(4)不能(1) 1-25b2=12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)(2) x2y2-z2=(xy)2-z2=(xy+z)(xy-z)(4) -9+16a2=16a2-9=(4a)2-32=(4a+3)(4a-3)融會(huì)貫通因式分解:、 a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2 4、 (a-b)n+2 - (a-b)n把下列各式分解因式 x2y2 1m2 a2b2 x2y2 916x2 x29y2 4x29y2 0.09a24b2 0.36x2y2 x4y2 x2y2z2 (
8、12) x2(xy)2 (13) 9(xy)2y2 (14) (x2y)2(2xy)2 (15) 16(ab)29(ab)2 (16) (a2b2)2a2b2顯顯身手綜合運(yùn)用3、設(shè)n為整數(shù),用因式分解說(shuō)明(2n+1)2 - 25能被4整除。4、若a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)且滿足(a+b)2-(a-c)2=0,則此三角形是( )A、等腰三角形 B、等邊三角形C、直角三角形 D、不能確定 1、運(yùn)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:1 、 20032 92、(1 - )(1 - )(1- )(1- )(1- )122132142192 1 102思考探索 觀察下列各式:19 = - 8, 4-16= -12, 9-25
9、=-16, 16-36= -20(1)把以上各式所含的規(guī)律用含n(n為正整數(shù))的等式表示出來(lái)。(2)按照(1)中的規(guī)律,請(qǐng)寫(xiě)出第 10個(gè)等式。本節(jié)課你有什么收獲?有何疑惑?你對(duì)老師又有何建議呢? 你說(shuō),我說(shuō),大家說(shuō)!因式分解 提公因式法 學(xué)習(xí)回憶運(yùn)用前面所學(xué)的知識(shí)填空:把下列多項(xiàng)式寫(xiě) 成乘積的形式都是多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式 (1) ma+mb+mc=( )( )(2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2(1) m(a+b+c)= (2) (x+1)(x-1)=(3) (a+b)2 =ma+mb+mcx2 -1a2 +2ab+b2m a+b+cx+1 x-
10、1a+b 探究 觀察“回憶”與“探究”,你能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎? 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。定義 X2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法X2-1 = (x+1)(x-1)等式的特征:左邊是多項(xiàng)式,右邊是幾個(gè)整式的乘積初步應(yīng)用 鞏固新知在下列等式中,從左到右的變形是因式分解的有( ) 2 多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。相同因式m這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)?例: 找 3 x 2 6 xy 的公因式。系數(shù):最大公約數(shù)。3字母:相同的字母x 所以,公因式是3x。指數(shù):相同字母的最低次冪1
11、正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是:1、定系數(shù):公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。 2、定字母: 字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。 3、定指數(shù): 相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè),即字母最低次冪 你知道嗎?找一找: 下列各多項(xiàng)式的公因式是什么? (3)(a)(a2)(2(m+n))(3mn)(-2xy)(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種分解因式的方法
12、叫做提公因式法。 ( a+b+c )ma+ mb +mcm=(1) 8a3b2 + 12ab3c例1: 把下列各式分解因式分析:提公因式法步驟(分兩步) 第一步:找出公因式; 第二步:提取公因式 ,即將多項(xiàng)式化為兩個(gè)因式的乘積。(2) 2a(b+c) - 3(b+c)注意:公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式, 也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式整體思想是數(shù)學(xué)中一種重要而且常用的思想方法。小明解的有誤嗎?把12x2y+18xy2分解因式解:原式 =3xy(4x + 6y) 錯(cuò)誤公因式?jīng)]有提盡,還可以提出公因式2注意:公因式要提盡。診斷正確解:原式=6xy(2x+3y)小亮解的有誤嗎?當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相
13、同時(shí),提公因式后剩余的項(xiàng)是1。錯(cuò)誤注意:某項(xiàng)提出莫漏1。解:原式 =x(3x-6y)把3x2 - 6xy+x分解因式正確解:原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)小華解的有誤嗎?提出負(fù)號(hào)時(shí)括號(hào)里的項(xiàng)沒(méi)變號(hào)錯(cuò)誤診斷把 - x2+xy-xz分解因式解:原式= - x(x+y-z)注意:首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)。正確解:原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)看你能否過(guò)關(guān)?把下列各式分解因式:(1)8 m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) (4) -x3y3-x2y2-xy 例2 把 12b(a-b)2 18(b-a
14、)3 分解因式解: 12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b) =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)練習(xí):(x-y)2+y(y-x)(1) 13.80.125+86.21/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值. 解:原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2) =0.125100 =12.5 解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15巧妙計(jì)算智力搶答 99 99 + 99 =259 =9900(1)99299(2)= 99
15、(99+1)2、確定公因式的方法:小結(jié)3、提公因式法分解因式步驟(分兩步):1、什么叫因式分解?(1)定系數(shù) (2)定字母 (3)定指數(shù)第一步,找出公因式;第二步,提取公因式.4、提公因式法分解因式應(yīng)注意的問(wèn)題:(1)公因式要提盡;(2)小心漏掉1;(3)提出負(fù)號(hào)時(shí),要注意變號(hào). 記住喲!綜合闖關(guān):1、計(jì)算(-2)101+(-2)1002、已知, , 求代數(shù)式 的值。討 論問(wèn)題1:630能被哪些數(shù)整除?說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的?問(wèn)題2:a=101,b=99時(shí),求a2 b2 的值?;仡櫯c思考知識(shí)結(jié)構(gòu)分解因式分解因式與整式乘法的關(guān)系分解因式的兩種方法分解因式的應(yīng)用提公因式法公式法 回 顧 與 思 考 1、
16、舉例說(shuō)明什么是分解因式。 2、分解因式與整式乘法有什么關(guān)系? 3、分解因式常用的方法有哪些? 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解。 多項(xiàng)式的乘法與多項(xiàng)式的因式分解是互逆運(yùn)算,都是多項(xiàng)式的重要變形,這兩種變形都有著廣泛的應(yīng)用。(1)提取公因式法;(2)運(yùn)用公式法;正確理解因式分解的要求,會(huì)判斷一個(gè)變形是不是因式分解,會(huì)判斷分解得的因式是否能繼續(xù)再分解,從而得到因式分解的正確結(jié)果。會(huì)正確判定多項(xiàng)式的公因式,會(huì)用提取公因式的方法分解的公式。熟記乘法公式,理解乘法公式的逆向應(yīng)用就是因式分解的公式。 4、靈活運(yùn)用某些重要的數(shù)字思想方法(如,換元法)。提高觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的
17、能力。 基 礎(chǔ) 訓(xùn) 練 一、填空: 1=+mcmbma ( )( ) 2=+-224129baba(3a-2b )2 3=-229yx()( ) 二、 判斷正誤。 1. -+=-+36123243222mxmxmxmxxx() 2. 0410210212.(.)(.)aaa-=+- 3. ()()()()()()abmbamabm-+=-+2321 4. ()()-+-=-22-21mm -ma+b+cx+3y x-3y V課 堂 測(cè) 試1. 下列各式從左到右的變形中,是因式分解的是 A. B. C. D. 2 下列因式分解正確的是( ) A. B. C. D. BD 是完全平方式,則 m 的
18、值為( ) A. -1 B. 7 C. 1D. 7或-1CD6、(x-1)(x-3) +1 能分解因式嗎?C強(qiáng) 化 練 習(xí)一把下列多項(xiàng)式因式分解二、利用分解因式解決問(wèn)題. b-ab)-(ab-ab-a222+2、當(dāng)a=3,b=2時(shí),求 的值 . 1.兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方是奇數(shù)嗎?為什么?3、利用分解因式說(shuō)明: 能被那些數(shù)整除。5.計(jì)算:因式分解 提取公因式法如何簡(jiǎn)便計(jì)算把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式,就叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解特征:1、等號(hào)左邊是一個(gè)多項(xiàng)式;2、等號(hào)右邊是幾個(gè)整式積的形式下列從左邊到右邊的變形中,是因式分解的是: ( )(1)(x+2)(x-2)=x2-4;(2) x2-4= (x+2)(x-2);(3) ma+mb+c=m(a+b)+c;(4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x;(5)2ax+4bx=2x(a+2b)因式分解與整式的乘法是什么關(guān)系?因式分解與整式的乘法相反想一想()()()()()試一試吧(2) (5)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都含有一個(gè)相同的因式,我們稱之為公因式把公因式提出來(lái),多項(xiàng)式ma+mb+mc就可以分解成兩個(gè)因式m和(a+b+c)的乘積了。像這種因
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