《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第三章多維隨機變量及其分布

1、 TOC o 1-5 h z 第三章 多維隨機變量及其分布- 1 - HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 第一節(jié) 多維隨機變量及其概率分布 - 2 -多維維隨機變量及其分布函數(shù) -2-二維離散型隨機變量及其概率分布 -4-二維連續(xù)型隨機變量及其概率分布 -8-基礎(chǔ)練習3.1 -12- HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 第二節(jié)條件分布與隨機變量的獨立性 -12-條件分布與獨立性的概念 -12-二維離散型隨機變量的條件分布與獨立性 -13-二維連續(xù)型隨機變量的條件分布及其獨立性 -16-四*多維隨機變

2、量的概率分布及其獨立性- 20 -基礎(chǔ)訓(xùn)練3.2 -21- HYPERLINK l bookmark255 o Current Document 第三節(jié)二維隨機變量函數(shù)的分布 -22 -離散型隨機變量的函數(shù)分布 -22 -連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布 -24 -基礎(chǔ)訓(xùn)練3.3-31-綜合訓(xùn)練三 -31 -內(nèi)容小結(jié)及題型分析三 -31 -拓展提高三 -31 -閱讀材料三 -31 -數(shù)學(xué)實驗三 -31 -第三章 多維隨機變量及其分布【 本章導(dǎo)讀 】本章是在一維隨機變量基礎(chǔ)上， 進一步討論多維隨機變量， 以二維隨機變量為重點， 討論了基本概念性質(zhì)、邊際分布、聯(lián)合分布等問題及應(yīng)用，隨機變量的獨立性及函數(shù)的

3、分布.【 本章用到的先修知識】二重積分，混合偏導(dǎo).【 本章要點 】二維離散型、連續(xù)型隨機變量的概念、性質(zhì)、聯(lián)合分布與邊際分布，獨立性，函數(shù)的分布.在第二章中，我們主要討論了一維隨機變量及其概率分布。但在實際應(yīng)用和理論研究中，我們所感興趣的許多現(xiàn)象，其每次試驗的結(jié)果僅用一個隨機變量描述還不夠， 往往要用兩個或兩個以上的隨機變量來描述 . 例如： 炮彈在地面的命中點的位置需要研究彈著點的兩個坐標， 每個坐標可以定義一個隨機變量； 研究市場供給模型時， 需要同時考慮商品供給量、消費者收入和市場價格等因素， 每一個因素都可以定義一個隨機變量. 在這種情況下， 我們不僅研究每個隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律， 而且

4、還需要研究各個隨機變量之間的相互依存關(guān)系， 因而需要考察它們聯(lián)合取值的統(tǒng)計規(guī)律，即多維隨機變量的概率分布. 本章我們主要介紹二維隨機變量及其分布，并適當推廣到 n 維隨機變量.第一節(jié)多維隨機變量及其概率分布一多維維隨機變量及其分布函數(shù)由于從二維推廣到三維及以上沒有實際性的困難，所以本節(jié)我們重點討論二維隨機變 量.1、二維隨機變量定義1設(shè)S隨機試驗E的樣本空間，0WS為樣本點，而X =x（6）, Y=Y是定義在S上的兩個隨機變量，則由它們構(gòu)成的一個二維向量 （X,Y）稱為二維隨機變量或 二維隨機向量.二維向量（X,Y）的性質(zhì)不僅與 X及Y有關(guān)，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.因此，逐個討論

5、X和Y的性質(zhì)是不夠的，需把（X,Y）作為一個整體來討論.隨機變量X常稱為一維隨機變量.和一維的情形類似，我們也借助“分布函數(shù)”來研究二維隨機變量.2、二維隨機變量的分布函數(shù)定義2設(shè)（X ,Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x、y ,二元函數(shù)F（x,y） = P（X x）nP（Yy） PX x,Y y（3.1 ）稱為二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)或稱為隨機變量 X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).幾何意義：若把二維隨機變量（X,Y）看成平面上隨機點的坐標，則分布函數(shù)F（x,y） =PX x,Y y在（x, y）處的函數(shù)值就是隨機點（X ,Y）落入以（x, y）為定點且位于該點左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率（見圖

6、 3-1 ）而隨機點（X,Y）落在矩形區(qū)域（見圖 3.2） x1 xWx2；y1 yEy2內(nèi)的概率可用分 布函數(shù)表不為Pxi X x2,yi Y Wy2=F（x2,y2）F（x2,yJF（xy2） + F（xi,yi）（3.2）聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）規(guī)范性 0 F（x,y） 1,且對任意固定的y, F（g, y）=0,對任意固定的x, F（x,笛）=0,F（-0, -） =0,Fy）=1 ;F(x,y)關(guān)于x和y均為單調(diào)不減函數(shù)，即對任意固定的y,當x2 A x1, F (x2, y)之F (x1, y)；對任意固定的 x,當 y2 A y1, F (x, y2) 2 F (x, y1)；

7、F(x,y)關(guān)于x和y均為右連續(xù)，即F(x, y) = F(x+0, y), F(x,y) = F(x, y + 0)；(4)對于任意(xi, yi),(x2, y2); xi x2, y1 y2 ,有F (x2, y2) F (xi, y2) F (x2, yi) F(x1，y1)一 0 .【注1】對任意滿足上述四條件的二元函數(shù)F(x, y),都可作為某二維隨機變量的分布函數(shù).3、邊緣分布函數(shù)二維隨機變量(X ,Y)作為一個整體具有聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y).而X和Y都是隨機 變量，各自也有它們的分布函數(shù)，把 X和Y的分布函數(shù)分別記為 FX (x)和FY (y),并分別 稱為隨機變量(X

8、,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系Fx(x) =PX _x =PX _x,Y :二二)= ylim：FX x,Y ：: y=F(x,二),(3.3 )(3.4 )圖3-3圖3-4FY(y) =PY x =PX -Hc,Y y =xjm*PX x,Y y = Fy, y.【注2】由此可知，由聯(lián)合分布可以唯一確定邊際分布函數(shù)，反之，不一定成立【例1】設(shè)二維隨機變量(X ,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F (x, y) = A(B +arctan-)(C +arctan-y)，22其中 A、B、C 為常數(shù)，g x +=, g y 2.【解】(1)由聯(lián)合分布函

9、數(shù)的性質(zhì)(2),知F(二，二)=A(B ；(C -)=1 TOC o 1-5 h z 冗HF(-二，二)二 A(B - )(C)=022nnF(二，-二)二 A(B -)(C -) =0, 22由此可解得 A=1/二 2,B =：/2,C =二/2.(2)由定義直接可知1 (nx )11xFX (x) = F (x,)=)+arctan - 1n=一十 一 arctan, * x &,n，22 J2 n21y * 11 yFY(y) = F(-0, y) =f m + arctan 1=一十 arctan,- y c 收.兀 122 1 2 n 2(3)由X的分布函數(shù)，得111P(X 2) =

10、1 - P(X M2) =1 - FX(2) =1-( arctan1)2 二4對于二維隨機變量，我們除了可以用聯(lián)合分布函數(shù)討論其概率分布以外，還需要分別對 離散型和連續(xù)型隨機變量進行討論.二維離散型隨機變量及其概率分布1.定義 若二維隨機變量(X,Y)只取有限個或可數(shù)個值，則稱(X,Y)為二維離散型隨機 變量.結(jié)論：(X,Y)為二維離散型隨機變量當且僅當X,Y均為離散型隨機變量.設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其所有可能取的值為(x , yj) , i,j =1,2,川.則稱P(X = xi,Y= yj)=角,i, j = 1,2,L(3.5)為二維離散型隨機變量 (X ,Y)的聯(lián)合分布律

11、.其中Pj滿足下列性質(zhì)-be -be(1) Pij - 0,(2) ZZRj=1.i w j w與一維的情形相似，人們常常習慣于把二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律寫成表格的 形式(見表3.1)表3.1聯(lián)合概率分布律ViV2 ynPX = Xi = PiLx1P11P12 P1n-工P1jXzP21P22 P2n-工P2jxm , , Pm1Pm2 Pmn , , ,工PijPY = y1=小g Pi1工Pi 2Z Piniii1利用聯(lián)合分布律能夠方便地確定(X,Y)取值于任何區(qū)域 D上的概率，即 TOC o 1-5 h z P(X,Y)WD= Pj pj(3.6)33)三D特別地，由聯(lián)合概率分布

12、可以確定聯(lián)合分布函數(shù)：F(x,y) = PX x,Y y = Pj.(3.7)為24 但聯(lián)合分布律比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀，且能更方便地求出隨機變量取值的概率，因此對于二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律更重要.2.邊緣分布律(X,Y)的聯(lián)合分布律綜合考察了(X,Y)取數(shù)值對(Xi, yj)時的概率，我們還需要考察X取X和Y取y時的概率.設(shè) P(X = x，Y= yj) = Pj,i, j = 1,2,鬃，則由于yj)二二遞PX = j=1; x ,Y =二 yj 二記為PijPig j= 1(3.8 )yi,=+ ?:遞PX =i=1xi,Y =yj=?記為PijPgj i=1(3.9 )+ ?PX

13、= X= PX = X, U(Y 二 j = 1 + ?PY= yj= PU(X = x)Y = i=1它們分別是事件X =xj和Y = yi的概率，且有Pi.之0, Z pl= Pj =1 ； p.j , Pj= Pj=1.i 1imjz1j dj=1iz1所以分別是X和Y的分布律.我們稱P(X =Xi)=PL，i=12|為二維離散型隨機變量 (X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律；稱 P(Y=y) = Pj, j =1,2,IH為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律.表3.1給出了聯(lián)合分布律與邊緣分 布律的關(guān)系.【例2】兩封信隨機地向編號為I, n, m, IV的四個郵筒內(nèi)投，令 X表示投入I號郵筒內(nèi)的信件

14、數(shù)；Y表示投入n號郵筒內(nèi)的信件數(shù).試求(1) (X,Y)的分布律；(2) X和Y的邊緣分布律.(3)求投入I、n號郵筒內(nèi)信件數(shù)相同的概率.(4)至少有一封信投入I, n號郵筒的概率.(5)求 F(1,1).【解】由題意知，X所有可能取到的值為 0、1、2; Y所有可能取到的值為 0、1、2. TOC o 1-5 h z (1)事件X =0,Y=0等價于“兩封信投在出或IV號郵筒內(nèi)”，224所以 p11 =PX =0,Y =0 = = 一；4216事件X =1,Y =0等價于“其中一封信投在I內(nèi)，另一封投在m或IV號郵筒內(nèi)”，_ 11_ 11，、 C2C24，、 C2C24所以 p21 = P

15、X =1,Y = 0 = 2 ；同理 P12 = PX = 0,Y =1= 2- =；42164216事件X =1,Y=1等價于“其中一封信投在i內(nèi)，另一封投在n號郵筒內(nèi)”，Co21所以 p21 =PX =1,Y =1=1=；同理 PX =2,Y=0 = PX =0,Y = 2= HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 421616兩封投在n號郵筒內(nèi)”，這是不事件X = 1,Y = 2等價于“其中一封信投在I內(nèi),可能事件，所以 p23 =PX =1,Y=2=0；同理 p32 =PX =2,Y=1 =0；囪= PX =2,Y =2 = 0。所以(X

16、,Y)的分布律為(見表 3.2)01204/164/161/1614/162/16021/1600表3.2 (X,Y)的分布律(2) PX =0 =PX =0,Y =0 + PX= 0,Y =1 +PX =0,Y =2 = -9 ；16同理 PX =1 = 6 ； PX =2 = 11616所以，X的分布律為X0P9/16126/161/16一， 、9，、6，、11616,16而 PY=0=； PY=1=； PX=2= .所以，丫的分布律為Y012P9/166/161/16(3)所求概率為423PX 二Y二 PX =0,Y =0 PX =1,Y =1=一 =一.16 16 8(4)所求概率為，

17、、一3PX 或Y _1 =1 _PX ：二1且Y ：二1 =1 -PX ：二1, Y ： 1 =1 -PX =0, Y =0=4 F(1,1) = PX 1,Y 1= PX =1,Y =1 PX =1,Y =0 PX =0,Y =1 PX =0,Y =014X-101Pk0.25 0.250.516 16 16 16 168【例3】已知隨機變量 X和Y的分布律分別為Y01Pk0.50.5而且PXY =0 =1 ,求隨機變量(X,Y)的分布律.【解】 因為P(XY=0)=1,所以P(XY#0)=1PXY=0 = 0.由此知PX - -1,Y =1 =PX =1,Y =1 =0所以分布律的形式為Y

18、 X-101P.j0P11P21P310.510P2200.5Pi.0.250.250.5根據(jù)聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系，有PX =1=即十0 = 0.25； PY=1 = 0+ P22 +0 = 0.5；PX =0 = p21 +p22 =0.5; PX =1 = p31 +0 = 0.25由此解得P11 = 0.25; P22 = 0.5; P21 = 0； P31 = 0.25.所以(X,Y)的聯(lián)合分布律為Y X-10100.2500.25100.50【注3】由例2可以看出，聯(lián)合分布列可以確定唯一的邊緣分布列由例3可知，邊緣分布律不能完全確定聯(lián)合分布律三二維連續(xù)型隨機變量及其概率分布1

19、、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義設(shè)(X ,Y)為一個二維隨機變量，F(xiàn) (x, y)為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在一個非負可積的二元函數(shù)f(x, y),使對任意的實數(shù)(x, y),有x yF(x,y)=( f f(u,v)dudv(3.10)則稱(X ,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f (x, y)為X、Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為聯(lián)合 密度函數(shù).聯(lián)合密度函數(shù)f (x, y)的性質(zhì)由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)，有(1)非負性：f (x, y)20 ；(2)規(guī)范性：jtjf (x, y)dxdy =1 ；(3)若f (x,y)在點(x, y)連續(xù)，F(xiàn) (x, y)是相應(yīng)的分布函數(shù)，則有 F(x,y)= f (x

20、,y)(3.11 ):x；y事實上，由定義知(x,y)=二 以 Lf(u；v)dvWu卜口(x,v)dvtxtx J. -0 -004J“F(x,y) =3 Cf(x,v)dv) =f(x, y).xy二 y -進一步地，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，可推得：當取,Ay很小時,有Px X - x lx, y ： Y _ y Ly : f (x, y)xy即，(X,Y)落在區(qū)間(x, x+Ax父(y, y十Ay上的概率近似等于 f(x, y)AxAy.(4)若口是xoy面上的某一區(qū)域，則點 (X,Y)落在D上的概率為P(X,Y)w D= 口 f(x,y)dxdy(3.12 )D這表明(X,Y)取值落在平面上

21、任一區(qū)域D內(nèi)的概率，可以通過密度函數(shù) f (x, y)在D上的二重積分求得。【注4】(1)具有上述性質(zhì)(1)和(2)的二元函數(shù)必定可以作為某個二維連續(xù)型隨機 變量的密度函數(shù).(2)性質(zhì)(1)的幾何意義為：二元函數(shù) z= f (x, y)為一張位于坐標面 xoy上方的曲面；性質(zhì)(2)的幾何意義為：以 xoy為底面，以z= f (x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積等于1；性質(zhì)(4)的幾何意義為P( X ,Y) w D的值等于以D為底，以曲面z = f (x, y)為頂?shù)那斨w的體積。2.邊緣密度函數(shù)若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)是f(x, y),由相關(guān)定義可知，關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)

22、為FX(x) =PX Mx = PX x,Y :二二 TOC o 1-5 h z x 二x 二=J f f(u,v)dudv= j J f(u,y)dydu,(3.13)此時，X也是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為 d二.“,、fX(x)= - FX(x) = f f(x,y)dy.(3.14)dx -同理可得，關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為yFY(y)=J f(x,v)dxdv ,(3.15)Y也是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為d二，、fY(y)=i(y) = Lf(x,y)dx .(3.16)dyf我們分別稱fX (x)和fY(y)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)，簡稱為邊緣密度.【例4】已知二

23、維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為工 kexy,x 0,y 0“3飛，其它試求：(1)常數(shù)k； 聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y) ； (3)邊緣密度函數(shù)fX(x)、fY(y)；(4)概率 P(X 2Y -1).【解】(1)利用聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)(2)確定k.由1 J-J-f(x,y)dxdy= 0 0 ke 00，x_ydxdy = k 0 exdx eydy = k 2.得k =2,所以2e f (x, y)=”xx 0,y 00,Lx_ydydx,x 0, y 0;0,(2)由定義x yF(x,y)i-f (u,v)dvdu =-=(1 -eix)(1 -ey),x 0,y 0;0同理可得bef

24、 rfx(x) = ；f(x,y)dy= 0fx (x)=2e?x,x 0;0,x 0fY ( y) = ；-ye ,y 0;,0,y 0.(4)(X , Y)的取值區(qū)域如圖 3-5所示，故P(X 2Y 工1) = f (x, y)dydx =x 2yJ-be2eI0,x 0 x _ 011 x1-(1-x)n1n10dx122e ”dy=20e (e、2 )dx0.13d /13d./11c xc14 x 11c4一C 2 /-2x22-2x1,22/I 上 I-2T12= 2(ee2,e2)dx = -e+ e 2 *e 2=1+ e - e 2.比0 3033【注5】在進行二維連續(xù)型隨機

25、變量的有關(guān)計算時，應(yīng)作出聯(lián)合密度函數(shù)的區(qū)域圖.3.兩個常用的分布(1)二維均勻分布定義設(shè)G 為xoy面上的有界區(qū)域，G的面積為A.若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密 度函數(shù)為,(x, y) G f (x,y) = A。其它(3.17)則稱二維隨機變量(X ,Y)在G上服從均勻分布若G1是G內(nèi)面積為A的子區(qū)域，則P(X,Y) Gdxdy - AGi此概率僅與Gi的面積有關(guān)(成正比)，而與Gi在G內(nèi)的位置無關(guān)，這正是均勻分布的“均 勻”含義?！纠?】設(shè)隨機變量X和Y在區(qū)域G=(x, y)|x2 EyEx,xW R內(nèi)服從均勻分布，求 X和Y聯(lián)合概率密度f (x, y) fY(y)_ 一, 一 .1 o

26、 1【斛】區(qū)域G的面積為SG = (x - x )dx =,所以由題意，X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f (x,y)=2 _6, x y 0，| P|W ,則稱（X,Y）服從參數(shù)為 K,也,5,d, P的二維正態(tài)分布.簡記為（X,Y）心42;也,。2;P）.由（X ,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)，運用變量代換積分法可以求得邊緣密度函數(shù)分別為_（x_4）212;彳fX （x）二 一 e , -: - ： x ：:2二：1（y-，2）21 一 2；4fY（y）： e ,-:- y :：-2二二2由此可見，如果(X,Y)N(4*2;與,吟口)，則有 X N(匕產(chǎn) 12) , YN(L,b22).【注6】亦即對給定

27、的 同的.因此, 聯(lián)合分布的.二維正態(tài)隨機變量的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù)P,卜122,01,。2,不同的P對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相僅由關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布，一般來說是不能確定二維隨機變量（X,Y）的即使兩個邊際分布都是正態(tài)分布的二維隨機變量，它們的聯(lián)合分布還可以不是二維正態(tài)分布，見下例.【例6】設(shè)二維隨機變量（X , Y ）的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)x2y22 中+sinxsiny ), (- cxc,-00 cyc).試求邊緣密度函數(shù)fx(X)fY (y).fX(x) =. f (x,y)dy =2 二-二2(1 sin x sin y)dy

28、-beJ2y2 dy1_?2 .二寸_y21-xe 2 (e 2 e 2 Jsinxsin y)dy = e 22 以2 二同理可得,2 二e 2.（-二；x -：, ）fY（y）y2e 2,（-二：:y :二）.即 X N（0,1）,YN(0,1),但(X,Y)卻不是服從二維正態(tài)分布的基礎(chǔ)練習3.1第二節(jié) 條件分布與隨機變量的獨立性條件分布與獨立性的概念1、條件分布函數(shù)在第一章中，我們曾經(jīng)定義過事件的條件概率，同樣也可以考慮一個隨機變量的條件分布.本節(jié)我們從事件的條件概率出發(fā)引入隨機變量的條件概率分布概念例如，考察某一群體的年收入與消費的狀況，分別以 X和Y表示年收入和消費，則 X 和Y都為

29、隨機變量，它們具有一定的概率分布，且相互依存.現(xiàn)在我們限制5X 6 (萬元)，在這個條件下求消費 Y的分布，這就意味著要從這一群體中年收入介于5萬元到6萬元之間人們挑選出來，然后在這其中求消費 Y的分布.這就是所謂的條件分布.定義1設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù)為 FX(x)= P X 已知事件 A發(fā)生，且 P(A)豐0,則對于任意名定的實數(shù) x ,我們記F (x| A) = P X E x | A , ( - x 十比)并稱F(x|A)為在事件A發(fā)生的條件下，X的條件分布函數(shù).【可否這樣定義】？對于二維隨機變量(X,Y)來說，條件的分布函數(shù) F(x|A)中的條件A往往是另一個隨 機變量Y的取值.如

30、果設(shè)A是由Y所生成的事件： A=YMy,且P(A) = PY M y 0 ,則F（x|Y 三 y） = PX x|Y My二PX x,Y0,則稱史(i=1,2,用)P_jPX =為 |Y =yj=PX =x,Y =yjPY = yj定義3 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的為在條件Y=yJ下，隨機變量X的條件分布律 對于固定的i ,若PX =xi 0,則稱2yj1iJ；工”嚕為在條件X =xi下，隨機變量Y的條件分布律.條件分布律滿足下列性質(zhì)PX =X |Y =yj -0二 P”1 .二 1、PX = xi |Y = yj= 巳= Pj =1yt Pj Pj tPj(3)PX I |

31、Y = yjPX =x1xi - Ii |Y = yj=、左，其中i是區(qū)間.x-I Pj3.獨立性對離散型隨機變量(X,Y),其獨立性的定義等價于：定義4若對(X,Y)的所有可能取值(xi, yj )有即則稱X和Y相互獨立.PX =x,Y = yj =PX =xiPY=yj【例1】設(shè)X與Y的聯(lián)合概率分布為Pij = Pi Pj ,i, j =1,2川|(1)(2)(3)(4)求Y =0時，X的條件分布律；求在Y=0時，X的條件分布函數(shù);，、一1求 PX _-|Y =0判斷X與Y是否相互獨立？-10200.10.2010.30.050.120.1500.10.2= 0.8,0.25P-kP0.0

32、5= 0.2 ，0.25PX =2|Y =0=PL2-0：。.PY =00.25【解】PY =0= 0.2 +0.05+0 = 0.25 ,所以(1) X所有可能取到的值為0, 1, 2.PX =0,Y =0PX =0|Y =0!LPY = 0所以在Y =0條件下，X的條件分布律為X012PX =x |Y =00.80.20(2)利用在Y=0條件下X的條件分布律，可以求出 X的條件分布函數(shù)F X|Y0,x0;(x|0) =PX Wx|Y =0=40.8,0 x11,x -1(3)方法一：利用條件分布律，可得1PX M|Y=0 =PX =0|Y=0=0.8；方法二：利用條件分布函數(shù)，可得PX 0

33、的y,稱fXY(x|y) = f(x，y).fy(y)為在Y = y的條件下X的條件概率密度函數(shù).由此，可得關(guān)系式 f(x,y)= fX (x) fY|X(y|x)= fY(y) fX|Y(x |y).它與乘法公式類似，反映了聯(lián)合密度、邊緣密度與條件密度之間的關(guān)系【注9】關(guān)于定義表達式內(nèi)涵的解釋 .以fXY(x|y) = f(x，y)fy(y)f (x, y) dxdy fX|Y(x|y)dx= ( ,y) y fY(y)dy為例.在上式左邊乘以dx,右邊乘以(dxdy)/dy ,利用聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)及條件概率公 式，即得Px X : x dx, y MY y dyP y Y 三 y dy=

34、Px _ X _ x dx | y _Y 二 y dy.換句t說，對很小的dx和dy , fX|Y(x | y)dx表示已知Y取值于y和y + dy之間的條件下X取值于x和x+dx之間的條件概率.運用條件密度函數(shù)，我們可以在已知某一隨機變量取值的條件下，求與另一隨機變量有關(guān)的事件的概率.即，如果二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的條件密度為fXY(x|y)=fx)或fy(y)丫摟(丫|刈=(；1), I為一區(qū)間，則 fX (x)PX I |Y = y = fxY(x| y)dx = f(dxII fY(y)或PY I|X=x= fY|x(y|x)dy= f(dyII fx (x)特別地，如果I =(

35、-co,x或I =(-oo,y,則可定義條件分布函數(shù).條件分布函數(shù)定義6如果二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的條件密度為fXY(x|y)= f(x, y)或 1fy(y)fYix(y|x)=皆斗，則稱fx (x)xx f (s, y)FxY(x|y)=PX x|Y =y = 一fxY(s|y)dsdsfY(y)為在丫 = y的條件下，X的條件分布函數(shù)；. y _y f (x,t)稱 Fy|x (y |x) = PY M y| X = x(一fY|x (t | x)dtTdt3fX(x)為在X = x的條件下，Y的條件分布函數(shù).3.獨立性對于二維連續(xù)型隨機變量(X,Y),其獨立性的定義等價于：定義7

36、若對任意的x, y,有f (x,y戶 fx (x)fy(y)幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨立.【例3】設(shè)數(shù)X在區(qū)間0,1服從均勻分布，當觀察到 X=x(0 x1)時，數(shù)Y在區(qū)間 (x,1)上等可能隨機地取值.求Y的概率密度.1.0 -x-1【解】因為X U0,1,所以fx(x)=/ 二0,其它由題意知，隨機變量 Y在X =x條件下服從(x,1)區(qū)間上的均勻分布，所以fY|x(y |x) = -x,x ： y ： 1a 其它由條件密度函數(shù)的定義可得,1,0 二 x ： y ： 1f(x, y)= fX(x)fY|X(y|x)= 1x0, 其它所以Y的概率密度為fY(y) =_f(x, y)dx=

37、 01 -x0,1dx,0 :二 y ：1 ln ,0 : V ： 1=1 -y其它o,其它【例4】已知(X,Y) f (x, y) = 2x 0,d 1,x -1, yx其它 x,判斷X和Y是否獨立.【解】g IfX(x) = f f(x,y)dy =廣 -QfJ/x0,1一丁 dy, x 12x2y其它In x-2x0,1dx,0 : y ： 1-2x2yfY(y) u jf(x,y)dxo_jy1c 22x y0dx, y _1，其它其它因此，f(x,y)#fx(x)fY(y),所以X和Y不獨立.【例5】某旅客到達火車站的時間X均勻分布在早上7: 55-8: 00,而火車在這段時間開出的

38、時間Y fY(y)=2鏟,0 求此人能及時上火車的概率。.0，其它【解】以7: 55為計時的起點，分鐘為計時單位，則 X U 0,5,所以1,0 x 5 XfX(x) =5。其它又X與Y相互獨立，所以2(5-y)f (x, y) = fX (x) fY (y) =500,0 x5,0 y5，其它設(shè)事件A= 此人能及時上火車”,則 A=X MY,所以所求概率為.、.55 2(5-y) 1 TOC o 1-5 h z PX Y = f(x,y)dxdy= 0dxx- y)dy = -. x0 , PY - |X -.22211求概率PY -|X .32fx(x)=.-cdf (x,y)dy =x一

39、.I j 1dy,0 二 x ： 1 _L2x,0 x ： 10，其它l0，其它11 1dx,1y071fY(y) u i-f(x, y)dx =1dx,0 y 1QUy0,其它1 y, -1 二 y 二 0=1 -y,0 y ： 1b其它=Ty11；|0，其匕【解】X和Y邊緣密度分別為(1)由條件密度公式可得fXY(x|y)二號- 1-|y|,0，其它,| y|； x ：二1fY|X (y 1 x)=f(x, y)fx(x)1，1 y|： x二2x。,其它(2)由條件概率公式可得,1、PX 11|Y 0=1_1 xPX 2,Y 02dx01dyPY 01 x0dx01dyX-1/2Cl.11

40、、11PX，Y 1PY2|X2:2TPX 11 x1/2dx1/21dy1 x1 J_ ,1(3)在X = -的條件下，Y的條件密度函數(shù)為25,1fYix(yl2)i 1，lyl：2 9其它由Y的條件密度函數(shù)可得1 PY |X31 二1/21=2 = 匕fY|x (y 1 x)dy = 1/3 1dy =6四多維隨機變量的概率分布及其獨立性n維隨機變量及其分布的定義定義8設(shè)S為樣本空間，X1 =X1儂),X2 =X2(。)，,Xn&)是S上的隨機變量，則由它們構(gòu)成的n維變量(X1,X2,ll1,Xn)稱為n維隨機變量 或n維隨機向量.對于任意n個實數(shù)為 , (i =1,2,|(|,n),事件X

41、 E%的交事件的概率稱為 n維隨機變量(X1，X2，|“,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù),記為 F(X1，X2,Xn),即F(X1,X2, ,Xn) =P(X1 X1,X2 X2, ,Xn M Xn)當隨機變量(X1,X2,|,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)F(X,X2, 1Xn)已知時，(X1, X2J 11 , Xn) 的k(1 k n)維邊緣分布函數(shù) 也隨之確定了 .例如，(X1，X2，|i,Xn)關(guān)于X(X.X2), (X1，X2，X3)的邊緣分布函數(shù)分別為Fx1 (X1) = F(X1，二，二，二)，F(xiàn)X1,X2 (X1,X2) =F(X1,X2，二，二)，F(xiàn)x1，X2，X3(X1，X2，%) =F(X

42、X2，X3，二,二).n維隨機變量的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)都具有與二維和一維隨機變量的分布函數(shù)相 類似的性質(zhì).n維隨機變量相互獨立的定義定義9設(shè)n維隨機變量為(X1,X2, 1Xn),若對于任意實數(shù) K,X2, Xn ,有PX1 X2 三 X2,Xn =PX1,1PX2 2 PXn，n則稱隨機變量X1,X2, lXn是相互獨立的.若(X1,X2, 1Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)及關(guān)于隨機變量Xk的邊緣分布函數(shù)分別記為F(X1，X2, ,Xn),FXk(Xk);k=1,2, ,n,則隨機變量Xi,X2，,Xn相互獨立可等價地表為F(X1,X2,Xn) = Fx1(Xi)Fx2(X2),Fxn(Xn)n維

43、離散型隨機變量的定義及其獨立性判斷定義10 n維隨機變量為(Xi,X2,、Xn)的取值(Xi,X2, -Xn)為有限多個或無限可列 多個，且PXi =Xi,X2 =X2, ,Xn = Xng|P(Xi,X2, , % )則稱(Xi, X2, ,Xn)為n維離散型隨機變量，上式稱為n維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律.若記關(guān)于Xi的邊緣分布律P Xi = Xi = p(x),則Xi, X2, , Xn相互獨立的充分 必要條件為P(X2,Xn)= p(Xi)p(X2)p(Xn)n維連續(xù)型隨機變量的定義及其獨立性判斷定義11若存在函數(shù)f(X1, X2 , , Xn )之0 ,使% X2XnF(X1,X2,

44、Xn) =f (Ui，U2,Un)dUidU2dUn._oO -oQ -oQ則稱(Xi,X2,Xn)為連續(xù)型隨機變量.此時X1,X2,Xn相互獨立的充分必要條件為f(X,X2, ,Xn) = fX1(Xi)fX2(X2) fXn(Xn)其中f(X1,X2, IXn)是(Xi，X2,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)，*乂人),(k = 1,2, in)是(Xi,X2, IXn)關(guān)于Xk的邊緣密度函數(shù)，即 -be -be -befXk(Xk)f(Xi, ,Xk，Xk,Xki, ,Xn)dXidXydXkidXn共n 4次基礎(chǔ)訓(xùn)練3.2第三節(jié)二維隨機變量函數(shù)的分布.在實際問題中，有些隨機變量往往如果已知二維隨機

45、變量 (X ,Y)的聯(lián)合z = g(x,y)不同的表達形式，如何去在第二章中，我們介紹了一維隨機變量的函數(shù)分布 是兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù) .本節(jié)我們來討論, 分布，針對二維離散型或連續(xù)型隨機變量及二元函數(shù) 求二維隨機變量的函數(shù) Z =g(X,Y)的分布.離散型隨機變量的函數(shù)分布般地，設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為PX =x,Y = yj = Pj(i,j =1,2,|)z=g(x, y)是一一個二元函數(shù)，則 Z =g(X,Y)作為(X,Y)的函數(shù)是一個隨機變量.假設(shè)Z =g(X, Y)的所有可能取值為Zk(k =1,2,|),則Z的分布律為PZ =zj =Pg(X,Y)

46、 = Zk=PX =X,Y = yjg (Xi ,yj)注下面舉例說明兩個離散型隨機變量的函數(shù)的分布律的求法【例1】已知隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YJ01200.10.250.1510.150.20.15試求乙=X +Y , Z2 =max(X,Y)的分布律.解 (1)乙的所有可能取值為0, 1, 2, 3,而PZ1 =0=PX +Y=0=PX =0,Y = 0 = 0.1,PZ1 =1 =PX +Y=1 =PX =0,Y =1 +PX =1,Y = 0 = 0.4,PZ1 =2 = PX +Y =2 = PX =0,Y = 2 + PX =1,Y =1 =0.35,PZ1 =3 = P

47、X Y =3 = PX =2,Y =1 =0.15.因此，Z1的分布律為Z10123Pk0.10.40.350.15(2) Z2的所有可能取值為 0, 1, 2,而PZ2 =0 =Pmax(X,Y) =0 =PX =0,Y =0 = 0.1,PZ2 =1 =Pmax(X,Y) = 1 = P X = 1,Y = 0 PX = 0,Y =1 PX =1,Y =1 =0.6PZ2 =2 = Pmax(X,Y) =2 = PX =2,Y =0 PX =2,Y =1 =0.3因此Z2的分布律為乙012pk0.10.60.3【例2】設(shè)隨機變量X1,X2H|,Xn相互獨立，且服從同一個(0-1)分布PX=

48、k = pk(1p),(k=0,1)：試證X =X1 +X2| + Xn服從二項分布B(n,p)。證明：由于每個Xi (i =1,2,|,n)可能取值為0或1,則X = X1+X21M+ Xn可能 取值為0,1,2，n。X取值為k,則要求X1,X2“l(fā),Xn中有k個取值為1,而其余n-k個取值為0,至于 是哪k個變量取值為1,共有C：種不同方式，而且這些方式兩兩互斥，由 X1,X2|,Xn相 互獨立性可知每種方式出現(xiàn)的概率為pk(1-p)nJ,從而n _kP X =k =C：pk 1 -p , k =0,1,2,|即X服從二項分布 B (n, p ).【例3】設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，它們

49、都服從參數(shù)為n,p的二項分布，證明Z =X +Y服從參數(shù)為2n, p的二項分布.【證】Z所以可能取到的值為1, 2,，2n.kP(Z =k) = PX Y =k =PU(X =i,Y =k - i)i=0kk= P(X =i,Y = k i)= P(X =i)P(Y = k i)(因為 X,Y 相互獨立) i -0i =0k-、 _ i i , .n-kk-kk-in-k i=c Cnp (1 - p) Cn p (1 - p)i =0kk2n -kx _ i k -i- - k k2n -k= p(1-p)CnCn =C2np (1-p)k=0,1|, n2i =0故Z =X +Y服從參數(shù)為

50、2n, p的二項分布.【注1】(1)此處用到一個組合公式：kik _L k kC CmCn = Cm ni=0k個共有cm4n種不同此公式的正確性可直觀地說明如下：從m + n個不同的元素中取的取法。從另一個角度看，把 m+n個元素分成兩部分，一部分有 m個，另一部分有n個, 從第一部分中取i個再配上從第二部分中取 k -i個，不同的取法共CmCnka，讓i從0變到k ,k總的取法是c cmck，,這兩種取法應(yīng)相等.這個事實說明：兩個相互獨立且服從于二項分 i衛(wèi)布的隨機變量，如果 參數(shù)p相同，則它們的和也服從于二項分布 .(2)可以證明：設(shè)X,Y是兩個獨立的隨機變量，它們分別服從參數(shù)為和九2的

51、泊松 分布，則Z=X +Y服從于參數(shù)為 兀+ ”的泊松分布.這個事實說明：兩個 獨立的服從泊松分布的隨機變量和仍服從泊松分布，簡稱為泊松分布具有可加性.連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y) , z = g(x, y)是一個二元函數(shù)，則Z =g(X,Y)作為(X,Y)的函數(shù)是一個連續(xù)型隨機變量一般地，我們可以用分布函數(shù)法求得Z的密度函數(shù).第一步，先求Z的分布函數(shù)FZ(z),Fz(z) =PZ Mz =Pg(X,Y) Mz = . f(x,y)dxdyg(x,y)z即Fz(z)可以用f(x, y)在平面區(qū)域g(X,Y) z上的二重積分得到.第二步，

52、求得Z的概率密度函數(shù)fZ (z) = d Fz (z)= f (x, y)dxdy dzdz g(x,y) _z【例4】設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的密度函數(shù)分別為1,0 ：二 x ：二 1;fX(x)=什X I 0,其它.e y 0; fY(y)=,0,y 0.試求Z =2X +Y的密度函數(shù)?！窘狻坑深}意知，(X,Y)的聯(lián)合密度為eT,0：x ：1、y 0;zxf(x,y)=fX(x)fY(y,0,其它.因此Z的分布函數(shù)為FZ(z) =PZ z =P2X Y wz = f(x, y)dxdy.2x ：y z由圖可知：(1)當 Z0 即 Z 0 時，F(xiàn)Z(z)=02(2)當 0EZc

53、1 即 0EZ 2 時， TOC o 1-5 h z 2 z2zNxz 2 o1Fz(z) = 0 O e,dydx=0 (1 -e x-)dx =2(z e- -1).(3)當Z之1即2之2時，2 1 z-2x1010Fz(z)= 0 O e-dy dx = 0(1-e2)dx =1-2(e2-1)eif0,z 0;，一1，故得FZ(z) = j-(z+e -1),0z2.2于是，Z的密度函數(shù)為I0,z0;1,fz(z) = 2(1-e),0 z2;127(e21)e：z 之 2.【例5】設(shè)隨機變量 X和Y相互獨立且同分布于N(0,1),求 Z = X2+Y2的概率密度fz.【解】 因為隨機變量 X和Y相互獨立且同分布于N(0,1),所以(X ,Y)的概率密度為 y2f(x,y)= e 2 ,-二：x, y 二二設(shè)Z的分布函數(shù)為fz，則當 Z M0 時，F(xiàn)Z(z) = PZ Ez =PX2+Y2 Ez =0；當Z A0時，F(xiàn)Z(z)= PZ z二PX2 Y2 Hz = . f(x, y)dxdyx2 y2 -z口22x y三z 1x2 y2- 2dxdy = .o 21: -.z 1r2e 2rdrd 二-2 e CIr29rdr令r=u z1 U = 0 2e?dur2-e 2z=1