《數(shù)學(xué)建模課程》練習(xí)題一

1、數(shù)學(xué)建模課程練習(xí)題一、填空題1.設(shè)開始時(shí)的人口數(shù)為X。，時(shí)刻t的人口數(shù)為x(t),若人口增長(zhǎng)率是常數(shù)r ,那麼人口增長(zhǎng)問(wèn) 題 的 馬 爾dx一 rx,x(0) Xo dtx(t) xoert;斯 模 型 應(yīng) 為O2.設(shè)某種商品的需求量函數(shù)是Q(t)25P(t) 1200,而供給量函數(shù)是G(t) 35 P(t1) 3600 ,其中p(t)為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品的均衡價(jià)格是803.某服裝店經(jīng)營(yíng)的某種服裝平均每天賣出110件，進(jìn)貨一次的手續(xù)費(fèi)為 200元，存儲(chǔ)費(fèi)用為每件0.01元/天，店主不希望出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，則最優(yōu)進(jìn)貨周期與最優(yōu)進(jìn)貨量分別為*. *T 19,Q2090.4. 一個(gè)連通圖能夠一

2、筆畫出的充分必要條件是圖中奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或2.5.設(shè)開始時(shí)的人口數(shù)為x0,時(shí)刻t的人口數(shù)為x(t),若允許的最大人口數(shù)為 xm,人口增長(zhǎng)率由r(x) r sx表示，則人口增長(zhǎng)問(wèn)題的羅捷斯蒂克模型為dxdtxxmrx(1 一)，x(0)x0 x(t) -Xm1(汰 1)e rtx。6.在夏季博覽會(huì)上，商人預(yù)測(cè)每天冰淇淋銷量N將和下列因素有關(guān):(1)參加展覽會(huì)的人數(shù) n ;(2)氣溫T超過(guò)10 C ； (3)冰淇淋的售價(jià) p .由此建立的冰淇淋銷量的比例模型應(yīng)為N Kn(T10)/P,(T 100C), K 是比例常時(shí)間，存入的錢才可翻番.若7、若銀行的年利率是 x%,則需要_ln2/ln(1 x%

3、)每個(gè)小長(zhǎng)方形街路的.如圖是一個(gè)郵路，郵遞員從郵局A出發(fā)走遍所有長(zhǎng)方形街路后再返回郵局邊長(zhǎng)橫向均為1km,縱向均為2km,則他至少要走 _42 km. A.設(shè)某種新產(chǎn)品的社會(huì)需求量為無(wú)限，開始時(shí)的生產(chǎn)量為 100件，且設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)的增長(zhǎng)率0 1t控制在0.1, t時(shí)刻廣品量為x（t）,則x（t）=x（t） 100e. ;.商店以10元/件的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)襯衫，若襯衫的需求量模型是Q 80 2p, p是銷售單價(jià)（元/件），為獲得最大利潤(rùn)，商店的出售價(jià)是 p 25.二、分析判斷題1.從下面不太明確的敘述中確定要研究的問(wèn)題，需要哪些數(shù)據(jù)資料（至少列舉3個(gè)），要做些甚麼建模的具體的前期工作（至少列舉3個(gè)），建

4、立何種數(shù)學(xué)模型：一座高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時(shí)間非常擁擠，該如何解決。1）要研究的問(wèn)題：如何設(shè)置四部電梯的?？糠绞剑怪l(fā)揮最大效益2）所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層 的高度、層數(shù)等3）要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計(jì)所需資料，一般講，需要統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天的相 關(guān)資料4）可以建立概率統(tǒng)計(jì)模型，亦可在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立確定性模型2.某種疾病每年新發(fā)生 1000例，患者中有一半當(dāng)年可治愈.若2000年底時(shí)有1200個(gè)病人，到2005年將會(huì)出現(xiàn)甚麼結(jié)果？有人說(shuō)，無(wú)論多少年過(guò)去，患者人數(shù)只是趨向2000人，但不會(huì)達(dá)到2000人，試判斷這個(gè)說(shuō)法的正確性.根

5、據(jù)題意可知：下一年病人數(shù) =當(dāng)年患者數(shù)的一半+新患者.于是令Xn為從2000年起計(jì)算的n年后患者的人數(shù)，可得到遞推關(guān)系模型：Xn 10.5Xn 1000由X。 1200，可以算出2005年時(shí)的患者數(shù) X51975人.遞推計(jì)算的結(jié)果有，1、Xn X0 2000（1 ）.2容易看出，Xn是單調(diào)遞增的正值數(shù)列，且Xn2000，故結(jié)論正確. 一條公路交通不太擁擠，以至人們養(yǎng)成“沖過(guò)”馬路的習(xí)慣，不愿意走臨近的“斑馬線”。交管部門不允許任意橫穿馬路，為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)“斑馬線”，以便讓行人可以穿越馬路。那末“選擇設(shè)置斑馬線的地點(diǎn)”這一問(wèn)題應(yīng)該考慮哪些因素？試至少列 出3種。（1）車流的密

6、度 （2）車的行駛速度（3）道路的寬度（4）行人穿越馬路的速度（5）設(shè)置斑馬線地點(diǎn)的兩側(cè)視野等。.某營(yíng)養(yǎng)配餐問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為minZ=4x1+3x2 TOC o 1-5 h z 10Xi 5x250,5xi8x240,(2).t.6x15x2 42,(3)x1, x20其中x1, x2表示參與配餐的兩種原料食品的采購(gòu)量，約束條件(1)、(2)、(3)依次表示鐵、蛋白質(zhì)和鈣的最低攝入量。并用圖解法給出了其最優(yōu)解x(2,6)T ,試分析解決下述問(wèn)題：(1)假如本題的目標(biāo)函數(shù)不是求最小而是求最大值類型且約束條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？ (2)本題最后定解時(shí)，只用了直線(1)與直線(3),而直線(2)未

7、用上，這件事說(shuō)明了 什么？試從實(shí)際問(wèn)題背景給以解釋.(1)因?yàn)榭尚杏虻挠疑戏綗o(wú)界，故將出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)趨于無(wú)窮大的情形，結(jié)果是問(wèn)題具有無(wú) 界解；(2)將最優(yōu)解代入約束條件可知第二個(gè)約束條件為嚴(yán)格不等式，而其他為嚴(yán)格等式。這說(shuō)明，鐵和鈣的攝入量達(dá)標(biāo)，而蛋白質(zhì)的攝入量超最低標(biāo)準(zhǔn)18個(gè)單位。5.據(jù)繪畫大師達(dá)芬奇的說(shuō)法，在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)。也 就是說(shuō)，這個(gè)比值越接近0.618,就越給人以一種美的感覺(jué)。很可惜，一般人的軀干(由腳底至肚臍的長(zhǎng)度)與身高比都低于此數(shù)值，大約只有0.58 0.60左右。設(shè)軀干長(zhǎng)為x ,身高為l , 一位女士的身高為1.60(m),其軀干與身高之比 x

8、:l 0.60,若其所穿的高跟鞋高度為 產(chǎn)生最美的效應(yīng)值。(單位與那么，她該穿多高的高跟鞋( d = ?)才能穿高跟鞋后新的比值應(yīng)為0.6l d 人. 令l d0.6l d0.618, l d由此可解得d 7.54(cm).三、應(yīng)用題1.從廠家A往B、C、D三地運(yùn)送貨物,中間可經(jīng)過(guò) 9 個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)站 E1,E2,E3,F1, F2,F3,G1,G2,G3.從A到E1,E2, E3的運(yùn)價(jià)依次為3、8、7;從E1到F1,F2的運(yùn)價(jià)為4、3;從E?到51下2下3的運(yùn)價(jià)為2、8、4;從E3到F2,F3的運(yùn)價(jià)為7、6;從F1到G1,G2的運(yùn)價(jià)為10、12;從F2到G1，G2,G3的運(yùn)價(jià)為13、5、7；從F3

9、到G2,G3的運(yùn)價(jià)為6、8;從G。UB,C的運(yùn)價(jià)為9、10;從G2到B,C,D的運(yùn)價(jià)為5、10、15;從G3到C,D的運(yùn)價(jià)為8、7。試?yán)脠D模型協(xié)助廠家 制定一個(gè)總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸路線。1、先建立模型（圖1）,然后使用雙標(biāo)號(hào)法求解，得到圖2。 TOC o 1-5 h z 圖1圖2由圖2進(jìn)行逆向搜索可知，從廠家 A到B只有一條路線最短： HYPERLINK l bookmark40 o Current Document AElF2G2B,lmin16；從廠家A到C有兩條最短路線可選擇：AEiF2G2C,Im.21,AE1F2G3C,lmin21；從廠家A到D也只有一條路線最短：A 日 F2G3D,

10、 lmin 20.試求如表2所示運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)運(yùn)輸方案和最小運(yùn)輸費(fèi)用:表2單位：百元/噸個(gè)、J肖地產(chǎn)運(yùn)小B1B2B3B4產(chǎn)量A1352920A24751215A369101125銷量10201515易見，這是一個(gè)產(chǎn)銷平衡且為最小值類型的運(yùn)輸問(wèn)題。我們利用最小元素法可得初始方案如表1,Ai35215)920A24751215A369101125銷量10201515使用閉回路法可得負(fù)檢驗(yàn)數(shù)為12=-1 ,故令X12進(jìn)基。再使用閉回路法進(jìn)行調(diào)整知Xii出基,便得新的運(yùn)輸方案，再進(jìn)行檢驗(yàn)知，所有檢驗(yàn)數(shù)j 0,故上述方案即為最優(yōu)運(yùn)輸方案。最小費(fèi)用為385 (百元)。.某工廠計(jì)劃用兩種原材料 A, B生產(chǎn)

11、甲、乙兩種產(chǎn)品，兩種原材料的最高供應(yīng)量依次為22和20個(gè)單位；每單位產(chǎn)品甲需用兩種原材料依次為1、1個(gè)單位，產(chǎn)值為3 (百元)乙的需要兩依次為3、1個(gè)單位，產(chǎn)值為9 (百元)；又根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，產(chǎn)品乙的市場(chǎng)需求量最多為 6個(gè)單位，而甲、乙兩種產(chǎn)品的需求比不超過(guò) 5: 2,試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案， 使得總產(chǎn)值達(dá)到最大，并由此回答：最優(yōu)生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？若有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說(shuō)明理由 .原材料的利用情況.設(shè)X1,X2表示甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則有原材料限制條件：X1 3x2 22和X1 x2 20,又由產(chǎn)品乙不超過(guò) 6件以及兩種產(chǎn)品比例條件有另外兩個(gè)條件：x2 6,以及 2X

12、1 5x2 0,目標(biāo)函數(shù)滿足 max z 3x1 9x2,便可以得到線性規(guī)劃模型：s.t.max z3x19x2X13x222,XiX220,X26,2x15x20,X1,X20.(1)使用圖解法易得其最優(yōu)生產(chǎn)方案將有無(wú)窮多組(這是因?yàn)榈谝粋€(gè)約束條件所在直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)直線的斜率相等)，其中的兩個(gè)方案為該直線段上的兩個(gè)端點(diǎn)：X1(4,6)T,X2 (10,4)，目標(biāo)值均為 z 66 (百元).(2)按照上面的第一個(gè)解，原材料 B將有10個(gè)單位的剩余量，而按照第二個(gè)解，原材料B將有6個(gè)單位的剩余量.不論是哪一個(gè)解，原材料 A都全部充分利用.兩個(gè)水廠Ai, A2將自來(lái)水供應(yīng)三個(gè)小區(qū)Bi, B2

13、, B3,每天各水廠的供應(yīng)量與各小區(qū)的需求量以及各水廠調(diào)運(yùn)到各小區(qū)的供水單價(jià)見表.試安排供水方案，使總供水費(fèi)最小?小區(qū)/元BiB2B3供應(yīng)量/ tA11064170A2756200需求量/ t160901505、有某種物資從城市 Vi運(yùn)往城市V9 .中間可以通過(guò)V2,L ,V8七個(gè)城市運(yùn)抵目的地。 各城市之間的可通道路及其間距離如圖所示（單位：km）.試設(shè)計(jì)一個(gè)從V1到v9的運(yùn)輸路線，使得總運(yùn)輸路程最短，并求出最短路線本問(wèn)題可以看成是一個(gè)產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問(wèn)題，屬于供小于求問(wèn)題為此，虛設(shè)一個(gè)水廠A。,其供水量為30噸，相應(yīng)的運(yùn)價(jià)均定為 0,便得到一個(gè)產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題如表所示:小區(qū)/元B1B2B

14、3供應(yīng)量/ tA11064170A2756200A000030需求重/ t16090150再利用表上作業(yè)法求解，即可獲得供水費(fèi)用最低的供水方案為:Ai20B2,Ai150B3，A2130Bi，A270B2,小區(qū)Bi將有 30 噸水的缺口總費(fèi)用為6 20 4 150 7 130 5 70 1980 （元）.使用雙標(biāo)號(hào)法可得知，本問(wèn)題有兩條最短路線，分別是：V1V4V3V5V7V9,lmin18；V1V4V6V5V7V9,lmin18.數(shù)學(xué)建模課程練習(xí)題二一、填空題.若y z, z x,則y與x的函數(shù)關(guān)系是 _ y kx, k是比例常數(shù) .有人觀察到魚尾每擺動(dòng)一次，魚所移動(dòng)的距離幾乎與魚身的長(zhǎng)度相

15、等，則魚尾擺動(dòng)的次 數(shù)T (次/秒)、魚身的長(zhǎng)度L和它的速度V的關(guān)系式為 V kTL; .已知行星的質(zhì)量與它的密度和它的半徑的立方成正比.若某行星的直徑是地球直徑的d倍，且它的平均密度是地球的 s倍，則此行星質(zhì)量是地球的 _sd3 倍.馬爾薩斯與邏輯斯蒂克兩個(gè)人口增長(zhǎng)模型的主要區(qū)別是假設(shè)了 長(zhǎng)率是常數(shù)還是人 口的遞減函數(shù).設(shè)S表示掙的錢數(shù)，x表示花的錢數(shù)，則“錢越多花的也就越多”的數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)單表示為 S kx, k 0是比例常數(shù)._.在超級(jí)市場(chǎng)的收銀臺(tái)有兩條隊(duì)伍可選擇，隊(duì)1有m1個(gè)顧客，每人都買了 n1件商品，隊(duì)2有m2個(gè)顧客，每人都買了 出件商品，假設(shè)每個(gè)人付款需 p秒，而掃描每件商品需

16、 t秒秒，則加入較快隊(duì)1的條件是 .m1(p n1t) m2( p n2t);.在建立人口增長(zhǎng)問(wèn)題的邏輯斯蒂克模型時(shí)，假設(shè)人口增長(zhǎng)率r是人口數(shù)量x(t)的遞減函數(shù)，若最大人口數(shù)量記作xm,為簡(jiǎn)化模型，采用的遞減函數(shù)是 .r(x) r sx,其中r, s均為正常數(shù);. 一次晚會(huì)花掉100元用于食品和飲料，其中食品至少要花掉40%,飲料起碼要花30元,用 f和 d 列出花在食品和飲料上的費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型是d f 100, f /( f d) 0.4, d 30.設(shè)某種商品的需求量函數(shù)是Q(t)25P(t) 1200 (萬(wàn)件)，其中p(t)為該商品的價(jià)格函數(shù)，那么該商品的社會(huì)最大需求量是 .1200

17、(萬(wàn)件)；.設(shè)某種商品的供給量函數(shù)是 G(t) 36P(t 1) 3600 ,其中p(t)為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品下一時(shí)段的價(jià)格達(dá)到 100.,才能迫使供給商停止供給。二、分析判斷題.地方公安部門想知道，當(dāng)緊急事故發(fā)生時(shí)，人群從一個(gè)建筑物中撤離所需要的時(shí)間，假 TOC o 1-5 h z 設(shè)有足夠的安全通道.若指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，應(yīng)制定甚麼樣的疏散計(jì)劃.請(qǐng)就這個(gè)計(jì)劃指出至少三個(gè)相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示撤離時(shí)人員的分布狀態(tài) S、人員總數(shù)N、撤離速度v、人們之間相對(duì)擁擠程度r、人員所在地與安全地點(diǎn)的距離 L、人員撤離完畢所需要的總時(shí)間t等.假設(shè)某個(gè)數(shù)學(xué)模型建成為如下形式：

18、HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 21Mx 5 x2P(x) 1 (1 -7)2exxa試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個(gè)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化.)22，從而有 2a(1x 當(dāng)一較小的時(shí)候，可以利用二項(xiàng)展開式將小括號(hào)部分簡(jiǎn)化為ax2 _, xP(x) 3xex .若x也很小，則可以利用 ex1 x將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)為 TOC o 1-5 h z 2 P(x) 2x(1 x ).2a2.要為一所大學(xué)編制全校性選修課程表，有哪些因素應(yīng)予以考慮？試至少列出5種.問(wèn)題涉及到時(shí)間、地點(diǎn)和人員三大因素，故應(yīng)該考慮到的因素至少有以下幾個(gè)：(1)教師：是否連續(xù)上課，對(duì)時(shí)間的要求，對(duì)多媒

19、體的要求和課程種類的限制等；(2)學(xué)生：是否連續(xù)上課，專業(yè)課課時(shí)與共同課是否沖突，選修人數(shù)等；(3)教室：教室的數(shù)量，教室的容納量，是否具備必要的多媒體等條件；. 一起交通事故發(fā)生 3個(gè)小時(shí)后，警方測(cè)得司機(jī)血液中酒精的含量是56/100(mg/ml),又過(guò)兩個(gè)小時(shí)，含量降為 40/100(mg/ml),試判斷，當(dāng)事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)是否違反了酒精含量的規(guī)定(不超過(guò) 80/100 (mg/ml).設(shè)C(t)為t時(shí)刻血液中酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應(yīng)為C/ kC,其通解是C(t) C(0)ekt,而C(0)就是所求量.由題設(shè)可知C(3) 56,C(5) 40,故有C(0)e 3k 56 和 C(0

20、)e5k 40,2k_3k由此解得 e 56/40 k 0.17C(0) 56e94,可見在事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定.5、為了節(jié)約用水，業(yè)內(nèi)人士提出水費(fèi)應(yīng)按照階梯式進(jìn)行收費(fèi)。譬如對(duì)于居民用水收費(fèi)，在一般月用水量的平均值之內(nèi)按照原價(jià)格收取，超出部分要加大收費(fèi)力度。對(duì)此問(wèn)題建立模型應(yīng)該考慮那些問(wèn)題和因素？至少列舉三個(gè)。從問(wèn)題角度說(shuō)，應(yīng)該考慮低收入家庭的承受能力，必須進(jìn)行調(diào)查研究；從制定何種收費(fèi)模型角度看，需要研究模型的結(jié)構(gòu)，譬如分幾段收費(fèi)等；用水的平均值數(shù)據(jù)怎樣獲得，分段力度達(dá)到多大；既要考慮平民百姓，也不能不考慮高收入人群，怎樣兼顧等。三、應(yīng)用題1.某鋁合金加工單位要加工一

21、批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)長(zhǎng)度的料各兩根，總計(jì)要加工 20套，所用原料的長(zhǎng)度均為4.6(m),試建立整數(shù)規(guī)劃模型以給出一個(gè)截料方案，使得所用原料最少？,先列出所有可能的截料方案:T案尺寸1232.2米0121.5米310料頭長(zhǎng)0.10.90.2由此假設(shè)，按照方案 1、2、3分別需原料x1,x2,x3根，以z表示總料頭長(zhǎng)，則有min z 0.1x1 0.9x2 0.2x3 TOC o 1-5 h z X22x340,3x1x240,x1， x2, x3N由兩個(gè)約束條件得x3(40 x2)/2,x1(40 x2) / 3, 一起代入目標(biāo)函數(shù)得16 23z 一 一 x2,33

22、0一一人40 一， 可見應(yīng)令x2 0,x1 9，x3 20.但x1非整數(shù)，于是可將原問(wèn)題添加條件構(gòu)成兩個(gè)新的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題:min z0.1x10.9x20.2X3min z 0. 1x10.9X20.2X3X22x340,X22x340,(1) 3X1X240,(2)3X1X240,X113, X1,X2,X3NX114,X2, X3,X1N其中問(wèn)題（2）無(wú)解，而（1）可同上求解得X320 注,-40-x2，但 Xi 13X2 1,23 1代入目標(biāo)函數(shù)可知 X2 1X1 13,X3 19.2依此再進(jìn)行分支和求解，最后獲得解為X1 12,X2 4, X3 18Zmin 8.4.即按照方案1、2、

23、3各自截12、4、18根原料即為最優(yōu)方案.2.求如圖所示網(wǎng)絡(luò)中 V1到V9的最短路線及其路長(zhǎng).利用雙標(biāo)號(hào)法可得下圖:故得V1到V9的最短路線（兩條）及其路長(zhǎng)分別為第條：v1v4v3v5V7V9 ； l min18.第二條：V1V4V6V5V7V9 ； l min18.一個(gè)毛紡廠使用羊毛、兔毛和某種纖維生產(chǎn)甲、乙兩種混紡毛料，生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品甲需要的三種原料依次為 3、2、8個(gè)單位，產(chǎn)值為580元；生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品乙需要的三種原 料依次為2、3、5個(gè)單位，產(chǎn)值為 680元，三種原料在計(jì)劃期內(nèi)的供給量依次為90、30和80單位試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案，使得總產(chǎn)值達(dá)到最大，并由此回答：最優(yōu)

24、生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？若有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說(shuō)明理由 .原材料的利用情況.設(shè)“，*2表示甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則有 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 原材料限制條件：3x12x290,2x13x230,8x15x280,目標(biāo)函數(shù)滿足 max z 580 x1 680 x2,合在一起便是所求線性規(guī)劃模型，其中xj 0,j1,2.(1)使用圖解法易得其最優(yōu)生產(chǎn)方案只有一組(這是因?yàn)樗屑s束條件所在直線的斜率與 目標(biāo)函數(shù)直線的斜率均不相等)，從而最優(yōu)方案沒(méi)有可選擇余地.計(jì)算知最優(yōu)解為： HYPERLINK l bookmark70 o Current Document *45 40 t 53300一X(一, 一),目標(biāo)值為 maxz (萬(wàn)兀). HYPERLINK l bookmark72 o Cur