《周期現(xiàn)象與周期性》教案

1、周期現(xiàn)象與周期性課時(shí)安排一課時(shí) .材料來源北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4中的 “周期現(xiàn)象與周期性” .本節(jié)最為重要的是讓學(xué)生了解周期現(xiàn)象， 觀察周期現(xiàn)象， 感知周期現(xiàn)象的存在，學(xué)會(huì)用周期現(xiàn)象， 解決一些實(shí)際生活和數(shù)學(xué)中的一些具體問題 . 從生活現(xiàn)象教材內(nèi)容 學(xué)習(xí)活動(dòng) 學(xué)習(xí)過程 解決問題 目標(biāo)達(dá)成學(xué)習(xí)的延伸 ( 課外自主學(xué)習(xí)).立意與設(shè)想創(chuàng)設(shè)網(wǎng)絡(luò)式學(xué)習(xí)與課堂學(xué)習(xí)相結(jié)合的模式， 能從網(wǎng)絡(luò)上獲取生活與自然界的周期現(xiàn)象，并根據(jù)自然界、生活中的周期現(xiàn)象，理解周期性的意義，一個(gè)周期變化、一個(gè)最小正周期、周期的整數(shù)倍的意義. 能從各種事實(shí)、數(shù)據(jù)、圖形中，判斷其是否具有周期性. 建立數(shù)學(xué)模型，將

2、自然生活現(xiàn)象中的周期問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)；掌握正弦、余弦函數(shù)的周期特征，正確理解 f( x+T)= f( x) 的意義， 理解周期與最小正周期的概念.設(shè)計(jì)理念借助網(wǎng)絡(luò)了解自然現(xiàn)象中的周期現(xiàn)象， 由學(xué)生上網(wǎng)查閱資料， 完成生活與自然界的周期現(xiàn)象的收集，并能將這些現(xiàn)象用多媒體的方式展示出來. 把周期現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(數(shù)學(xué)模型) ，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)模型“ f( x+T)= f( x) ”來研究周期 問題 .整個(gè)學(xué)習(xí)過程， 體現(xiàn)了學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)， 學(xué)會(huì)利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行再創(chuàng)作， 提取學(xué)習(xí)信息，了解周期現(xiàn)象，特別從數(shù)學(xué)角度來研究它，使之更好地為生活生產(chǎn)服務(wù). 學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，自主探究，提高獨(dú)立探究能力

3、、自我創(chuàng)新能力 .根據(jù)本節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況，可借助網(wǎng)絡(luò)和多媒體輔助教學(xué) .教材分析一、地位與作用周期性是函數(shù)的五大性質(zhì)之一， 突出地表現(xiàn)了函數(shù)的一大特征， 即某一現(xiàn)象的重復(fù)出現(xiàn) . 這種現(xiàn)象在三角函數(shù)中體現(xiàn)得最為充分，函數(shù)值的變化會(huì)隨著自變量的變化而重復(fù)出現(xiàn). 因此，在研究周期函數(shù)時(shí)，我們只需要對其一個(gè)周期進(jìn)行研究，便可知道它在整個(gè)定義域中的性質(zhì). 特別還為我們學(xué)習(xí)周期數(shù)列、物理學(xué)中的周期運(yùn)動(dòng)、周期現(xiàn)象奠定了基礎(chǔ). 最重要的是周期現(xiàn)象就存在于自然界與生活中，許多周期現(xiàn)象， 常常直接影響著人類的生活與生存， 使我們認(rèn)識(shí)自然、 發(fā)現(xiàn)自然奧秘并尊重自然規(guī)律. 因此，學(xué)好這部分知識(shí)可以幫

4、助學(xué)生關(guān)注自然，了解自然，體會(huì)數(shù)學(xué)與自然界有著千絲萬縷的聯(lián)系， 并從中體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂， 數(shù)學(xué)并不總是枯燥的，數(shù)學(xué)并不是無用的，它的價(jià)值是無限的 .二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容是通過對生活、 自然界的周期現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)， 了解周期現(xiàn)象的意義，并學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型， 用數(shù)學(xué)方法研究周期現(xiàn)象，掌握正弦、 余弦函數(shù)的周期性變化，學(xué)會(huì)用周期性研究函數(shù)的性質(zhì) .本節(jié)課的難點(diǎn)是建立數(shù)學(xué)模型，將周期現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，準(zhǔn)確理解符號 f( x+T)= f( x) 的意義，能判定函數(shù)是否具有周期性，會(huì)求出函數(shù)的周期及最小正周期 .三、方式方法合理創(chuàng)設(shè)情境， 從學(xué)生最為熟知的自然規(guī)律、 生活現(xiàn)象出發(fā)，

5、通過觀察、 歸納、轉(zhuǎn)化， 體會(huì)從具體事件到抽象的數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)過程， 提升每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì) .四、難點(diǎn)突破給出預(yù)習(xí)提綱，利用現(xiàn)代教育技術(shù)，通過網(wǎng)絡(luò)了解自然與生活中的周期現(xiàn)象，并借助多媒體展示主要的周期現(xiàn)象. 借助實(shí)例、反例、數(shù)組、圖象等直觀素材，搭建好自然與生活中的周期現(xiàn)象與數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號表示周期現(xiàn)象， 學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)、 數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)研究周期現(xiàn)象， 完成周期函數(shù)的學(xué)習(xí) .學(xué)情分析在學(xué)生具有一定函數(shù)知識(shí)、圖象知識(shí)、邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力的基礎(chǔ)上，學(xué)生對自然與生活現(xiàn)象中的周期(性)變化，早有體會(huì)，并不陌生，但我們在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，并沒有作

6、為周期性來認(rèn)識(shí)、來研究. 學(xué)生困難的是周期性賦予的數(shù)學(xué)意義， 或者說怎樣從周期函數(shù)的角度， 研究周期現(xiàn)象， 特別是對周期函數(shù)的定義，對數(shù)學(xué)符號f(x+T)=f( x) 的理解，不是一件容易的事，教學(xué)過程中，教師仍然應(yīng)從多角度， 讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象與周期函數(shù)的關(guān)系， 理解自變量與函數(shù)值所表示的周期現(xiàn)象的意義， 培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型， 并會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力， 為數(shù)學(xué)建模不斷地奠定基礎(chǔ).學(xué)習(xí)目標(biāo)一、知識(shí)與技能了解自然界的周期現(xiàn)象，能從一組數(shù)據(jù)的變化讀出周期現(xiàn)象. 觀察函數(shù)的圖象變化、觀察正弦、余弦函數(shù)值的變化，找出正弦、余弦函數(shù)的周期和最小正周期 .二、過程與方法培養(yǎng)學(xué)生觀察生活、 觀察

7、自然現(xiàn)象的好習(xí)慣， 能將周期現(xiàn)象應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并能用幾何方法研究代數(shù)問題，亦能將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題不研究. 掌握實(shí)驗(yàn)確認(rèn)、自主探究、合情推理等方法三、情感、態(tài)度、價(jià)值觀在探究學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣、感受大自然的奇趣，深刻體會(huì)自然界中的數(shù)學(xué)， 與數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的自然規(guī)律. 增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心， 培養(yǎng)探索世界、 了解自然、 TOC o 1-5 h z 學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) ：任意角的正、余弦函數(shù)的定義.教學(xué)難點(diǎn)： 用單位來研究問題 .教學(xué)過程一、課前閱讀與預(yù)習(xí)閱讀課本 P.3-P.5 頁， 理解周期現(xiàn)象.通過網(wǎng)絡(luò)查閱自然界與生活中的周期現(xiàn)象， 分析這些周期現(xiàn)象， 這些周期現(xiàn)象

8、說明了什么， 并說明周期現(xiàn)象的應(yīng)用 (服務(wù)于生產(chǎn)與生活) ， 分類總結(jié)形成文字，并在課堂上交流.二、新課引入1. 自然與生活中的周期現(xiàn)象你能列舉哪些自然與生活中的周期現(xiàn)象. 并指出它們經(jīng)過幾次變化，同一種現(xiàn)象會(huì)重復(fù)出現(xiàn).學(xué)生預(yù)習(xí)成果展示：1）海水的潮汐現(xiàn)象（海水每經(jīng)過一晝夜會(huì)漲落兩次）2）地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn).3） 一天二十四個(gè)小時(shí)、一周七天、一年十二個(gè)月的周而復(fù)始；一年四季 （春夏秋冬）的交替，一年二十四節(jié)氣的輪回.4）時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的重復(fù)旋轉(zhuǎn).5）中國每年的傳統(tǒng)節(jié)日.6）中國年歷中的十二生肖.7）擺鐘的擺錘運(yùn)動(dòng)、水車的水輪轉(zhuǎn)動(dòng)、摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng) .2.討論周期現(xiàn)象的特征同一現(xiàn)象或同一事件，

9、會(huì)在相同的時(shí)間或經(jīng)過相同的變化次數(shù)后重復(fù)出現(xiàn) .三、周期意義的理解學(xué)習(xí)材料一：生活中的周期現(xiàn)象.今天是星期三，經(jīng)過7天、14天、280天變化后，分別是星期幾？若向前推7天、21天、70天分別是星期幾？最少要經(jīng)過多少大的變化可以得到星期三？ 幫助學(xué)生從生活現(xiàn)象理解：周期（正周期、負(fù)周期）與最小正周期的概念.中國年歷中的12生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬.每經(jīng)過 年重復(fù)同一生肖.若今年是兔年，經(jīng)過12年是 年，經(jīng)過24年是 年.經(jīng)過15年是 年，給出某一年的生肖，如何計(jì)算不同年份的生肖？生活現(xiàn)象數(shù)量化：提取信息，用表格表示周期現(xiàn)象，如下表:經(jīng)過的天數(shù)刖二天刖一天前一天今天12

10、3456714- 280星期幾67123456712333構(gòu)造函數(shù)模型設(shè)x為經(jīng)過的天數(shù)，星期幾為對應(yīng)的函數(shù)值 f（x）,將中的表改造如下:經(jīng)過的天數(shù)x刖二天刖一天前一天今天123456714- 280星期幾f(x)67123456712333賦予數(shù)字意義(利用映射關(guān)系)令今天用0表示，前一天用-1表示，前二天用-2表示，前三天用-3表示,則以上表格改造為經(jīng)過的天數(shù)x-5-4-3-2-10123456714280星期幾f(x)567123456712333建立周期模型的雛形利用中的第二個(gè)表格，引導(dǎo)的學(xué)生：i)列出f(x)與x的等量關(guān)系.當(dāng) f(0)=3, f(1)=4, f=5, f (3) =

11、6, f(4)=7, f(5)=1, f(6)=2, f=3,， f(-1)=2, f(-2)=1, f(-3)=7, f(-4)=6, f(-5)=5，.ii)找出f(x)=1的所有的f(x).，f(-9)= f(-2)= f(5)=f(12)=，找出 f(x)=2 的所有的 f(x).f(-15)= f(-8)= f(-1)= f(6)= f(13)= f(20)= f(27)=.iii)找出以上數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律：f( x+7)= f( x).學(xué)習(xí)材料二：數(shù)字中的周期現(xiàn)象.例舉一些數(shù)字，使其具有周期性，并求出它們的周期、最小正周期 .例如： 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,23；

12、0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, 0,-1,； 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,周期模型的認(rèn)識(shí)：.設(shè)a, b, c, d分別代表春、夏、秋、冬，若令 a=春，b = M, c=秋，d/, 若第一季為春季用f(1)表示，且有f(1)=a；經(jīng)過一個(gè)季節(jié)變化后為夏季，用 f(2) 表示且有f(2)=b;經(jīng)過二個(gè)季節(jié)的變化后為秋季，用f(3)表示且有f(3) =c；經(jīng)過 三個(gè)季節(jié)變化后為冬季用f 表示，且有f(4)=d,若經(jīng)過10個(gè)季節(jié)的變化 后是一季(填 a、b、c、d),求 f(5)= f(4+1)= 一 f(6)= f(4+2)= - f(7)= f(4+

13、3)= _, f(8) =f(4+4)=, ，若x為經(jīng)過的季數(shù)，由以上結(jié)果，是否可以得到f(x+4)=f(x) (x Z)的結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生：用列表法表示自變量 x (經(jīng)過的季數(shù))與季節(jié)f(x)的函數(shù).經(jīng)過的x季節(jié)數(shù)-4-3-2-10123456789101112季節(jié)f(x)cabcdabcdabcdabcd學(xué)習(xí)材料三：周期現(xiàn)象的直觀表示y.如圖，為y=f(x)的圖象，研究函數(shù)圖象 的特征，指出函數(shù)圖象的變化是否具有周期性， 若有，求出它的最小正周期和周期.將函數(shù)f(x)=x2 (x -1,1)的圖象，分別向左、向右平移2, 4, 6,個(gè)單位.作出這個(gè)圖象，觀察你作的圖象，這個(gè)圖象的變化是否具有

14、周期性， 最小正周期是？周期是?分別觀察 i)f(-6)、f(-4)、f(-2)、f(0)、f、f(4)、f(6)的值是否相等?ii)f(-7)、f(-5)、f(-3)、f(-1)、f、f(3)、f(5)、f的值是否相等？iii) f(-7+ 1)、f(-5+ 1)、f(-3+ -) f(-1+ 1)、f(1+-) f(3+1)、f(5+)的值是 TOC o 1-5 h z 2222222否相等？從以上結(jié)論：是否可得出f(x+2)=f(x)的結(jié)論？利用 f(x+2)=f(x)和 f(x)=x2(x -1,1)，求 f(3), f(-4), f(11), f( 5), f(-)234的值.四、正

15、弦、余弦函數(shù)的周期性.為任意角，若 角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(u,v),則sin =, cos =. 在 角的終邊上任取一點(diǎn) Q (x, y)，貝U sin =, cos =.由三角函數(shù)的定義，說明終邊相同的三角函數(shù)值的關(guān)系，即 sin(2k九) 與sin (k Z)的關(guān)系；cos(2k tt)與8$ (k Z)的關(guān)系.若 f(x)=sinx,則 f(2k 冗+x)=( k Z)；若 f(x)= cosx,貝U f(2 k 冗 +x)=( k Z).由正弦、余弦函數(shù)的定義，標(biāo)出 sin 、cos在四個(gè)象限中的取值符號.當(dāng) 自變量x經(jīng)過了多長的變化，y=sinx與y=cosx的正負(fù)符號，會(huì)

16、重復(fù)變化？y=sinx 與y=cosx的函數(shù)值會(huì)重復(fù)變化？至少要經(jīng)過多少(圈)弧度的變化？它們的周期 是多少？最小正周期是多少？用多媒體演示：當(dāng)角的終邊按順時(shí)針或逆時(shí)針變化一圈、二圈、三圈，觀察正弦、余弦函數(shù)值和函數(shù)值的符號變化.五、周期函數(shù)的概念學(xué)生閱讀：周期函數(shù)的定義(課本 P.16).學(xué)生討論：對定義涵意的理解.對函數(shù)符號f(x+T尸f(x)意義的理解.使用的條件.六、反饋練習(xí)：.課本P.16練習(xí)1.設(shè) f(1)=0, f(2)=1, f(3)= -1 ,若 f(x+3)=f(x)( x Z),求 f(9) , f(25) , f(-50) 的值.已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函

17、數(shù)，且f(1) =2005，求f(11).七、小結(jié)與作業(yè)：.你能從哪些角度對周期函數(shù)進(jìn)行理解？日常生活現(xiàn)象；函數(shù)圖象；數(shù)組；周期函數(shù)的定 義：對 于任意 的都有 f(x+T尸f(x), T為常數(shù).函數(shù)模型的建立確定的兩個(gè)量，自變量與函數(shù)值 .如何將不是數(shù)字的問題賦 予數(shù)字意義后，用函數(shù)來研究(用映射的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化)如何將自然與生活生產(chǎn)的 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)來研究？(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)作業(yè):層次一. f(x)是以1為一個(gè)周期的函數(shù)，且當(dāng)x (-1,0)時(shí)，f(x)=2x+1，求f(Z)的值.2 TOC o 1-5 h z .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=

18、 - f(x),則f(6)的值為().A.-1B.0C.1D.2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)以2為周期，則f(1)+ f(2)+ f(3)的值是()A.0B.1C.2D.3層次二(2006山東)已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2) = f(x),求f(4+x)與f(x)的關(guān)系式；f(x)的最小正周期；求f(6)的值為().A. -1B.0C.1D.2.設(shè)函數(shù)f(x) (了七系)是以3為周期的奇函數(shù)，且f(1)1, f(2)= a,則().A.a2B.a1D. a-1.若 f(n)=sin(n Z),貝U f(1)+f (2) +f(102)= 6. (2005天津文)設(shè)f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線工=3對稱，則下面正確的結(jié)論是 ().(A)可力(工5)汽6 5)*3.5) (1.5) 569(C)/(6.5)53加,5)八3.5) /(1.5)層次三建立循環(huán)數(shù)字的周期關(guān)系.一組循環(huán)數(shù)字,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, 0,-1,，若令f(-1)=0 ,f(0)=-1, f(1)=0 , f(2)=1 , f(3)=0 , f(4)=-1 , f(5)=0 , f(6)=1 , f=0 , f(8)= -1, 則