空間兩直線位置關(guān)系

1、關(guān)于空間兩直線的位置關(guān)系第一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月教學(xué)目的1.會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)用圖形語言、符號語言表示三種位置關(guān)系.2.理解公理四,并能運(yùn)用公理四證明線線平行.3掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；4.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角第二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)習(xí)引入：1、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關(guān)系？2、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？(1)、相交：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。(2)、平行：在同一平面內(nèi)沒有公共

2、點(diǎn)?；ハ嗥叫刑岢鰡栴}：空間中的兩條直線呢？第三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月1.空間中兩條直線的位置關(guān)系觀察：觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?觀察上方體的棱所在直線,回答類似的問題.思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個(gè)怎樣的名字才好呢？第四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月異面直線的定義:我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（skewlines）。想一想:怎樣通過圖形來表示異面直線?為了表示異面直線a，b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托。如下圖:第五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年

3、6月想一想,做一做：1.已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC1上的點(diǎn)，那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎？第六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 2. 下圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？想一想,做一做：HGFEDCBA三對AB與CDAB與GHEF與GH3.第七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種平行相交異面位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是否共面沒有只有一個(gè)沒有共面不共面共面空間中兩條直線的位置關(guān)系第八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2.空間兩平行直線提出問題：在同一

4、平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？平行嗎?中,觀察：如圖2.1.2-5,長方體與那么DD AABB AA第九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。abcbac符號表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a, b, c,若想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律?第十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例題示范例1： 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC

5、，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個(gè)平行四邊形只需證EHFG且EHFGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點(diǎn)連結(jié)BD,只需證：EH BD且EH BDFG BD且FG BDAB DEFGHC第十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例題示范例1： 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。AB DEFGHC EH是ABD的中位線 EH BD且EH = BD同理，F(xiàn)G BD且FG = BDEH FG且EH =FGEFGH是一個(gè)平行四邊形證明：連結(jié)BD第十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6

6、月變式一： 在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?EHFGABCD分析： 在例題2的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形第十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月變式二： 空間四面體A-BCD中,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的點(diǎn),且 ，求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析：需要證明四邊形ABCD有一組對邊平行，但不相等。第十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3.等角定理提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?

7、觀察思考：如圖,ADC與ADC、ADC與ABC的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？第十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3.等角定理定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。第十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3.等角定理定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.第十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4.異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，我們把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）

8、叫做異面直線a，b所成的角（或夾角）。為了簡便，點(diǎn)O通常取在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線b上，然后經(jīng)過點(diǎn)O作直線aa，a和b所成的銳角（或直角）就是異面直線a與b所成的角。想一想:a與b所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎?第十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4.異面直線所成的角如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作ab。第十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月5.異面直線的判定定理異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線與 是異面直線第二十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例題示范例2、如圖，已

9、知正方體ABCDABCD中。（1）哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？（2）直線BA和CC的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA垂直？解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線，第二十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例題示范例2、如圖，已知正方體ABCDABCD中。（1）哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？（2）直線BA和CC的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA垂直？解：（2）由 可知， 等于異面直線 與 的夾角,所以異面直線 與 的夾角為450 。 (3) 直線與直線 都垂直.第二十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月【例3】空間四邊形

10、ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小思路分析：要求EF與AB所成的角，可經(jīng)過某一點(diǎn)作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點(diǎn)，故可過E或F作AB的平行線取AC的中點(diǎn)，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個(gè)三角形中求解第二十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解：取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EGAB，GFCD，且由ABCD知EGFG，GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角AB與CD所成的角為30，EGF30或150.第二十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由EGFG

11、知EFG為等腰三角形，當(dāng)EGF30時(shí)，GEF75；當(dāng)EGF150時(shí)，GEF15.故EF與AB所成的角為15或75.第二十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月(1)求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交平移直線的方法有：直接平移，中位線平移，補(bǔ)形平移(2)求異面直線所成角的步驟：作：通過作平行線，得到相交直線；證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；求：通過解三角形，求出該角. 求異面直線的方法第二十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月答案：C 第二

12、十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月【例4】長方形ABCDA1B1C1D1中，AB8，BC6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P，Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PMMQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_創(chuàng)新題型第二十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月答案：24 第三十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月變式遷移4 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線()A不存在 B有且只有兩條C有且只有三條 D有無數(shù)條第三十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問

13、題，考查學(xué)生的空間想象能力在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)的如下圖：答案：D第三十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月1刻畫平面性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，三個(gè)公理是立體幾何作圖的依據(jù)，通過作圖(特別是截面圖)的訓(xùn)練，可加深對公理的掌握與理解其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù)規(guī)律總結(jié)第三十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2注意文字語言、數(shù)學(xué)圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，能夠從集

14、合的角度闡述點(diǎn)、線、面之間的聯(lián)系，證明共點(diǎn)、共線或共面問題常用歸一法，如多線共點(diǎn)問題，先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證其余直線都經(jīng)過這點(diǎn)3異面直線是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，對其定義要理解準(zhǔn)確，有關(guān)異面直線的論證，經(jīng)常要用反證法；異面直線所成的角，常通過平移，使兩異面直線移到同一個(gè)平面的位置上來求第三十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定正確如：“過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直”“同垂直于一條直線的兩條直線平行”等在空間就不正確而有些命題推廣到空間還是正確的，如平行線的傳遞性及關(guān)于兩角相等的定理等所以將空間圖形問題類比平面圖形問題是本章

15、復(fù)習(xí)的重要方法，如(1)公理4是平面內(nèi)平行傳遞性的推廣；(2)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形；(3)從直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，類比聯(lián)想平面與平面的位置關(guān)系；(4)兩個(gè)平面互相垂直與兩條直線互相垂直概念的類比第三十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月練一練,鞏固新知：P48頁練習(xí)1,2題。例3:如圖， 是平面 外的一點(diǎn) 分別是 的重心， 求證： 。 證明：連結(jié) 分別交 于 ,連結(jié) , G,H分別是ABC,ACD的重心,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn), MN/BD,又 GH/MN,由公理4知GH/BD. 第三十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)反饋：1. 判斷:（

16、1）平行于同一直線的兩條直線平行.（ ）（2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（ ）（3）過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.（ ）（4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.（ ）（5）若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等（ ）（6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.（）第三十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)反饋：2選擇題（1）“a，b是異面直線”是指ab=,且a不平行于b；a 平面a，b平面b且ab= a平面a，b平面a不存在平面a，能使aa且ba成立上述結(jié)論中，正確的是（）（A） （B） （C

17、） （D）（2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有（）（A）2對 （B）3對（C）6對（D）12對CC第三十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（）（A）一定是異面直線（B）一定是相交直線（C）可能是平行直線 （D）可能是異面直線，也可能是相交直線（4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是( )（A）平行（B）相交（C）異面（D）相交或異面3兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？答：不一定，還可能異面DD第三十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4.垂直于同一直線的兩條直線,有幾種位置關(guān)系？答：三種：相交，平行，異面5畫兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線第四十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月6選擇題（1）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ）（A）異面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）異面直線a,b滿足aa,bb,ab=l, 則l與a,b的位置關(guān)系一定是（ ）(A)l至多與a，b中的一條相交;(B)l至