生活中的數(shù)學(xué)實例

1、生活中的數(shù)學(xué)實例一、現(xiàn)實的數(shù)學(xué)20世紀(jì)60年代興起的新數(shù)學(xué)”運動，對全球的數(shù)學(xué)教育界產(chǎn)生了巨大影響。根據(jù)結(jié)構(gòu)主義的觀念，數(shù) 學(xué)本身就是一個有組織的、封閉的演繹體系；因而，數(shù)學(xué)教育也就意味著應(yīng)該以體系的結(jié)構(gòu)作為學(xué)習(xí)過程的 指導(dǎo)方針，洞察數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)就成了數(shù)學(xué)教育的最重要的根本； 從而提出了數(shù)學(xué)教育的目的就在于訓(xùn)練學(xué)生的 邏輯演繹思維與公理化方法，必須以集合論與現(xiàn)代公理為基礎(chǔ)，提供給學(xué)生一個完善的演繹理論體系。人們通過數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐，發(fā)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)主義的片面性。根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，無論是數(shù)學(xué)的概念，還是 數(shù)學(xué)的運算與規(guī)則，都是由于現(xiàn)實世界的實際需要而形成的。數(shù)學(xué)不是符號的游戲，而是現(xiàn)實世界中人類經(jīng) 驗的

2、總結(jié)。數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，因而也必須扎根于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實。數(shù)學(xué)如果脫離了那些豐富多彩而又 錯綜復(fù)雜的背景材料，就將成為“無源之水，無本之木”。另一方面，我們也認(rèn)為數(shù)學(xué)是充滿了各種關(guān)系的科學(xué)，通過與不同領(lǐng)域的多種形式的外部聯(lián)系，不斷地 充實和豐富著數(shù)學(xué)的內(nèi)容；與此同時，由于數(shù)學(xué)本身內(nèi)在的聯(lián)系，形成了自身獨特的規(guī)律，進(jìn)而發(fā)展成為嚴(yán) 謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬔堇[體系。因此，也應(yīng)該讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的整個體系一一充滿著各種各樣內(nèi)在聯(lián)系與外部關(guān)系 的整體結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就意味著能夠做數(shù)學(xué)：熟練地運用數(shù)學(xué)的語言去解決問題、探索論據(jù)并尋求證明，而最重要的 活動則應(yīng)該是從給定的具體情境中，識別或提出一個數(shù)學(xué)概念。所以，要想引

3、入一個新概念，卻缺少足夠的 具體事實作為基礎(chǔ)，或者反復(fù)介紹一個概念，卻沒有具體的應(yīng)用，這都無法使學(xué)生產(chǎn)生求知的沖動；過早地 形式化不可能有效果，而過早的抽象化也會引起學(xué)生的抵觸情緒；因為他們希望知道這究竟有什么用處，又 為什么是關(guān)聯(lián)的。從具體情境中提取適當(dāng)?shù)母拍?，從觀察到的實例進(jìn)行概括，再通過歸納、類比，在直覺的基礎(chǔ)上形成猜 想，這是數(shù)學(xué)思維的方式。而要引導(dǎo)個體思維發(fā)展的最好方法，按照發(fā)生認(rèn)識論的原則，就是追溯群體智力 發(fā)展的自然順序，當(dāng)然不必再去重復(fù)錯誤。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容一一為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)一一應(yīng)該是與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實際中得到應(yīng) 用的數(shù)學(xué)，即現(xiàn)實的數(shù)學(xué)。如果過于強調(diào)了數(shù)學(xué)的抽

4、象形式，忽視了生動的具體模型，過于集中于內(nèi)在的 邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實的密切關(guān)系，尤其是將數(shù)學(xué)與其他科學(xué)完全割裂開來，失掉了產(chǎn)生興趣與刺激 動機的最重要的源泉，必然會給數(shù)學(xué)教育帶來極大的損害。二、每個人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實數(shù)學(xué)應(yīng)該是屬于所有人的，我們必須將數(shù)學(xué)教給所有人。這是80年代國際數(shù)學(xué)教育界提出的新口號一一大眾數(shù)學(xué)(Mathematics for All )”,其中包含有兩層意思：一是數(shù)學(xué)教育必須照顧到所有人的需求， 并使每個人都從數(shù)學(xué)教育中盡可能多地得到益處；二是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不同的人可以達(dá)到不同的水平，但 也應(yīng)該存在一個人人都能達(dá)到的水平。實際上，對于少數(shù)數(shù)學(xué)家來說，抽象的形式體系，嚴(yán)密

5、的邏輯結(jié)構(gòu)，以及涉及內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律，也許是 最為本質(zhì)、最為完美也是最感興趣的東西；可是對于大多數(shù)人而言，掌握數(shù)學(xué)與外部世界的密切關(guān)系，從而 獲得適應(yīng)于當(dāng)前社會的生存與生活、并進(jìn)而能夠改革社會促使其進(jìn)一步發(fā)展的能力，將是更為重要的。數(shù)學(xué) 教師有時會產(chǎn)生一種錯覺，似乎他的學(xué)生都將成為未來的數(shù)學(xué)家， 因此努力想以數(shù)學(xué)家的思維模式來培養(yǎng)學(xué) 生?？墒聦崊s是，只有極少數(shù)學(xué)生將來會從事與數(shù)學(xué)關(guān)系密切的工作，因而需要這方面的思維訓(xùn)練與專業(yè)準(zhǔn) 備；對絕大多數(shù)的學(xué)生來說，他們更需要的是與他們未來的工作直接有關(guān)的內(nèi)容，也許更強調(diào)的是數(shù)學(xué)的社 會文化背景，以及數(shù)學(xué)在面對現(xiàn)實情境時所能發(fā)揮的解決問題的實際作用?？墒牵?/p>

6、何理 ？quot;現(xiàn)實？不 同的社會需要是否就是現(xiàn)實？如果將現(xiàn)實”等同于實際的社會生產(chǎn)活動，這是一種片面的理解。據(jù)英國的 考克羅夫特(W.H.Cockcroft )報告，他們在進(jìn)行了廣泛的調(diào)查，分析了一些比較實際的資料之后提出，人 們所需要的數(shù)學(xué)可以分為三種水平：第一種是日常生活的需要。從個人消費、家庭開支到國家處處都要涉及各種數(shù)字、圖表、測量等問題， 這些大多是比較簡單的數(shù)學(xué)知識，但卻是每個人都必須知道的。第二種是不同的技術(shù)或者說是各種職業(yè)的需要。從工程師、農(nóng)業(yè)技師到各行業(yè)的服務(wù)人員，在相當(dāng)廣泛 的不同領(lǐng)域內(nèi)各種不同性質(zhì)工作的人，從各個不同方向，對數(shù)學(xué)知識提出了種種要求，當(dāng)然其中也含有某些

7、共同部分。第三種是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)并從事高水平研究工作的需要，范圍很大，差別也很大。未來的科學(xué)家、企業(yè)家、管理學(xué)等，都需要與各個領(lǐng)域相關(guān)的不同分支的數(shù)學(xué)知識，他們需要共同的基礎(chǔ)及類似的數(shù)學(xué)思想方法，但 卻涉及到千變?nèi)f化的具體內(nèi)容。數(shù)學(xué)教育當(dāng)然應(yīng)該為所有的人服務(wù)，應(yīng)該滿足全社會各種領(lǐng)域的人對數(shù)學(xué)的不同水平的需求。數(shù)學(xué)教育 應(yīng)該為不同的人提供不同的而為每個人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專業(yè)用的數(shù)學(xué)態(tài)勢，使其能順利地處理有關(guān)的各種數(shù)學(xué)問題?？墒牵鯓硬拍苁刮覀?yōu)閷W(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)確實符合上述要面對千變?nèi)f化的不同需求，能適應(yīng)千差萬別的 不同態(tài)勢呢？為此，荷蘭的著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出了一個重要的基本觀點：每個

8、人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以這個客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運算方法、 規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。這就是說，每個人都有自己的一套 “數(shù)學(xué)現(xiàn)實。從這個意義上說，所謂”現(xiàn)實 不一定限于具體的事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)本身，也是 “現(xiàn)實”的一部分，或者可以說，每個人也 都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。大多數(shù)人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實世界可能只限于簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉簡單的函數(shù)和比較復(fù)雜的幾何，至于一個數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)現(xiàn)實可能就要包含希爾伯特(D.Hilbert )空間的算子、拓?fù)鋵W(xué)以及纖維叢等等。弗賴登塔爾所說的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實是客觀現(xiàn)實與人們的數(shù)學(xué)認(rèn)識的統(tǒng)一體，并

9、非先有了一個 理論，然后去 聯(lián)系一下實際”也不僅僅是從具體例子引入，然后做幾個應(yīng)用題就算完事。所謂數(shù)學(xué)現(xiàn)實乃是人們用數(shù)學(xué) 概念、數(shù)學(xué)方法對客觀事物的認(rèn)識的總體，其中既含有客觀世界的現(xiàn)實情況，也包括個人用自己的數(shù)學(xué)水平 觀察這些事物所獲得的認(rèn)識。因此，數(shù)學(xué)現(xiàn)實”強調(diào)的是客觀現(xiàn)實材料和數(shù)學(xué)知識體系兩者密不可分，你中 有我，我中有你，真正地溶為一體。因此，為學(xué)生準(zhǔn)備數(shù)學(xué)的要旨就在于，應(yīng)該確定各類學(xué)生在不同階段所必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實；隨著學(xué)生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，必須了解并掌握學(xué)生所實際擁有？quot;數(shù)學(xué)現(xiàn)實；從而據(jù)此采取相應(yīng)的方法，予以豐富，予以擴(kuò)展，以逐步提高學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的程度

10、并擴(kuò)充其范圍。通過這樣的過程， 數(shù)學(xué)教育將隨著不斷地擴(kuò)展的現(xiàn)實發(fā)展，同時數(shù)學(xué)教育本身又促使了現(xiàn)實的擴(kuò)展，正像數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的辯 證關(guān)系一樣，數(shù)學(xué)教育也應(yīng)該符合這樣的規(guī)律。三、一些具體的例子荷蘭在數(shù)學(xué)教學(xué)研究與數(shù)學(xué)課程設(shè)計中，多年來一直提倡貫徹 現(xiàn)實數(shù)學(xué)的原則，也是在數(shù)學(xué)教育實踐 中滲透現(xiàn)實數(shù)學(xué)原則卓有成效的國家之一。他們甚至提出這樣的要求：如果數(shù)學(xué)的某個分支不存在令人信 服的應(yīng)用，那么這個數(shù)學(xué)分支就不應(yīng)該列入數(shù)學(xué)課程之中。在荷蘭的數(shù)學(xué)課程中，可以找到很多這方面的內(nèi)容，下面這個例子是從商店出售各種不同牌子、不同規(guī) 格的商品所獲得的利潤計算，引進(jìn)矩陣的乘法概念，以及它的運算法則。某牛仔褲商店經(jīng)銷A

11、、R G D E五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍太小分別有 28英寸、30英寸、32英 寸、34英寸四種，在一個星期內(nèi)，該商店的銷售情況可用下列矩陣形式表示：A B C D E13 0 12一5 8 6 12 2 3 5 6 0 0 110 3.假設(shè)不同牌子的每條牛仔褲的平均利潤分別為：A為30元，B為35元，C為40元，D為25元，E為40元,試問28英寸牛仔褲在該星期內(nèi)獲得的總利潤是多少？28英寸牛仔褲的銷售量是：A B C D E(13 0 12)不同牌子的平均利潤是:A3Q354025于是28英寸牛仔褲的總利潤是:= 1X30+ 3X35+ OX40+ 1X25+ 2X40= 240 （元

12、）如果要求各種規(guī)格大小的牛仔褲的總利潤，就自然地得出下列的矩陣乘法:13 0 15 8 6 12 3 5 60 11022033035402540(240128英寸牛仔褲的利潤77551530英寸牛仔褲的利潤32英寸牛仔褲的利潤34英寸牛仔褲的利潤在我國新制訂的義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見稿)中，也可以找到這方面的內(nèi)容:例1 一次水災(zāi)大約有20萬人的生活受到影響，災(zāi)情將持續(xù)一個月。請推斷：大約需要組織多少頂帳篷? 多少噸糧食？要求學(xué)生借助實際問題，學(xué)會對較大的數(shù)字信息作出合理的解釋和推斷。例2如何利用相似測量旗桿的高度？要求學(xué)生通過典型實例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實生活中物體的相似，并利用圖形的

13、相似解決一些實際問題。例3統(tǒng)計某商店一個月內(nèi)幾種商品的銷售情況， 對這個商店的進(jìn)貨提出你的建議。 要求學(xué)生認(rèn)識統(tǒng)計與 概率在社會生活及科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，并能解決一些簡單的實際問題。例4某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下:表1.1表LT里 程收費(7U)5千米以下10.005千米以上，每喈加1千米1.20(1)列表并用圖象表示出租車行駛的里程數(shù)和費用的關(guān)系。(2)出租車行駛的里程分別為4千米和15千米，各收費多少?(3)現(xiàn)在有30元錢，可乘出租車的最大里程數(shù)為多少？（這一活動以實際生活經(jīng)驗為背景，要求學(xué)主從表格中讀取信息，并將這種信息轉(zhuǎn)換為圖形，在此基礎(chǔ)上利用兩種不同的數(shù)學(xué)表示方式解決問題）例5 一個由父親

14、、母親、叔叔和x個孩子組成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收費標(biāo)準(zhǔn)是：如果買 4張 全票，則其余按半價優(yōu)惠；乙旅行社的收費標(biāo)準(zhǔn)是：家庭旅游算團(tuán)體票，按原價的3/4優(yōu)惠。這兩家旅行社的原價均為每人100元。試比較隨著孩子人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費額更優(yōu)惠？要求學(xué)生運用多種數(shù)學(xué) 知識與方法解決問題，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造和探索能力。最近見到澳大利亞數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（高中），其中也同樣明確地指出，數(shù)學(xué)的各個方面無論對個人還是對群體 都是相當(dāng)有用的，它在人們的生活和工作中都是十分重要的工具。居家購物時，要數(shù)數(shù)、測量并完成簡單的計算；看地圖或房屋平面圖、判斷房屋裝修需要多少油漆時， 要運用估計、測量和空間想象技能；

15、概率和統(tǒng)計推斷的基本知識幫助我們理解天氣報道和經(jīng)濟(jì)指數(shù)，在選擇 貸款償還計劃或保險計劃的過程中分析利益和風(fēng)險等等。具體例子如：模擬學(xué)生離校后即將面臨的金融經(jīng)歷（包括收入、稅收、預(yù)算等）。調(diào)查運營一輛小汽車的費用，包括保險金、注冊費、運行費用和維修費，并將估計的金額與有關(guān)機構(gòu) 公布的金額相比較。給定一系列包括特性介紹的說明書，由學(xué)生分組討論在限制水量供應(yīng)的情況下， 如何為住宅選擇合適 的水槽、浴缸、淋浴器的蓮蓬式噴嘴。為學(xué)校和家庭花園設(shè)計最佳灑水系統(tǒng)。建立一個模型用以描述自變量和因變量之間的線性關(guān)系，例如，牧草產(chǎn)量和肥料用量、脈搏頻率和運 動量、手頭現(xiàn)金與每周已過天數(shù)。先畫出散布圖，然后用肉眼估

16、計最佳擬合直線，并用來估計回歸系 數(shù)?？疾鞂W(xué)生學(xué)習(xí)時間和考試成績之間的關(guān)系（或日常氣溫與緯度的關(guān)系），并討論導(dǎo)致兩者關(guān)系不甚密切的因素，以及如何改變模型使之能充分考慮上述因素的作用并提供更好的預(yù)測關(guān)系。畫出某河流流域的平面尺寸圖，標(biāo)明流入河流的支流數(shù)，已知流域每一部分的不同水流特點，計算河 道所覆蓋的土地的總面積，并計算該流域的河水的總體積。研究放射學(xué)家如何運用二維X光片評價三維身體部分的狀況，如股關(guān)節(jié)。實際進(jìn)行一次徒步旅行或在地圖上模擬一次旅行，每到一站會提供下一站的方位。先用恰當(dāng)?shù)膬x器測量出給定土地的面積，然后求出將該地圍上圍墻所需的費用。用電子制表軟件對描述單利和復(fù)利的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行比較。計算現(xiàn)有購買力以發(fā)放退休金和生活保險金。利用報紙中登載的彩票抽獎的有關(guān)表格信息， 確定所抽取的數(shù)字是否是隨機的，即這些數(shù)據(jù)是否服從 均勻概率分布模型?？疾旖y(tǒng)計在眾多研究領(lǐng)域，如環(huán)境、健康、體育和法醫(yī)學(xué)中