生活中的數(shù)學(xué)實(shí)例

1、生活中的數(shù)學(xué)實(shí)例一、現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)20世紀(jì)60年代興起的新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)，對(duì)全球的數(shù)學(xué)教育界產(chǎn)生了巨大影響。根據(jù)結(jié)構(gòu)主義的觀念，數(shù) 學(xué)本身就是一個(gè)有組織的、封閉的演繹體系；因而，數(shù)學(xué)教育也就意味著應(yīng)該以體系的結(jié)構(gòu)作為學(xué)習(xí)過(guò)程的 指導(dǎo)方針，洞察數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)就成了數(shù)學(xué)教育的最重要的根本； 從而提出了數(shù)學(xué)教育的目的就在于訓(xùn)練學(xué)生的 邏輯演繹思維與公理化方法，必須以集合論與現(xiàn)代公理為基礎(chǔ)，提供給學(xué)生一個(gè)完善的演繹理論體系。人們通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)主義的片面性。根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，無(wú)論是數(shù)學(xué)的概念，還是 數(shù)學(xué)的運(yùn)算與規(guī)則，都是由于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要而形成的。數(shù)學(xué)不是符號(hào)的游戲，而是現(xiàn)實(shí)世界中人類經(jīng) 驗(yàn)的

2、總結(jié)。數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，因而也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)如果脫離了那些豐富多彩而又 錯(cuò)綜復(fù)雜的背景材料，就將成為“無(wú)源之水，無(wú)本之木”。另一方面，我們也認(rèn)為數(shù)學(xué)是充滿了各種關(guān)系的科學(xué)，通過(guò)與不同領(lǐng)域的多種形式的外部聯(lián)系，不斷地 充實(shí)和豐富著數(shù)學(xué)的內(nèi)容；與此同時(shí)，由于數(shù)學(xué)本身內(nèi)在的聯(lián)系，形成了自身獨(dú)特的規(guī)律，進(jìn)而發(fā)展成為嚴(yán) 謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬔堇[體系。因此，也應(yīng)該讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的整個(gè)體系一一充滿著各種各樣內(nèi)在聯(lián)系與外部關(guān)系 的整體結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就意味著能夠做數(shù)學(xué)：熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去解決問(wèn)題、探索論據(jù)并尋求證明，而最重要的 活動(dòng)則應(yīng)該是從給定的具體情境中，識(shí)別或提出一個(gè)數(shù)學(xué)概念。所以，要想引

3、入一個(gè)新概念，卻缺少足夠的 具體事實(shí)作為基礎(chǔ)，或者反復(fù)介紹一個(gè)概念，卻沒(méi)有具體的應(yīng)用，這都無(wú)法使學(xué)生產(chǎn)生求知的沖動(dòng)；過(guò)早地 形式化不可能有效果，而過(guò)早的抽象化也會(huì)引起學(xué)生的抵觸情緒；因?yàn)樗麄兿Ｍ肋@究竟有什么用處，又 為什么是關(guān)聯(lián)的。從具體情境中提取適當(dāng)?shù)母拍?，從觀察到的實(shí)例進(jìn)行概括，再通過(guò)歸納、類比，在直覺(jué)的基礎(chǔ)上形成猜 想，這是數(shù)學(xué)思維的方式。而要引導(dǎo)個(gè)體思維發(fā)展的最好方法，按照發(fā)生認(rèn)識(shí)論的原則，就是追溯群體智力 發(fā)展的自然順序，當(dāng)然不必再去重復(fù)錯(cuò)誤。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容一一為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)一一應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實(shí)際中得到應(yīng) 用的數(shù)學(xué)，即現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)。如果過(guò)于強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽

4、象形式，忽視了生動(dòng)的具體模型，過(guò)于集中于內(nèi)在的 邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實(shí)的密切關(guān)系，尤其是將數(shù)學(xué)與其他科學(xué)完全割裂開(kāi)來(lái)，失掉了產(chǎn)生興趣與刺激 動(dòng)機(jī)的最重要的源泉，必然會(huì)給數(shù)學(xué)教育帶來(lái)極大的損害。二、每個(gè)人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)該是屬于所有人的，我們必須將數(shù)學(xué)教給所有人。這是80年代國(guó)際數(shù)學(xué)教育界提出的新口號(hào)一一大眾數(shù)學(xué)(Mathematics for All )”,其中包含有兩層意思：一是數(shù)學(xué)教育必須照顧到所有人的需求， 并使每個(gè)人都從數(shù)學(xué)教育中盡可能多地得到益處；二是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不同的人可以達(dá)到不同的水平，但 也應(yīng)該存在一個(gè)人人都能達(dá)到的水平。實(shí)際上，對(duì)于少數(shù)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，抽象的形式體系，嚴(yán)密

5、的邏輯結(jié)構(gòu)，以及涉及內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律，也許是 最為本質(zhì)、最為完美也是最感興趣的東西；可是對(duì)于大多數(shù)人而言，掌握數(shù)學(xué)與外部世界的密切關(guān)系，從而 獲得適應(yīng)于當(dāng)前社會(huì)的生存與生活、并進(jìn)而能夠改革社會(huì)促使其進(jìn)一步發(fā)展的能力，將是更為重要的。數(shù)學(xué) 教師有時(shí)會(huì)產(chǎn)生一種錯(cuò)覺(jué)，似乎他的學(xué)生都將成為未來(lái)的數(shù)學(xué)家， 因此努力想以數(shù)學(xué)家的思維模式來(lái)培養(yǎng)學(xué) 生?？墒聦?shí)卻是，只有極少數(shù)學(xué)生將來(lái)會(huì)從事與數(shù)學(xué)關(guān)系密切的工作，因而需要這方面的思維訓(xùn)練與專業(yè)準(zhǔn) 備；對(duì)絕大多數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們更需要的是與他們未來(lái)的工作直接有關(guān)的內(nèi)容，也許更強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)的社 會(huì)文化背景，以及數(shù)學(xué)在面對(duì)現(xiàn)實(shí)情境時(shí)所能發(fā)揮的解決問(wèn)題的實(shí)際作用?？墒?，如

6、何理 ？quot;現(xiàn)實(shí)？不 同的社會(huì)需要是否就是現(xiàn)實(shí)？如果將現(xiàn)實(shí)”等同于實(shí)際的社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)，這是一種片面的理解。據(jù)英國(guó)的 考克羅夫特(W.H.Cockcroft )報(bào)告，他們?cè)谶M(jìn)行了廣泛的調(diào)查，分析了一些比較實(shí)際的資料之后提出，人 們所需要的數(shù)學(xué)可以分為三種水平：第一種是日常生活的需要。從個(gè)人消費(fèi)、家庭開(kāi)支到國(guó)家處處都要涉及各種數(shù)字、圖表、測(cè)量等問(wèn)題， 這些大多是比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，但卻是每個(gè)人都必須知道的。第二種是不同的技術(shù)或者說(shuō)是各種職業(yè)的需要。從工程師、農(nóng)業(yè)技師到各行業(yè)的服務(wù)人員，在相當(dāng)廣泛 的不同領(lǐng)域內(nèi)各種不同性質(zhì)工作的人，從各個(gè)不同方向，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)提出了種種要求，當(dāng)然其中也含有某些

7、共同部分。第三種是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)并從事高水平研究工作的需要，范圍很大，差別也很大。未來(lái)的科學(xué)家、企業(yè)家、管理學(xué)等，都需要與各個(gè)領(lǐng)域相關(guān)的不同分支的數(shù)學(xué)知識(shí)，他們需要共同的基礎(chǔ)及類似的數(shù)學(xué)思想方法，但 卻涉及到千變?nèi)f化的具體內(nèi)容。數(shù)學(xué)教育當(dāng)然應(yīng)該為所有的人服務(wù)，應(yīng)該滿足全社會(huì)各種領(lǐng)域的人對(duì)數(shù)學(xué)的不同水平的需求。數(shù)學(xué)教育 應(yīng)該為不同的人提供不同的而為每個(gè)人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專業(yè)用的數(shù)學(xué)態(tài)勢(shì)，使其能順利地處理有關(guān)的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題?？墒?，怎樣才能使我們?yōu)閷W(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)確實(shí)符合上述要面對(duì)千變?nèi)f化的不同需求，能適應(yīng)千差萬(wàn)別的 不同態(tài)勢(shì)呢？為此，荷蘭的著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出了一個(gè)重要的基本觀點(diǎn)：每個(gè)

8、人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運(yùn)算方法、 規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。這就是說(shuō)，每個(gè)人都有自己的一套 “數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。從這個(gè)意義上說(shuō)，所謂”現(xiàn)實(shí) 不一定限于具體的事物，作為屬于這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)本身，也是 “現(xiàn)實(shí)”的一部分，或者可以說(shuō)，每個(gè)人也 都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。大多數(shù)人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)世界可能只限于簡(jiǎn)單的幾何形狀以及它們的運(yùn)算，另一些人可能需要熟悉簡(jiǎn)單的函數(shù)和比較復(fù)雜的幾何，至于一個(gè)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)可能就要包含希爾伯特(D.Hilbert )空間的算子、拓?fù)鋵W(xué)以及纖維叢等等。弗賴登塔爾所說(shuō)的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是客觀現(xiàn)實(shí)與人們的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的統(tǒng)一體，并

9、非先有了一個(gè) 理論，然后去 聯(lián)系一下實(shí)際”也不僅僅是從具體例子引入，然后做幾個(gè)應(yīng)用題就算完事。所謂數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)乃是人們用數(shù)學(xué) 概念、數(shù)學(xué)方法對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)的總體，其中既含有客觀世界的現(xiàn)實(shí)情況，也包括個(gè)人用自己的數(shù)學(xué)水平 觀察這些事物所獲得的認(rèn)識(shí)。因此，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”強(qiáng)調(diào)的是客觀現(xiàn)實(shí)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)體系兩者密不可分，你中 有我，我中有你，真正地溶為一體。因此，為學(xué)生準(zhǔn)備數(shù)學(xué)的要旨就在于，應(yīng)該確定各類學(xué)生在不同階段所必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；隨著學(xué)生們所接觸的客觀世界越來(lái)越廣泛，必須了解并掌握學(xué)生所實(shí)際擁有？quot;數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；從而據(jù)此采取相應(yīng)的方法，予以豐富，予以擴(kuò)展，以逐步提高學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的程度

10、并擴(kuò)充其范圍。通過(guò)這樣的過(guò)程， 數(shù)學(xué)教育將隨著不斷地?cái)U(kuò)展的現(xiàn)實(shí)發(fā)展，同時(shí)數(shù)學(xué)教育本身又促使了現(xiàn)實(shí)的擴(kuò)展，正像數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的辯 證關(guān)系一樣，數(shù)學(xué)教育也應(yīng)該符合這樣的規(guī)律。三、一些具體的例子荷蘭在數(shù)學(xué)教學(xué)研究與數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中，多年來(lái)一直提倡貫徹 現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的原則，也是在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐 中滲透現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)原則卓有成效的國(guó)家之一。他們甚至提出這樣的要求：如果數(shù)學(xué)的某個(gè)分支不存在令人信 服的應(yīng)用，那么這個(gè)數(shù)學(xué)分支就不應(yīng)該列入數(shù)學(xué)課程之中。在荷蘭的數(shù)學(xué)課程中，可以找到很多這方面的內(nèi)容，下面這個(gè)例子是從商店出售各種不同牌子、不同規(guī) 格的商品所獲得的利潤(rùn)計(jì)算，引進(jìn)矩陣的乘法概念，以及它的運(yùn)算法則。某牛仔褲商店經(jīng)銷A

11、、R G D E五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍太小分別有 28英寸、30英寸、32英 寸、34英寸四種，在一個(gè)星期內(nèi)，該商店的銷售情況可用下列矩陣形式表示：A B C D E13 0 12一5 8 6 12 2 3 5 6 0 0 110 3.假設(shè)不同牌子的每條牛仔褲的平均利潤(rùn)分別為：A為30元，B為35元，C為40元，D為25元，E為40元,試問(wèn)28英寸牛仔褲在該星期內(nèi)獲得的總利潤(rùn)是多少？28英寸牛仔褲的銷售量是：A B C D E(13 0 12)不同牌子的平均利潤(rùn)是:A3Q354025于是28英寸牛仔褲的總利潤(rùn)是:= 1X30+ 3X35+ OX40+ 1X25+ 2X40= 240 （元

12、）如果要求各種規(guī)格大小的牛仔褲的總利潤(rùn)，就自然地得出下列的矩陣乘法:13 0 15 8 6 12 3 5 60 11022033035402540(240128英寸牛仔褲的利潤(rùn)77551530英寸牛仔褲的利潤(rùn)32英寸牛仔褲的利潤(rùn)34英寸牛仔褲的利潤(rùn)在我國(guó)新制訂的義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見(jiàn)稿)中，也可以找到這方面的內(nèi)容:例1 一次水災(zāi)大約有20萬(wàn)人的生活受到影響，災(zāi)情將持續(xù)一個(gè)月。請(qǐng)推斷：大約需要組織多少頂帳篷? 多少噸糧食？要求學(xué)生借助實(shí)際問(wèn)題，學(xué)會(huì)對(duì)較大的數(shù)字信息作出合理的解釋和推斷。例2如何利用相似測(cè)量旗桿的高度？要求學(xué)生通過(guò)典型實(shí)例觀察和認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，并利用圖形的

13、相似解決一些實(shí)際問(wèn)題。例3統(tǒng)計(jì)某商店一個(gè)月內(nèi)幾種商品的銷售情況， 對(duì)這個(gè)商店的進(jìn)貨提出你的建議。 要求學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)與 概率在社會(huì)生活及科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。例4某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:表1.1表LT里 程收費(fèi)(7U)5千米以下10.005千米以上，每喈加1千米1.20(1)列表并用圖象表示出租車行駛的里程數(shù)和費(fèi)用的關(guān)系。(2)出租車行駛的里程分別為4千米和15千米，各收費(fèi)多少?(3)現(xiàn)在有30元錢，可乘出租車的最大里程數(shù)為多少？（這一活動(dòng)以實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)為背景，要求學(xué)主從表格中讀取信息，并將這種信息轉(zhuǎn)換為圖形，在此基礎(chǔ)上利用兩種不同的數(shù)學(xué)表示方式解決問(wèn)題）例5 一個(gè)由父親

14、、母親、叔叔和x個(gè)孩子組成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：如果買 4張 全票，則其余按半價(jià)優(yōu)惠；乙旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：家庭旅游算團(tuán)體票，按原價(jià)的3/4優(yōu)惠。這兩家旅行社的原價(jià)均為每人100元。試比較隨著孩子人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費(fèi)額更優(yōu)惠？要求學(xué)生運(yùn)用多種數(shù)學(xué) 知識(shí)與方法解決問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造和探索能力。最近見(jiàn)到澳大利亞數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（高中），其中也同樣明確地指出，數(shù)學(xué)的各個(gè)方面無(wú)論對(duì)個(gè)人還是對(duì)群體 都是相當(dāng)有用的，它在人們的生活和工作中都是十分重要的工具。居家購(gòu)物時(shí)，要數(shù)數(shù)、測(cè)量并完成簡(jiǎn)單的計(jì)算；看地圖或房屋平面圖、判斷房屋裝修需要多少油漆時(shí)， 要運(yùn)用估計(jì)、測(cè)量和空間想象技能；

15、概率和統(tǒng)計(jì)推斷的基本知識(shí)幫助我們理解天氣報(bào)道和經(jīng)濟(jì)指數(shù)，在選擇 貸款償還計(jì)劃或保險(xiǎn)計(jì)劃的過(guò)程中分析利益和風(fēng)險(xiǎn)等等。具體例子如：模擬學(xué)生離校后即將面臨的金融經(jīng)歷（包括收入、稅收、預(yù)算等）。調(diào)查運(yùn)營(yíng)一輛小汽車的費(fèi)用，包括保險(xiǎn)金、注冊(cè)費(fèi)、運(yùn)行費(fèi)用和維修費(fèi)，并將估計(jì)的金額與有關(guān)機(jī)構(gòu) 公布的金額相比較。給定一系列包括特性介紹的說(shuō)明書，由學(xué)生分組討論在限制水量供應(yīng)的情況下， 如何為住宅選擇合適 的水槽、浴缸、淋浴器的蓮蓬式噴嘴。為學(xué)校和家庭花園設(shè)計(jì)最佳灑水系統(tǒng)。建立一個(gè)模型用以描述自變量和因變量之間的線性關(guān)系，例如，牧草產(chǎn)量和肥料用量、脈搏頻率和運(yùn) 動(dòng)量、手頭現(xiàn)金與每周已過(guò)天數(shù)。先畫出散布圖，然后用肉眼估

16、計(jì)最佳擬合直線，并用來(lái)估計(jì)回歸系 數(shù)。考察學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間和考試成績(jī)之間的關(guān)系（或日常氣溫與緯度的關(guān)系），并討論導(dǎo)致兩者關(guān)系不甚密切的因素，以及如何改變模型使之能充分考慮上述因素的作用并提供更好的預(yù)測(cè)關(guān)系。畫出某河流流域的平面尺寸圖，標(biāo)明流入河流的支流數(shù)，已知流域每一部分的不同水流特點(diǎn)，計(jì)算河 道所覆蓋的土地的總面積，并計(jì)算該流域的河水的總體積。研究放射學(xué)家如何運(yùn)用二維X光片評(píng)價(jià)三維身體部分的狀況，如股關(guān)節(jié)。實(shí)際進(jìn)行一次徒步旅行或在地圖上模擬一次旅行，每到一站會(huì)提供下一站的方位。先用恰當(dāng)?shù)膬x器測(cè)量出給定土地的面積，然后求出將該地圍上圍墻所需的費(fèi)用。用電子制表軟件對(duì)描述單利和復(fù)利的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行比較。計(jì)算現(xiàn)有購(gòu)買力以發(fā)放退休金和生活保險(xiǎn)金。利用報(bào)紙中登載的彩票抽獎(jiǎng)的有關(guān)表格信息， 確定所抽取的數(shù)字是否是隨機(jī)的，即這些數(shù)據(jù)是否服從 均勻概率分布模型?？疾旖y(tǒng)計(jì)在眾多研究領(lǐng)域，如環(huán)境、健康、體育和法醫(yī)學(xué)中