高考總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-第12章　概率課時(shí)規(guī)范練64　離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、課時(shí)規(guī)范練64離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)鞏固組1.某人進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn),若實(shí)驗(yàn)成功,則停止實(shí)驗(yàn),若實(shí)驗(yàn)失敗,再重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn),若實(shí)驗(yàn)3次均失敗,則放棄實(shí)驗(yàn),若此人每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為23,則此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是()A.43B.139C.53D.137答案:B解析:由題意可得=1,2,3,每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為23,則失敗的概率為13,P(=1)=23,P(=2)=1323=29,P(=3)=1313=19,則實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列如下123P232919所以此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是E=123+229+319=139.故選B.2.(2021湖北武漢二中期末,5)隨機(jī)變量X的分布列如表,若EX=2,則D

2、X=()X124P12abA.65B.43C.54D.32答案:D解析:由分布列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)期望公式可得EX=12+2a+4b=2,a+b=12,解得a=b=14,所以DX=12(1-2)2+14(2-2)2+14(4-2)2=32.故選D.3.已知5臺(tái)機(jī)器中有2臺(tái)存在故障,現(xiàn)需要通過逐臺(tái)檢測直至區(qū)分出2臺(tái)故障機(jī)器為止.若檢測一臺(tái)機(jī)器的費(fèi)用為1 000元,則所需檢測費(fèi)的均值為()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 600答案:C解析:設(shè)檢測的機(jī)器的臺(tái)數(shù)為X,則X的所有可能取值為2,3,4.P(X=2)=A22A52=110,P(X=3)=C21C31A22+A33A53=310

3、,P(X=4)=C21C32A33C21A54=35,所以EX=2110+3310+435=3.5,所以所需的檢測費(fèi)用的均值為1 0003.5=3 500.4.(2021浙江湖州期末)一個(gè)口袋中有7個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的球,其中紅球3個(gè)、黃球2個(gè)、綠球2個(gè).現(xiàn)從該口袋中任取3個(gè)球,設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為,則E=.答案:97解析:依題意,設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為,則=0,1,2,3,而口袋中有紅球3個(gè)、其他球4個(gè),故P(=0)=C43C73=435,P(=1)=C31C42C73=1835,P(=2)=C32C41C73=1235,P(=3)=C33C73=135,故E=0435+11835+21235+

4、3135=4535=97.5.已知隨機(jī)變量XB(n,p),若EX=3,DX=2,則p=,P(X=1)=.答案:132562 187解析:因?yàn)殡S機(jī)變量XB(n,p),EX=3,DX=2,所以np=3,np(1-p)=2,解得p=13,n=9,即隨機(jī)變量XB9,13.P(X=1)=C9113238=2562 187.6.某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29;項(xiàng)目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%

5、,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和115.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由.解:若按“項(xiàng)目一”投資,設(shè)獲利為X1萬元,則X1的分布列為X1300-150P7929EX1=30079+(-150)29=200.若按“項(xiàng)目二”投資,設(shè)獲利為X2萬元,則X2的分布列為X2500-3000P3513115EX2=50035+(-300)13+0115=200.DX1=(300-200)279+(-150-200)229=35 000,DX2=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140 0

6、00.EX1=EX2,DX1DX2,故項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利的數(shù)學(xué)期望相等,但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.則建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.綜合提升組7.(2021浙江三模)已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X1)=23,P(X=3)=16,若X的數(shù)學(xué)期望EX=54,則D(4X-3)=()A.19B.16C.194D.74答案:A解析:由題知P(X=0)=13,設(shè)P(X=1)=a,則P(X=2)=12-a,因此EX=013+1a+212-a+316=54,解得a=14,因此離散型隨機(jī)變量X的分布列如下X0123P13141416則DX=13(0-54)2+14(1-54)2+14(2-54

7、)2+16(3-54)2=1916,因此D(4X-3)=16DX=19.故選A.8.(2021浙江二模)已知0k1,0 xk)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),2=200(9030-5030)214060120803.5712.706,有90%的把握判定A市能否正確進(jìn)行垃圾分類與年齡有關(guān).(2)由題意可得XB3,14,P(X=k)=C3k14k1-143-k,k=0,1,2,3,P(X=0)=2764,P(X=1)=2764,P(X=2)=964,P(X=3)=164.可得隨機(jī)變量X的分布列為X0123P27642764964164均值EX=

8、314=34.11.(2021山西運(yùn)城考前適應(yīng))某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線:有A,B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.01,0.05.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為16萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線:有a,b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.02.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增

9、加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.(1)若選擇生產(chǎn)線,求生產(chǎn)成本恰好為20萬元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會(huì)給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請(qǐng)說明理由.解:(1)若選擇生產(chǎn)線,生產(chǎn)成本恰好為20萬元,即a工序不出現(xiàn)故障b工序出現(xiàn)故障,故生產(chǎn)成本恰好為20萬元的概率為(1-0.04)0.02=0.019 2.(2)若選擇生產(chǎn)線,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為萬元,則的可能取值為0,2,3,5.P(=0)=(1-0.01)(1-0.05)=0.940 5,P(=2)=0.01(1-0.05)=0.009 5,P(=3)=(1-0.01)0.05=0.049 5,P(=5)=0

10、.010.05=0.000 5.所以E=00.940 5+20.009 5+30.049 5+50.000 5=0.17,故選生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值為16+0.17=16.17(萬元).若選生產(chǎn)線,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為萬元,則的可能取值為0,8,5,13.P(=0)=(1-0.04)(1-0.02)=0.940 8,P(=8)=0.04(1-0.02)=0.039 2,P(=5)=(1-0.04)0.02=0.019 2,P(=13)=0.040.02=0.000 8.所以E=00.940 8+80.039 2+50.019 2+130.000 8=0.42,故選生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值為15+0

11、.42=15.42(萬元).故應(yīng)選生產(chǎn)線.創(chuàng)新應(yīng)用組12.(2021江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)某地發(fā)現(xiàn)6名疑似病人中有1人感染病毒,需要通過血清檢測確定該感染人員,血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員,呈陰性表示沒感染.擬采用兩種方案檢測:方案甲:將這6名疑似病人血清逐個(gè)檢測,直到能確定感染人員為止.方案乙:將這6名疑似病人隨機(jī)分成2組,每組3人.先將其中一組的血清混在一起檢測,若結(jié)果為陽性,則表示感染人員在該組中,然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測,直到能確定感染人員為止;若結(jié)果為陰性,則對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測,直到能確定感染人員為止.(1)求這兩種方案檢測次數(shù)相同的概率;(2)如果每次檢測的費(fèi)用相同,請(qǐng)預(yù)測哪種方案檢測總費(fèi)用較少?并說明理由.解:(1)由題意可設(shè)甲方案檢測的次數(shù)是X,則X的可能取值為1,2,3,4,5,記乙方案檢測的次數(shù)是Y,則Y的可能取值為2,3,方案甲與方案乙相互獨(dú)立,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13,P(Y=2)=13,P(Y=3)=1-P(Y=2)=23,用D表示事件“方案甲所需檢測的次數(shù)等于方案乙所需檢測的次數(shù)”,則P(D)=P(X=2,Y