高考總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-第7章　不等式、推理與證明課時規(guī)范練36　綜合法、分析法、反證法

1、課時規(guī)范練36綜合法、分析法、反證法1.用合適的方法證明:(1)已知a,b都是正數(shù),求證:a5+b5a2b3+a3b2.(2)已知a是整數(shù),a2是偶數(shù),求證:a也是偶數(shù).證明:(1)綜合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因為a,b都是正數(shù),所以上式非負(fù),所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)0,所以a5+b5a2b3+a3b2.(2)反證法:假設(shè)a不是偶數(shù),即a是奇數(shù),不妨設(shè)a=2n+1(nZ),則a2=4n2+4n

2、+1.因為4(n2+n)是偶數(shù),所以4n2+4n+1是奇數(shù),這與已知a2是偶數(shù)矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶數(shù).2.(2021上海松江實驗高級中學(xué)月考)(1)證明:|x-3|-|x-5|-2,對所有實數(shù)x均成立,并求等號成立時x的取值范圍.(2)求證:6是無理數(shù).證明:(1)對于不等式|x-3|-|x-5|-2,當(dāng)x3時,左邊=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.當(dāng)3x-2,不等式成立.當(dāng)x5時,左邊=x-3-(x-5)=2-2.所以|x-3|-|x-5|-2,對所有實數(shù)x均成立,等號成立時x(-,3.(2)假設(shè)6是有理數(shù),則6=mn,其中m,n是互質(zhì)的整數(shù),則m=6n,兩邊平方得m2=6

3、n,所以m為偶數(shù),設(shè)m=2k,kZ,則4k2=6n,2k2=3n,所以n為偶數(shù),與“m,n是互質(zhì)的整數(shù)”矛盾,所以假設(shè)不成立.所以6是無理數(shù).3.(2021青海海東模擬)(1)用分析法證明:若x1,則3x2+1x23x+1x3x+1x.(2)用反證法證明:若a0)無零點.證明:(1)因為x1,所以要證3x2+1x23x+1x,只需證3x4+13x3+x,即證3x3(x-1)x-1,所以只需證3x31.因為x1,所以3x331,故3x2+1x23x+1x得證.令t=x1,則3x+1x3x+1x等價于3t2+1t23t+1t,又因為已證明3x2+1x23x+1x,所以3t2+1t23t+1t.故3

4、x2+1x23x+1x3x+1x.(2)假設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-4ex(x0)有零點,則方程f(x)=0在(0,+)上有解,即a=4exx2在(0,+)上有解.設(shè)g(x)=4exx2(x0),g(x)=4ex(x-2)x3(x0),當(dāng)0 x2時,g(x)2時,g(x)0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因為ae2,所以a=4exx2在(0,+)上無解,顯然矛盾,故假設(shè)不成立,即原命題得證.4.(2021安徽黃山模擬)列三角形數(shù)表假設(shè)第n行的第二個數(shù)為an(n2,nN+).(1)歸納出an+1與an的關(guān)系式并求出an的通項公式;(2)求證:數(shù)列an(n2,nN+)中任意的連續(xù)三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列.(1)解:由三角形數(shù)表可知a2=2,an+1=an+n(n2,nN+),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+2+2=(n-2)(n-1+2)2+2=n2-n+22(n3).又a2=2也滿足上式,an=n2-n+22(n2,nN+).(2)證明:(反證法)假設(shè)an中存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列,可設(shè)an-1,an,an+1(n3,nN+)成等差數(shù)列,則2an=an-1+an+1,即2n2-n+22=(n-1)2-(n-1