人教A版2019高中數(shù)學(xué)選修1 專題3 圓錐曲線的方程 A卷

1、人教A版2019高中數(shù)學(xué)選修1 專題3 圓錐曲線的方程 A卷已知橢圓 x225+y216=1 上的點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 7，則 P 到另一焦點(diǎn)的距離為 A2B3C5D7雙曲線 x29y24=1 的實(shí)軸長(zhǎng)為 A 9 B 6 C 25 D 4 已知拋物線 y=ax2 的焦點(diǎn)為 0,14，則 a 的值為 A 12 B 1 C 1 D 2 已知雙曲線 x2a2y29=1 的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 x+2y=5 上，則雙曲線的漸近線方程為 A y=34x B y=43x C y=223x D y=324x 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，過(guò) F2 作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P，若 F1PF2 為

2、等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 A 22 B 212 C 22 D 21 拋物線 y2=2pxp0 的焦點(diǎn)為 F，其準(zhǔn)線與雙曲線 x24y22=1 的漸近線相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 ABF 的周長(zhǎng)為 42，則 p= A 2 B 22 C 8 D 4 已知雙曲線 x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，圓 x2+y2=a2+b2 與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為 A，B，四邊形 AF2BF1 的周長(zhǎng) p 與面積 S 之間滿足 p=42S，則該雙曲線的離心率為 A 3 B 2 C 62 D 233 已知雙曲線 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦點(diǎn)分別為

3、 F1，F(xiàn)2，過(guò) F2 作平行于 C 的漸近線的直線交 C 于點(diǎn) P，若 PF1PF2，則 C 的離心率為 A 2 B 3 C 2 D 5 已知曲線 C:mx2+ny2=1，則下列說(shuō)法正確的是 A若 mn0，則 C 是橢圓，其焦點(diǎn)在 y 軸上B若 mn0，則 C 是橢圓，其焦點(diǎn)在 x 軸上C若 m=n0，則 C 是圓，其半徑為 n D若 m=0，n0，則 C 是兩條直線已知圓錐曲線 C:mx2+4y2=1 的離心率為 22，則實(shí)數(shù) m 可以為 A 2 B 83 C 6 D 8 已知圓 C1:x2+2cx+y2=0，圓 C2:x22cx+y2=0，c0，橢圓 C:x2a2+y2b2=1ab0，且

4、 c2=a2b2若圓 C1，C2 都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值可以是 A 13 B 12 C 22 D 32 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 在左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2 的雙曲線 C:x2y23=1 上，下列結(jié)論正確的是 A雙曲線 C 的離心率為 2 B當(dāng) P 在雙曲線左支上時(shí)，PF1PF22 的最大值為 14 C點(diǎn) P 到兩漸近線距離之積為定值D雙曲線 C 的漸近線方程為 y=33x 雙曲線 5x24y2=20 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，離心率為 過(guò)雙曲線 x2a2y2b2=1a0,b0 的右焦點(diǎn) F1,0 作 x 軸的垂線與雙曲線交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 AOB 的面積為 83，則雙曲線的漸近線方

5、程為 “蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A若橢圓 C:x2a+1+y2a=1a0 的離心率為 12，則橢圓 C 的蒙日?qǐng)A方程為 已知拋物線 y2=2pxp0，直線 l 過(guò)焦點(diǎn) F 且與拋物線交于 M，N 兩點(diǎn)（點(diǎn) N 在 x 軸的上方，點(diǎn) M 在 x 軸的下方），點(diǎn) E 在 x 軸上且 E 在 F 右側(cè)，若 NF=EF=NE，且 MNE 的面積為 123，則 p 的值為 已知拋物線 C 的方程為 x2=4y，過(guò)點(diǎn) P 作拋物線 C 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A，B（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左邊）(1) 若點(diǎn)

6、 P 坐標(biāo)為 0,1，求切線 PA，PB 的方程；(2) 若點(diǎn) P 是拋物線 C 的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線 PA 和 PB 互相垂直已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1ab0 的離心率為 e=12，過(guò)點(diǎn) 2,0(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程(2) 設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) F2 的直線 l 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 AF1BF1，求直線 l 方程已知 F 是拋物線 C:y2=2pxp0 的焦點(diǎn)，M3,t 是拋物線上一點(diǎn)，且 MF=4(1) 求拋物線 C 的方程；(2) 直線 l 與拋物線 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，若 OAOB=4（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線

7、 l 是否會(huì)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由在 m0，且 C 的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為 3+3， C 的焦距為 6， C 上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為 4 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中問(wèn)題：已知雙曲線 C:x2my22m=1， ，求 C 的方程已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C:x2a2+y2b2=1ab0 過(guò)點(diǎn) 3,32，離心率為 12(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 過(guò)右焦點(diǎn) F 作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線 l，交橢圓 C 于 A，B 兩點(diǎn)，求 AOB 面積的取值范圍已知橢圓 :x2a2+y2b2=1ab0 的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2

8、,0，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的 2 倍，直線 l 交橢圓 于不同的兩點(diǎn) M 和 N(1) 求橢圓 的方程；(2) 若直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P0,4，且 OMN 的面積為 22，求直線 l 的方程；(3) 若直線 l 的方程為 y=kx+tk0，點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 M，直線 MN，MN 分別與 x 軸相交于 P，Q 兩點(diǎn)，求證：OPOQ 為定值答案1. 【答案】B【解析】設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，則 7+PF2=10，PF2=3【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的概念與方程2. 【答案】B【解析】雙曲線 x29y24=1 中，a2=9，故 a=3，所以實(shí)軸長(zhǎng)為 2a=6故選B【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

9、3. 【答案】B【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=1ay，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0,14a，由題意可得 14a=14，所以 a=1，故選B【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)4. 【答案】A【解析】易知雙曲線 x2a2y29=1 的焦點(diǎn) c,0 與 c,0 均在 x 軸上，又點(diǎn) c,0 或點(diǎn) c,0 在直線 x+2y=5 上，且直線 x+2y=5 與 x 軸的交點(diǎn)為 5,0，所以 c=5，故 9+a2=25，得 a2=16，所以雙曲線的方程為 x216y29=1，其漸近線方程為 y=34x，故選A【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)5. 【答案】D【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2+y2b2=1ab0，由對(duì)稱

10、性不妨設(shè)點(diǎn) P 在 x 軸上方，則其坐標(biāo)為 c,b2a，因?yàn)?F1PF2 為等腰直角三角形，所以 PF2=F1F2，即 b2a=2c，即 a2c2a2=2ca，所以 1e2=2e，故橢圓的離心率 e=21 或 e=21（舍），故選D【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)6. 【答案】A【解析】雙曲線 x24y22=1 的漸近線方程為 y=22x，拋物線 y2=2pxp0 的準(zhǔn)線方程為 x=p2，設(shè) A 在 x 軸上方，則 Ap2,24p， Bp2,24p，所以 AB=22p， FA=FB=p2+24p2=324p又因?yàn)?ABF 的周長(zhǎng)為 42，所以 FA+FB+AB=324p+324p+22p=42，所以

11、p=2【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)7. 【答案】C【解析】由題知四邊形 AF2BF1 是平行四邊形，所以 AF1+AF2=p2，又 AF1AF2=2a，所以 AF1=a+p4，AF2=p4a，因?yàn)榫€段 F1F2 為圓的直徑，所以由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形 AF2BF1 為矩形，所以 S=AF1AF2=p216a2，因?yàn)?p=42S，所以 p2=32S，所以 p2=32p216a2，解得 p2=32a2，由 AF12+AF22=F1F22，得 2a2+p28=4c2，即 3a2=2c2，所以離心率 e=62【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)8. 【答案】D【解析】如圖，設(shè) P

12、x,y，根據(jù)題意可得 F1c,0，F(xiàn)2c,0，雙曲線的漸近線方程為 y=bax，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線 PF2 的方程為 y=baxc, 則直線 PF1 的方程為 y=abx+c, 因?yàn)辄c(diǎn) Px,y 在雙曲線上，所以 x2a2y2b2=1, 聯(lián)立，可得 x=a2+c22c，聯(lián)立，可得 x=b2a2a2+b2c=b2a2c，所以 a2+c22c=b2a2c，所以 a2+a2+b2=2b22a2，所以 b2=4a2，所以離心率 e=ca=c2a2=a2+b2a2=5a2a2=5【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)9. 【答案】A；D【解析】對(duì)于曲線 C:mx2+ny2=1，若 mn0，則方程化為 x21m

13、+y21n=1，得 1n1m0，則 C 是橢圓，其焦點(diǎn)在 y 軸上，故A正確；B錯(cuò)誤；若 m=n0，則方程化為 x2+y2=1n，則 C 是圓，其半徑為 1n，故C錯(cuò)誤；若 m=0，n0，則方程化為 y2=1n，即 y=nn，則 C 是兩條直線，故D正確【知識(shí)點(diǎn)】曲線與方程的關(guān)系10. 【答案】A；D【解析】因?yàn)閳A錐曲線 C:mx2+4y2=1 的離心率為 22，且 220,1，所以 C 為橢圓，所以 m0 且 m4，當(dāng) 0m4 時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在 y 軸上，則 141m14=22，解得 m=8【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì)11. 【答案】A；B【解析】圓 C1，C2 都在橢圓內(nèi)等價(jià)于點(diǎn) 2c,0，點(diǎn)

14、c,c 均在橢圓內(nèi)部，所以 2ca,c2a2+c2b21, 可得 e12,e43e2+10, 結(jié)合 e0,1，可得 00 的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 p2,0，準(zhǔn)線方程為 x=p2，則 MF=3+p2=4，解得 p=2，所以拋物線 C 的方程為 y2=4x(2) 易知直線 l 的斜率不為 0，設(shè)直線 l 的方程為 x=ny+t， Ay124,y1，By224,y2，聯(lián)立 x=ny+t,y2=4x, 可得 y24ny4t=0，則 y1y2=4t 由 OAOB=y1y2216+y1y2=16t2164t=4，解得 t=2，所以直線 l 的方程為 x=ny+2，直線 l 恒過(guò)定點(diǎn) 2,0【知識(shí)點(diǎn)】拋物線中

15、的動(dòng)態(tài)性質(zhì)證明、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)20. 【答案】選因?yàn)?m0，所以 a2=m，b2=2m，c2=3m，所以 a=m，c=3m，易知 C 的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為 a+c，所以 a+c=m+3m=3+3，解得 m=3，故 C 的方程為 x23y26=1選若 m0，則 a2=m，b2=2m，c2=3m，所以 c=3m，所以 C 的焦距為 2c=23m=6，解得 m=3，故 C 的方程為 x23y26=1；若 m0，則 a2=m，所以 a=m，因?yàn)?C 上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為 4，所以 2a=2m=4，解得 m=4，因?yàn)?C 的方程為 x24y28=1；若 m0，則

16、 a2=2m，所以 a=2m，因?yàn)?C 上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為 4，所以 2a=22m=4，解得 m=2，故 C 的方程為 y24x22=1【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)21. 【答案】(1) 由題意得 3a2+34b2=1,ca=12,a2=b2+c2, 解得 a=2，b=3，所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24+y23=1(2) 易知右焦點(diǎn)為 F1,0，直線 l 的斜率存在且不為 0，設(shè)直線 l:x=my+1m0，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立 x=my+1,3x2+4y2=12, 消去 x，整理得 3m2+4y2+6my9=0，則 y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93

17、m2+4，所以 AB=1+m2y1y2=1+m2y1+y224y1y2=12m2+13m2+4, 又點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 1m2+1，所以 SAOB=1212m2+13m2+41m2+1=6m2+13m2+4=6m2+13m2+1+1=63m2+1+1m2+1. 令 t=m2+1，t1,+，因?yàn)楹瘮?shù) y=3t+1t 在 1,+ 上單週遞增，所以 3t+1t4,+，所以 SAOB=63m2+1+1m2+10,32，所以 AOB 的面積的取值范圍為 0,32【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中的弦長(zhǎng)與面積、橢圓的幾何性質(zhì)22. 【答案】(1) 由題意可得 a=2b，a2b2=4，解得 a=22，b=2所以橢圓

18、 的方程為 x28+y24=1(2) 易知直線 l 的斜率存在，設(shè) Mx1,y1，Nx2,y2，直線 l 的方程為 y=kx+4，聯(lián)立 y=kx+4,x28+y24=1, 消去 y 可得 1+2k2x2+16kx+24=0，則 x1+x2=16k1+2k2，x1x2=241+2k2，又點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 41+k2，MN=1+k2x1x2，所以 SOMN=124x1+x224x1x2=822k231+2k2=22，解得 k=142，所以直線 l 的方程為 y=142x+4 或 y=142x+4(3) 由題意知 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x1,y1，將 y=kx+t 代入橢圓方程可得 1+2k2