全國初中數(shù)學(xué)競賽真題及答案大全

1、全國初中數(shù)學(xué)競賽真題及答案大全全國初中數(shù)學(xué)競賽真題及答案大全全國初中數(shù)學(xué)競賽真題及答案大全2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽（海南賽區(qū)）初 賽 試 卷（本試卷共6頁，滿分120分，考試時間：3月18日8:3010:30）一、選擇題（本大題滿分50分，每小題5分）在下列各題的四個備選答案中，只有一個是正確的，請把你認為正確的答案的字母代號填寫在下表相應(yīng)題號下的方格內(nèi)1. 若m為實數(shù)，則代數(shù)式的值一定是 A. 正數(shù) B.0 C.負數(shù) D.非負數(shù)2如圖1所示，是兩架處在平衡狀態(tài)的天平，那么，對于a、b、c三種物體的重量，下列判斷正確的是 Aca Bab Cac D. bc3. 如圖2，點C是的平分線上一點，

2、點B、B分別在邊、上，如果再添加一個條件，即可推出,那么該條件不可以是 圖2A. B. C. D. C 圖14圖3是由四個全等的直角三角形及中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，則（）2的值是 A13 B19 C25 D169 圖35已知m是方程的一個根，則代數(shù)式的值等于A.2005 B.2006 C.2007 D.20086將一段72長的繩子，從一端開始每3作一記號，每4也作一記號，然后從有記號的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為A37 B36 C35 D347 某旅游團92人在快餐店就餐，該店備有9種菜，每份

3、菜單單價分別為1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游團領(lǐng)隊交代:每人可選不同的菜，但金額都須正好10元，且每一種菜最多只能買一份，這樣，該團成員在購菜完全符合要求的所有方案中，至少有一個方案的人數(shù)不少于A9人 B10人 C11人 D12人8如圖4是由幾塊相同的小正方體搭成的立體圖形的三視圖，則這立體圖形中小正方體共有（ ）塊A9 B10 C11 D129如圖5，將沿著它的中位線折疊后，點A落到點A，若120，26,則A的度數(shù)是A120 B112 C110 D10810. 方程的正根的個數(shù)是A0個 B1個 C2個 D3個二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分）11若表示不超過

4、x的最大整數(shù)，如等，則12在直徑為4的O中，長度為的弦所對的圓周角的度數(shù)為 .13如圖6，電路圖上有四個開關(guān)A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關(guān)D或同時閉合開關(guān)A、B、C都可以使小燈泡放光，那么隨機閉合其中兩個開關(guān)，能使小燈泡發(fā)光的概率為 .14如圖7，在中，53為的中點，2，則 .15若干個 裝卸一批貨物，每個工人的裝卸速度相同，如果這些工人同時工作，則需10小時裝卸完畢；現(xiàn)改變裝卸方式，開始一個人干，以后每隔t（整數(shù)）小時增加一個人干，每個參加裝卸的人都一直干到裝卸完畢，且最后參加的一個人裝卸的時間是第一個人的，則按改變的方式裝卸，自始至終共需時間 小時. 16.在一次自行車越野賽中，甲、

5、乙兩名選手所走的路程y（千米）隨時間x（分鐘）變化的圖象（全程）分別用圖8中的實線（OABC）及虛線（）表示，那么，在本次比賽過程中，乙領(lǐng)先甲時的x的取值范圍是 . 17.已知a3，b3，且，3,則k的最小整數(shù)值是.18.若，且x、y、z均為非負數(shù)，則的最大值為.三、解答題(本大題共2小題，每小題15分，滿分30分)19. 已知在中，90，4,現(xiàn)將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點置于的中點O，兩直角邊分別經(jīng)過點B、C，然后將三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度90），旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別及、相交于點K、H，四邊形是旋轉(zhuǎn)過程中三角板及的重疊部分（如圖所示）。那么，在上述旋轉(zhuǎn)過程中：

6、（）線段及具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（）連接，設(shè) 當(dāng)?shù)拿娣e為時，求出的值。試問的面積是否存在最小值，若存在，求出此時的值，若不存在，請說明理由。20. 某農(nóng)機租賃公司共有臺聯(lián)合收割機，其中甲型臺、乙型30臺，現(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割水稻，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)，兩地區(qū)及該農(nóng)機公司商定的每天租賃價格如下表：每臺甲型收割機的租金每臺乙型收割機的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若使農(nóng)機租賃公司這臺收割機

7、一天所獲租金不低于元，試寫出滿足條件的所有分派方案；請你為農(nóng)機租賃公司擬出一個分派方案，使該公司臺收割機每天獲得租金最高，并說明理由。2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽（海南賽區(qū)）初賽試卷參考答案一、選擇題：1. D；2. A；3. B ；4. C；5. D；6. B；7. C； 8. A； 9. B； 10. A。1.提示：若m0，則 2 m0；若m0，則 m =0，故選D；2.提示：由左天平知ab，由右天平知bc，ac故選A；3.提示：由已知條件和選項B不能保證，從而無法推出，故選B；4.提示：依題意知（ab）2=1，a22 b2=1，又a2+ b2=13，212，（）22 b2=13+12=25

8、，故選C；5.由已知條件得m22006m+1=0，m22005m= m1，m2+1= 2006m，于是原式13=13= +33=3005+3=2008，故選D；6.提示：每隔3剪一刀共剪7231=241=23（刀），每隔4剪一刀，共剪7241=17（刀），所以應(yīng)共剪23+17=40（刀），但其中重復(fù)位置的刀數(shù)為：72121=5（刀），因此互不重復(fù)的刀數(shù)為405=35（刀），所以72長的繩子按要求被剪的段數(shù)為35+1=36（段），故選B，7.提示：因為每份菜單價為別為1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），共9種菜，所有符合要求的購菜方案為：1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1+3+

9、6，1+4+5，2+3+5，1+2+3+4，共9種，又共有92人就餐，929=10余2，故選C；8.提示：從俯視圖知該立體圖形從前到后共排了三排小正方體，各位置上小正方體的個數(shù)如圖所示，故選A； 9.提示：分別延長，相交，則交點即為點A，由三角形中位線的性質(zhì)知，180C18012026=34，又由軸對稱的性質(zhì)知A34，A180234, A180234=112,故選B；10.提示，分別畫出函數(shù)2xx2和在x0的圖象（如 圖所示），因為函數(shù)2xx2和的圖象在第一象限內(nèi)無交點，因此，方知2xx2=無正數(shù)根，故選A。另解：令2xx2=0，解得x1=0，x2=2，易知方程2xx2=正數(shù)解x的值的范圍應(yīng)是

10、0 x2，而此時2xx2=（x1）2+11，1，因此，原方程無正數(shù)解。二、填空題：11.10；12.60或120；13.；14.；15.16；16.24x38；17. 2；18.130。11. 10，提示：+3=2+3（4）=212=10；12. 60或120，提示：作0的直徑，連結(jié)，則在中，4，2，90，60，設(shè)所對的圓周角為P.當(dāng)P的頂點P在上時，60，當(dāng)P的頂點P在劣弧上時，180，120；13. ，提示：畫出樹狀圖求解，答案為；14. ，提示：延長到E，使2，連結(jié)，則3，又4，5，顯然為，90，；15.16，提示：設(shè)自始至終需x小時，由于每個工人的裝卸速度相同，且工作時間是等差遞減的，

11、因此，這些工人的裝卸時間的平均數(shù)為（）；于是得方程（）=10；16.24x5。18.130，提示：由用x來表示y、z，得402x，10，又由y0，z0，得解得10 x20，又把402x，10代入542z得，140，顯然M是關(guān)于x的一次函數(shù)，且M隨x增大而減小，所以當(dāng)10時，M的最大值為130。三、解答題：19.（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形的面積始終保持不變，其值為面積的一半.理由如下：連結(jié)為等腰直角三角形，O為斜邊的中點，45， 又 及均為旋轉(zhuǎn)角，S四邊形4.（2）由（1）知，4，4x，根據(jù)題意，得，即(4x）3，解這個方程得x1=1，x2=3，此兩根滿足條件：0 x4所以當(dāng)?shù)拿娣e為時，x的取值

12、是1或3；設(shè)的面積為S，由（1）知四邊形的面積為4，于是得關(guān)系式：4S=4x（4x）=（x24x）+4=（x22）+2當(dāng)2時，函數(shù)S有最小值2，2時，滿足條件0 x4，的面積存在最小值，此時x的值是2.20.（1）由于派往A地的乙型收割機x臺，則派往B地的乙型收割機為（30 x）臺，派往A、B地區(qū)的甲型收割機分別為（30 x）臺和（x10）.16001200（30 x）+1800（30 x）+1600（x10）=20074000 （10 x30）（2）由題意，得2007400079600,解得x28，10 x30，x是正整數(shù)28、29、30有3種不同分派方案：當(dāng)28時，派往A地區(qū)的甲型收割機2

13、臺，乙型收割機28臺，余者全部派往B地區(qū)；當(dāng)29時，派往A地區(qū)的甲型收割機1臺，乙型收割機29臺，余者全部派往B地區(qū)；當(dāng)30時，即30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)，20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)；（3）20074000中y隨x的增大而增大當(dāng)30時，y取得最大值，此時，20030+74000=80000，建議農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)，20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)，這樣公司每天獲得租金最高，最高租金為80000元.初三數(shù)學(xué)競賽試題(初試)06.10.18填空題(每題5分，共70分)計算 .在中，3，4，高2.4，設(shè)能完全覆蓋的圓的半徑為R，則R的最小值是.已知，實數(shù)m満足,則m

14、20072.方程2有一負根而無正根，則實數(shù) m的取值范圍是.方程x2(2)2+1=0有實根 、，則2+2的最大值是.某校為方便學(xué)生中午在校就餐，及某快餐公司聯(lián)系為學(xué)生供應(yīng)價格不等的6種盒飯(每人只限一份)，右圖是某一天銷售情況統(tǒng)計圖，條形框上的百分數(shù)是銷售的該種盒飯占總銷售量的百分數(shù)。若該天銷售了1500份盒飯，加工各種盒飯的成本如下表所示。每天快餐公司可盈利元。單位(元)234567成本(元)1.82.433.84.24.5P為內(nèi)一點，、及對邊相交，把分成六個小三角形，其中四個小三角形的面積已在圖上標明，則的面積等于。如圖，大半圓的弦及小半圓相切，且，4。則陰影部分的面積是。 方程組的解是.

15、 如圖，有一條雙向公路隧道，其橫斷面由拋物線和矩形的三邊、圍成，隧道最大高度為4.9米，10米，2.4米，若有一輛高為4米、寬為2米的集裝箱的汽車要通過隧道，為了使箱頂不碰到隧道頂部，又不違反交通規(guī)則(汽車應(yīng)靠道路右側(cè)行駛，不能超過道路中線)，汽車的右側(cè)必須離開隧道右壁。已知， 2=2005, 2=2006, 2=2007,且4，則。三個動點A、B、C分別在同一圓周上沿同一方向作圓周運動，并且同時從同一點出發(fā)，A跑在B前面，接著又沿圓周追到B的背后，并且在出發(fā)8秒鐘后，第一次追上B，同樣在出發(fā)10秒鐘后，B第一閃追上C，問A第一次追上C需用秒。如圖，正方形的邊長為2，又，且，則。長為2，寬為1

16、的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸轉(zhuǎn)動一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的體積是.解答題(共50分)B .O .桌上有一圓柱形玻璃杯高12，底面周長18，在杯內(nèi)壁離杯口3的A處有一滴密糖，一條小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至密糖相對方向離桌面3的B處時(即A、B在底面的射影的連線段經(jīng)過底面的圓心O)，突然發(fā)現(xiàn)了密糖，問小蟲怎樣爬到達密糖最近？它至少爬多少路才能到達密糖所在位置。(10分)某計算裝置有一個數(shù)據(jù)入口A和一個運算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)中的各數(shù)依次輸入A口，從B口分別得到輸出的數(shù)。結(jié)果表明：從A口輸入1時，從B口得到a1=;當(dāng)n2時，從A口輸入n，從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果1先乘以自然數(shù)中

17、和第n1個奇數(shù)再除以自然數(shù)中和第1個奇數(shù)，試問：(1)從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數(shù)？ (2)從A口輸入2008時，從B口得到什么數(shù)？ (3)求：a1232008的值。答案 ：1.2.2.53.200841且m05.66.16777.3158.29. 或10.大于2m小于3m11.12.13.14.15.616.(1)a2=, a3=, (2) a2008 (3) a1232008=2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不

18、填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，1936=55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處故選C2已知，且=8，則a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得9故選C3的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（A）h1 （B

19、）1 （C）1h2答：B解：設(shè)點A的坐標為（a，a2），點C的坐標為（c，c2）（），則點B的坐標為（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜邊上高 a2c2=1故選B4一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得

20、各部分的內(nèi)角和增加360于是，剪過k次后，可得(k1)個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k1)360因為這(k1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34(622)180=3460180，其余多邊形有(k1)34= k33(個)，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形再取33個三角形，在每個三角形上剪一

21、刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和3358個三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故選B（第5題圖）ABCDOQP5如圖，正方形內(nèi)接于O，點P在劣弧上，連結(jié)，交于點Q若，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5題圖）ABCDOQP解：如圖，設(shè)O的半徑為r，則，m，m在O中，根據(jù)相交弦定理，得即 (rm)(rm) ，所以 連結(jié)，由勾股定理，得222，即 ， 解得所以， 故選D二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知a，b，c為整數(shù)，且a2006，c2005若ab，則abc的最大值為

22、答：5013解：由，得 因為，a400，所以，12.5x13.5 故13，此時9已知0a1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))答：6解：因為01當(dāng)a1時， =10分又當(dāng)時，由，得 ， 將兩邊平方，結(jié)合得化簡得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a1且，15分解法二：因為，所以，所以 又，所以，為一元二次方程 的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a1當(dāng)a1時， =10分 另外，當(dāng)時，由式有 ，即 或 ，解得，或當(dāng)時，同理可得或所以，a的取值范圍為a1且，15分（第13題）ABCOPEK13如圖，點P為O外一點，過點P作O的兩條切線，切點分別為A，B過點A作的平行線，交O于點C連結(jié)，交O

23、于點E；連結(jié)，并延長交于點K求證：證明：因為，所以又是O的切線，所以，故，于是 ，所以 ， 即 由切割線定理得 所以 10分因為，于是 故 ，即 15分1410個學(xué)生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學(xué)生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學(xué)生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值解：設(shè)10個學(xué)生為，n個課外小組，首先，每個學(xué)生至少參加兩個課外小組否則，若有一個學(xué)生只參加一個課外小組，設(shè)這個學(xué)生為，由于每兩個學(xué)生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學(xué)生都及他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，矛盾 5分若有一學(xué)生恰好參加兩個課外小組，不妨設(shè)恰好參加，由題設(shè)

24、，對于這兩組，至少有兩個學(xué)生，他們沒有參加這兩組，于是他們及沒有同過組，矛盾所以，每一個學(xué)生至少參加三個課外小組于是n個課外小組，的人數(shù)之和不小于310=30另一方面，每一課外小組的人數(shù)不超過5，所以n個課外小組，的人數(shù)不超過5n， 故 5n30， 所以n6 10分下面構(gòu)造一個例子說明6是可以的，容易驗證，這樣的6個課外小組滿足題設(shè)條件所以，n的最小值為6 15分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案題 號一二三總 分156101112 1314得 分評卷人復(fù)查人答題時注意：1用圓珠筆或鋼筆作答.2解答書寫時不要超過裝訂線.3草稿紙不上交.一、選

25、擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填都得0分）1已知實數(shù)滿足 ，則的值為（ ）（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因為，0，由已知條件得， ，所以 72把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象及x軸有兩個不同交點的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答】（C）解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個二次函數(shù). 由題意知0，即4.通過枚舉

26、知，滿足條件的有17對. 故.3有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可以確定的不同直線最少有( ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條（第3題）【答】（B）解：如圖，大圓周上有4個不同的點A，B，C，D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個點E，F(xiàn)中，至少有一個不是四邊形的對角線及的交點，則它及A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線從而這6個點可以確定的直線不少于8條當(dāng)這6個點如圖所示放置時，恰好可以確定8條直線所以，滿足條件的6個點可以確定的直線最少有8條4已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作

27、正，點為圓上不同于點A的一點，且，的延長線交圓于點，則的長為（ ）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如圖，連接， 設(shè)，則 又因為，（第4題）所以，于是5將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ ）（A）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種【答】（D）解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列首先，對于，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，否則，這兩個之后都是偶數(shù)，及已知條件矛盾又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)

28、是最后一個數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6對于實數(shù)u，v，定義一種運算“*”為：若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或7小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是 分鐘【答】4解：設(shè)18路公交車的速度

29、是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為米每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 由，可得 ，所以 即18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘（第8題5數(shù)，段成比例，所以）8如圖，在中，7，11，點M是的中點， 是 的平分線，則的長為 【答】9解：如圖，設(shè)點N是的中點，連接，則又，所以 ，（第8題答案5數(shù)，段成比例，所以）所以 因此 99中，7，8，9，過的內(nèi)切圓圓心I作，分別及，相交于點D，E，則的長為 【答】解：如圖，設(shè)的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，邊上的高為，則，所以 （第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）（第8題答

30、案圖5數(shù)，段成比例，所以）因為，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此（第9題答案5數(shù)，段成比例，所以），所以 ，故 10關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因為208是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設(shè)，則，同上可知，a，b都是偶數(shù)設(shè)，則，所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則，于是 ，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7于是 因此 三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11在直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象及軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得的面積值

31、等于用b表示k；求面積的最小值 解：（1）令，得；令，得所以A，B兩點的坐標分別為，于是，的面積為由題意，有，解得 ， 5分（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有，即當(dāng)，時，不等式中的等號成立 所以，面積的最小值為 15分12是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？ 解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令，其中n是一個非負整數(shù)則 5分由于1，且及同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形： 消去n，解得 10分對于第1，3種情形，從而q5；對于第2，5種情形，從而q4（不合題意，舍去）；對于第4種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）又當(dāng)，q5時，方程為，它的根為，它們都是有理數(shù)綜上所述

32、，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù) 15分（第13題）13如圖，的三邊長，都是整數(shù)，且的最大公約數(shù)為點和點分別為的重心和內(nèi)心，且求的周長（第13題答案5數(shù)，段成比例，所以）解：如圖，延長，及邊分別交于點設(shè)重心在邊上的投影分別為，的內(nèi)切圓的半徑為，邊上的高的長分別為，易知，由，可得 ，即 ，從而可得 10分因為的重心G和內(nèi)心不重合，所以，不是正三角形，且，否則，可得，矛盾不妨假設(shè)，由于，設(shè)，于是有為整數(shù)，所以有，即于是只有時，可得，滿足條件因此有所以，的周長為35 15分14從1，2，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)（至少一個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值解：當(dāng)n4時，數(shù)1，3，

33、5，8中沒有若干個數(shù)的和能被10整除 5分當(dāng)n5時，設(shè)是1，2，9中的5個不同的數(shù)若其中任意若干個數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6于是中必定有一個數(shù)是5若中含1，則不含9于是不含4（41510），故含6；于是不含3（36110），故含7；于是不含2（21710），故含8但是57820是10的倍數(shù)，矛盾若中含9，則不含1于是不含6（69520），故含4；于是不含7（74920），故含3；于是不含8（89310），故含2但是53210是10的倍數(shù)，矛盾綜上所述，n的最小值為5 15分2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，

34、請依據(jù)本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應(yīng)的分數(shù).第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號為的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1設(shè)，且，則代數(shù)式的值為 （ ） 5. 7. 9. 11.【答】.解 由題設(shè)條件可知，且，所以是一元二次方程的兩根，故，因此. 故選.2如

35、圖，設(shè)，為三角形的三條高，若，則線段的長為 （ ）. 4. . .【答】.解 因為，為三角形的三條高，易知四點共圓，于是，故，即，所以.在中，. 故選.3從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 （ ）. . . .【答】.解 能夠組成的兩位數(shù)有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20個，其中是3的倍數(shù)的數(shù)為12，15，21，24，42，45，51，54，共8個. 2008年全國初

36、中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 所以所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是. 故選.4在中，和分別是這兩個角的外角平分線，且點分別在直線和直線上，則 （ ）. . . 和的大小關(guān)系不確定.【答】.解 ，為的外角平分線，.又，.又，. 因此，.故選.5現(xiàn)有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10或20，若干天后，這5種商品的價格互不相同，設(shè)最高價格和最低價格的比值為，則的最小值為 （ ） . . . .【答】 .解 容易知道，4天之后就可以出現(xiàn)5種商品的價格互不相同的情況.設(shè)5種商品降價前的價格為，過了天. 天后每種商品的價格一定可以表示為，其中為自然數(shù)，且.要使的值最小，五種商品的價格應(yīng)

37、該分別為：，其中為不超過的自然數(shù).所以的最小值為. 故選.6 已知實數(shù)滿足，則的值為 （ ） . 2008. . 1.2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第2頁（共9頁）【答】.解 ，由以上兩式可得. 所以，解得，所以. 故選.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1設(shè)，則.解 ，.2如圖，正方形的邊長為1，為所在直線上的兩點，且，則四邊形的面積為解 設(shè)正方形的中心為，連，則，, .又，2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第3頁（共9頁），所以，故，從而.根據(jù)對稱性可知，四邊形的面積.3已知二次函數(shù)的圖象及軸的兩個交點的橫坐標分別為，且.設(shè)滿足上述要求的的

38、最大值和最小值分別為，則解 根據(jù)題意，是一元二次方程的兩根，所以，. ，.方程的判別式，.，故，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得；，故，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得.所以，于是.4依次將正整數(shù)1，2，3，的平方數(shù)排成一串：149162536496481100121144，排在第1個位置的數(shù)字是1，排在第5個位置的數(shù)字是6，排在第10個位置的數(shù)字是4，排在第2008個位置的數(shù)字是 1 .解 到，結(jié)果都只各占1個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結(jié)果都只各占2個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結(jié)果都只各占3個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結(jié)果都只各占4個數(shù)位，共占個數(shù)位；到，結(jié)果都只各占5個數(shù)位，共占個數(shù)位；此時還差個數(shù)位.到，結(jié)果都只各占6個數(shù)位，

39、共占個數(shù)位.2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第4頁（共9頁）所以，排在第2008個位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個位數(shù)字，即為1.第二試 （A）一（本題滿分20分） 已知，對于滿足條件的一切實數(shù)，不等式 （1）恒成立.當(dāng)乘積取最小值時，求的值.解 整理不等式（1）并將代入，得 （2）在不等式（2）中，令，得；令，得. 易知，故二次函數(shù)的圖象（拋物線）的開口向上，且頂點的橫坐標在0和1之間.由題設(shè)知，不等式（2）對于滿足條件的一切實數(shù)恒成立，所以它的判別式，即. 由方程組 （3）消去，得，所以或.又因為，所以或， 于是方程組（3）的解為或所以的最小值為，此時的值有兩組，分別為和.

40、2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第5頁（共9頁）二（本題滿分25分） 如圖，圓及圓相交于兩點，為圓的切線，點在圓上，且.（1）證明：點在圓的圓周上.（2）設(shè)的面積為，求圓的的半徑的最小值. 解 （1）連，因為為圓心，所以，從而. 因為，所以，所以，因此點在圓的圓周上. （2）設(shè)圓的半徑為，的延長線交于點，易知.設(shè)，則，. 因為,，所以，所以，即，故. 所以，即，其中等號當(dāng)時成立，這時是圓的直徑.所以圓的的半徑的最小值為. 三（本題滿分25分）設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且 （1） 求，的值.解 （1）式即，設(shè)，則 （2）故，又，所以 （3）2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答

41、案及評分標準 第6頁（共9頁）由（1）式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程（3）有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù). 不妨設(shè)（為自然數(shù)），則.由于和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下幾種情況：兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，解得.兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知. 此時方程（3）的解為或（舍去）.把，代入（2）式，得. 第二試 （B）一（本題滿分20分）已知，對于滿足條件的一切實數(shù)對，不等式 （1）恒成立.當(dāng)乘積取最小值時，求的值.解 由

42、可知.在（1）式中，令，得；令，得.2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第7頁（共9頁）將代入（1）式，得，即 （2）易知，故二次函數(shù)的圖象（拋物線）的開口向上，且頂點的橫坐標在0和1之間.由題設(shè)知，不等式（2）對于滿足條件的一切實數(shù)恒成立，所以它的判別式，即. 由方程組 （3）消去，得，所以或，又因為，所以或. 于是方程組（3）的解為或所以滿足條件的的值有兩組，分別為和. 二（本題滿分25分）題目和解答及（A）卷第二題相同.三（本題滿分25分）題目和解答及（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答及（B）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答

43、及（A）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且滿足 2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第8頁（共9頁）求的值.解 （1）式即，設(shè)，則 （3）故，又，所以 （4）由（1）式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程（4）有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù). 不妨設(shè)（為自然數(shù)），則.由于和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下幾種情況：兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，沒有整數(shù)解.兩式相加，得，解得.兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知，此時方程

44、（4）的解為或（舍去）. 把，代入（3）式，得，即.代入（2）式得，所以，因此.2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1已知非零實數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C解：由題設(shè)知a3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而1 2如圖，菱形的邊長為a，點O是對角線上的一點，且a，1，則a等于（ ）（第2題）（A） （B） （C）1 （D）2【答】A 解：因為 ，所以，即 ，

45、所以， 由，解得3將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為，第二次擲出的點數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答】D解：當(dāng)時，方程組無解當(dāng)時，方程組的解為由已知，得即或由，的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 5210種情況；或共3種情況又擲兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6636種情況，故所求的概率為4如圖1所示，在直角梯形中，. 動點P從點B出發(fā)，沿梯形的邊由BCDA運動. 設(shè)點P運動的路程為x，的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則的面積為（ ）（A）10

46、（B）16 （C）18 （D）32（第4題）圖2圖1 【答】B解：根據(jù)圖像可得4，5，5，進而求得8，故S8416.5關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無窮多組 【答】C解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 由于該方程有整數(shù)根，則判別式，且是完全平方數(shù)由 ，解得 于是01491611610988534顯然，只有時，是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)時，原方程為，此時；當(dāng)y4時，原方程為，此時所以，原方程的整數(shù)解為 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報廢；若把它安裝在后

47、輪，則自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛 【答】3750解：設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1的磨損量為.又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了x ，交換位置后走了y .分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有 兩式相加，得 ，則 7已知線段的中點為C，以點A為圓心，的長為半徑作圓，在線段的延長線上取點D，使得；再以點D為圓心，的長為半徑作圓，及A分別相交于F，G兩點，連接交于點H，則的值為 解：如圖，延長及D交于點E，連接， 由

48、題設(shè)知，在和中，所以 ， .（第7題）而，所以.8已知是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 【答】 10解：因為，且是五個不同的整數(shù)，所有也是五個不同的整數(shù)又因為，所以由，可得9如圖，在中，是高，為的平分線若15，20，12，則的長等于 【答】解：如圖，由勾股定理知9，16，所以25 故由勾股定理逆定理知為直角三角形，且作，垂足為F設(shè)x，由，得x，于是20 x由于，所以 ，（第9題）即 ，解得所以（第10題）1010個人圍成一個圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來若

49、報出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是 【答】 解：設(shè)報3的人心里想的數(shù)是，則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)是于是報7的人心里想的數(shù)是 ，報9的人心里想的數(shù)是 ，報1的人心里想的數(shù)是 ，報3的人心里想的數(shù)是所以 ，解得三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11已知拋物線及動直線有公共點，且. （1）求實數(shù)t的取值范圍； （2）當(dāng)t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）聯(lián)立及，消去y得二次方程 有實數(shù)根，則所以 = 5分把式代入方程得 10分t的取值應(yīng)滿足0， 且使方程有實數(shù)根，即0， 解不等式得 -3或1，解不等式得 .所以，t的取值范圍為. 15分(2) 由式知.由于在時是遞增的

50、，所以，當(dāng)時,. 20分12已知正整數(shù)滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和解：由可得，且 5分因為是奇數(shù)，所以等價于，又因為，所以等價于因此有，于是可得 15分又，所以因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和為11192（1210）10571 20分 13如圖，給定銳角三角形，是它的兩條高，過點作的外接圓的切線，過點D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比較線段和的大小，并證明你的結(jié)論解法1：結(jié)論是下面給出證明 5分因為，所以 于是可得同理可得 （第13A題） 10分又因為，所以有，于是可得 20分解法2：結(jié)論是下面給出證明 5分（第13A題）連接，因為，所以A，B，D，E四點共圓，故 10

51、分又l是O的過點C的切線，所以 15分所以，于是，故 20分14n個正整數(shù)滿足如下條件：；且中任意n1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n的最大值解：設(shè)中去掉后剩下的n1個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)，即 于是，對于任意的1n，都有，從而 5分由于 是正整數(shù)，故 10分由于 ，所以，2008，于是n 45. 結(jié)合，所以，n 9 15分另一方面，令，則這9個數(shù)滿足題設(shè)要求 綜上所述，n的最大值為9. 20分2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題一、選擇題（本題滿分30分，每小題5分）1. 設(shè)，則 （ ）A.24. B. 25. C. . D. .2在中，最大角A是最小角C的兩倍，且7，8，則 （ ）A.

52、B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為 （ ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4設(shè)正方形的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ ）A. B. . C. . D. .5如圖，在矩形中，3，2，以為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點A作半圓的切線，則 （ ）A. B. . C. . D. .6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個數(shù)是 （ ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿分20分，每小題5分）1已知是實數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小

53、值是.2 設(shè)D是的邊上的一點，作交于點E，作交于點F，已知、的面積分別為和，則四邊形的面積為.3如果實數(shù)滿足條件，則.4已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有對.三（本題滿分15分）已知二次函數(shù)的圖象及軸的交點分別為A、B，及軸的交點為C.設(shè)的外接圓的圓心為點P.（1）證明：P及軸的另一個交點為定點.（2）如果恰好為P的直徑且，求和的值.四（本題滿分15分）設(shè)是直角三角形的斜邊上的高，、分別是、的內(nèi)心，3，4，求.五 （本題滿分20分） 已知中，90，邊上的高線及的兩條內(nèi)角平分線 、分別交于P、Q兩點、的中點分別為E、F.求證：. 25分六（本題滿分20分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個條

54、件： 是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應(yīng)的分數(shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1. 若均為整數(shù)且滿足，則 （ ）A1. B2. C3. D4.【答】B.因為均為整數(shù)，所以和均為整數(shù)，從而由可得或若則，從而.若則，從而.因此，2.2若實數(shù)滿足等式，則可能取的最大值為 （ ）A0.

55、 B1. C2. D3.【答】C.由兩個已知等式可得，而，所以.當(dāng)時，可得，滿足已知等式.所以可能取的最大值為2.3若是兩個正數(shù)，且 則 （ ）A. B. C. D.【答】C.由可得，則 2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第1頁（共7頁）由于是兩個正數(shù)，所以 ，所以，從而另一方面，由可得，結(jié)合式可得，所以因此，.4若方程的兩根也是方程的根，則的值為 （ ）A13. B9. C6. D 0.【答】A.設(shè)是方程的一個根，則，所以.由題意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得.從而可知：方程的兩根也是方程的根，這兩個方程實質(zhì)上應(yīng)該是同一個一元二次方程，從而有（其中為常數(shù)），

56、故，所以.因此，.5在中，已知，D，E分別是邊，上的點，且，,則 ( )A15. B20. C25. D30.【答】 B.如圖，延長到F，使，連， ，于是，又， ,在和中， ， 于是，6對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，則 （ ）A28062. B28065. C28067. D28068.2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第2頁（共7頁）【答】D.把1到2010之間的所有自然數(shù)均看作四位數(shù)（如果不足四位，則在前面加0，補足四位，這樣做不會改變的值）.1在千位上出現(xiàn)的次數(shù)為，1在百位上出現(xiàn)的次數(shù)為，1在十位和個位上出現(xiàn)的次數(shù)均為，因此，1出現(xiàn)的總次數(shù)為.2在千位上出現(xiàn)的

57、次數(shù)為11，2在百位和十位上出現(xiàn)的次數(shù)均為，2在個位上出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，2出現(xiàn)的總次數(shù)為.類似的，可求得出現(xiàn)的總次數(shù)均為.因此28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實數(shù)滿足方程組則 .【答】 13.由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，易求得這兩個實數(shù)根分別為3和，所以.2二次函數(shù)的圖象及軸正方向交于A，B兩點，及軸正方向交于點C已知，則 【答】 由題意知，點C的坐標為，設(shè)兩點的坐標分別為，則是方程的兩根由根及系數(shù)的關(guān)系得又，則于是，由，得2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第3頁（共7頁）3在等腰直角中，5，P是內(nèi)一點，且，5，則【答

58、】 .作，交于點E，作，交于點F，設(shè)，分別在、中利用勾股定理，得 ，得，所以，代入中，得，解得，.當(dāng)時，在中，由勾股定理可得.當(dāng)時，此時，所以點P在的外面，不符合題意，舍去.因此.4將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放個球.【答】 15. 將這些球的位置按順序標號為1，2，3，4，.由于1號球及7號球中間夾有5個球，1號球及12號球中間夾有10個球，12號球及6號球中間夾有5個球，7號球及13號球中間夾有5個球，13號球及2號球中間夾有10個球，2號球及8號球中間夾有5個球，8號球及1

59、4號球中間夾有5個球，14號球及3號球中間夾有10個球，3號球及9號球中間夾有5個球，9號球及15號球中間夾有5個球，15號球及4號球中間夾有10個球，4號球及10號球中間夾有5個球，因此，編號為1，7，12，6,13，2，8，14，3，9，15，4，10的球顏色相同，編號為5，11的球可以為另外的一種顏色.因此，可以按照要求擺放15個球.如果球的個數(shù)多于15個，則一方面，16號球及10號球應(yīng)同色，另一方面，5號球及16號球中間夾有10個球，所以5號球及16號球同色，從而1到16號球的顏色都相同，進一步可以知道：所有的球的顏色都相同，及要求不符.因此，按這種要求擺放，最多可以擺放15個球.第二

60、試 （A）一（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解 由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第4頁（共7頁） 由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和 10分（1）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形. 15分（2）當(dāng)時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，