數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第四章

1、MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第四章 函數(shù)和方程第四章 函數(shù)和方程4.1 預(yù)備知識(shí)：零點(diǎn)、極值和最小二乘法4.2 函數(shù)零點(diǎn)、極值和最小二乘擬合的MATLAB指令4.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：迭代法4.4 建模實(shí)驗(yàn)：購房貸款的利率和最佳訂貨量 4.1 預(yù)備知識(shí)：零點(diǎn)非線性方程 f (x) = 0若對(duì)于數(shù)有f () = 0, 則稱為方程的解或根，也稱為函數(shù)f (x)的零點(diǎn)若f () = 0, f ()0 則稱為單根。若有k 1, f () = f () = = f (k-1)() = 0，但f (k)()0 , 稱為k重根非線性方程求解通常用數(shù)值方法求近似解，常見的有二分法、牛頓法等非線性方程（組）f (x) = 0，

2、 x=(x1, x2, , xn), f=(f1, f2, , fm) 4.1 預(yù)備知識(shí)：極值如果對(duì)于包含x=a的某個(gè)鄰域 ,有 f(a)f(x) (f(a)f(x)對(duì)任意x成立, 則稱a為f(x)的一個(gè)局部極小(大)值點(diǎn)。如果對(duì)任意xD，有f(a)f(x)（f(a)f(x)）成立，則稱a為f(x)在區(qū)域D上的一個(gè)全局極小(大)值點(diǎn)。設(shè)x為標(biāo)量或向量，y=f(x)是xD上的標(biāo)量值函數(shù)。4.1 預(yù)備知識(shí)：極值4.2 函數(shù)零點(diǎn)MATLAB指令多項(xiàng)式y(tǒng)=polyval(p,x) 求得多項(xiàng)式p在x處的值y，x可以是一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)p3=conv(p1,p2) 返回多項(xiàng)式p1和p2的乘積p3,r=decon

3、v(p1,p2) p3返回多項(xiàng)式p1除以p2的商，r返回余項(xiàng)x=roots(p) 求得多項(xiàng)式p的所有復(fù)根.p=polyfit(x,y,k)用k次多項(xiàng)式擬合向量數(shù)據(jù)(x, y),返回多項(xiàng)式的降冪系數(shù)MATLAB中一個(gè)多項(xiàng)式用系數(shù)降冪排列向量來表示。例如：多項(xiàng)式x3+2x2-5，在MATLAB指令中表示為1 2 0 5。計(jì)算( x3+2x2-5) (x3+2x2-5)，并驗(yàn)算。 p1=1 2 0 -5; p2=1 -1 2; p,r=deconv(p1,p2)p = 1 3r = 0 0 1 -11驗(yàn)算 conv(p,p2)+r例1.求多項(xiàng)式x3 + 2 x2 - 5的根 p=1 2 0 -5;

4、x=roots(p) , polyval(p,x) x = -1.6209 + 1.1826i -1.6209 - 1.1826i 1.2419 ans = 1.0e-014 * 0.1776 - 0.5773i 0.1776 + 0.5773i -0.4441 例2.用2次多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù). x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72 解：clear; x=0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3;y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72;p=polyfit(x,y,2) % 得到二次擬合多

5、項(xiàng)式% 畫擬合效果圖xi=-0.2:0.01:0.3;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,o,xi,yi); Fun=inline(funstr,var) 定義一個(gè)Inline 函數(shù),其中funstr是函數(shù)的表達(dá)式, var是變量名Fun=Mfun 定義一個(gè)函數(shù)句柄，這里Mfun是函數(shù)的M文件表達(dá)方式Fun=(var)funstr 定義匿名函數(shù)，其中var是變量名, funstr是函數(shù)的表達(dá)式 4.2 非線性函數(shù)的MATLAB表達(dá) x=fzero(Fun, x0) 返回一元函數(shù)Fun的一 個(gè)零點(diǎn),其中Fun為函數(shù)句柄、 內(nèi)嵌函數(shù)或字符串表達(dá)方式。 x0為標(biāo)量時(shí), 返回函數(shù)在x0

6、附近的零點(diǎn)； x0為向量a, b時(shí), 返回在a,b中的零點(diǎn)(要求在a, b的 函數(shù)值異號(hào)) 4.2 函數(shù)零點(diǎn)MATLAB指令 x,f,h=fsolve(Fun, x0) x返回一元或 多元函數(shù)Fun在x0附近的一個(gè)零點(diǎn)， 其中x0為迭代初值; f返回Fun在x的函數(shù)值, 應(yīng)該接近0; h返回值如果大于0， 說明計(jì)算結(jié)果可靠， 否則計(jì)算結(jié)果不可靠。 例3 求函數(shù)y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)內(nèi)的 零點(diǎn) fun=inline(x*sin(x2-x-1),x) fun=inline(x*sin(x2-x-1),x) fzero(fun,-2 -0.1) %由于對(duì)參數(shù)x0用區(qū)間情形

7、，fzero要求區(qū)間兩端的函數(shù)值異號(hào), 所以出現(xiàn)不能直接求解. %先作圖觀察一下fplot(fun,-2 0.1);grid on;%可見在x=-1.6和-0.6附近各有一個(gè)零點(diǎn)。我們分兩個(gè)小區(qū)間分別求解.fzero(fun,-2,-1.2), fzero(fun,-1.2,-0.1) %可以正確求解fzero(fun,-1.6), fzero(fun,-0.6) %參數(shù)x0也可以用一個(gè)點(diǎn)x,f,h=fsolve(fun,-1.6)x,f,h=fsolve(fun,-0.6) %也可以用fsolve求解例4 求方程組在原點(diǎn)附近的解xx(1)y x(2)解：若用函數(shù)句柄方式，先寫一個(gè)M函數(shù)%M函

8、數(shù)eg4_4fun.mfunction f=fun(x)f(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1;f(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8;注意：x, y要合寫成向量變量xx,f,h=fsolve(eg4_4fun,0 0) % 0,0為初始值, 需m函數(shù)eg4_4fun.m%得到解為x=0.2326, y=0.0565, 兩個(gè)方程誤差分別為0.0908*10-6和0.1798*10-6，h0說明結(jié)果是可靠的。%也可以用下列更便捷的Inline函數(shù)或匿名函數(shù)方式求解。fun=inline(4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)

9、+x(1)2/8,x); %Inline函數(shù)x,f,h=fsolve(fun,0 0) fun=(x)4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8; %匿名函數(shù) x,f,h=fsolve(fun,0 0)注1 fzero只能求零點(diǎn)附近變號(hào)的根，試以x=1.1為初值，用fzero 和fsolve 求解 (x-1)2=0，看看發(fā)生了什么？注2 fzero 和 fsolve 只能求實(shí)根，試用它們解x2+x+1=0，看看發(fā)生了什么？min(y) 返回向量y的最小值max(y) 返回向量y的最大值x,f=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函數(shù)y=

10、f(x)在a,b內(nèi)的 局部極小值點(diǎn),f返回局部極小值 fun為函數(shù)句柄或inline。x,f=fminsearch(fun,x0) x返回多元函數(shù)y=f(x)在初始值x0 附近的局部極小值點(diǎn),f返回局部極小值. x, x0均為向量。4.2 函數(shù)極值MATLAB指令例 5 .求二元函數(shù)f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在原點(diǎn)附近的極大值。解：問題等價(jià)于求 f(x,y)的極小值 max fmin(-f) x x(1), y x(2)注：在使用fsolve, fminsearch等指令時(shí)， 多變量必須合寫成一個(gè)向量變量，如用x(1), x(2),。 fun=inline(x(1)4+x(2)4-

11、4*x(1)*x(2)-5); x,g=fminsearch(fun,0,0)4.2 最小二乘擬合MATLAB指令假設(shè)已知經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)=f(c,x)(c和x均可為向量), 要求根據(jù)一批有誤差的數(shù)據(jù)(xi,yi), i=0,1,n, 確定參數(shù)c.這樣的問題稱為數(shù)據(jù)擬合。最小二乘法就是求c使得均方誤差最小化 Q(c)=當(dāng)f關(guān)于c是線性函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性方程組求解，且其解存在唯一。 如果f關(guān)于c是非線性函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 優(yōu)參數(shù)c. 其中Fun是以參數(shù)c(可以是向量) 為自變量的函數(shù),表示誤差向量 y-f(c,x)(x, y為

12、數(shù)據(jù))， c0為參數(shù)c的近似值,作為迭代初值c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 從外部輸入數(shù)據(jù)， 這里Fun2為兩變量c和x的函數(shù) f(c, x) 非線性最小二乘擬合考慮例4.2，若用lsqnonlin，先寫fitf.mfunction e=fitf(c)x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72;e=y-(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3);然后執(zhí)行：c=lsqnonlin(fitf,0,0,0)用lsqcurvefit更方便：fun2=inline(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3),

13、c,x)x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72;c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y) 迭代法是從解的初始近似值x0(簡稱初值)開始，利用某種迭代格式x k+1 = g (x k ),求得一近似值序列x1, x2, , xk, xk+1, 逐步逼近于所求的解(稱為不動(dòng)點(diǎn))。最常用的迭代法是牛頓迭代法，其迭代格式為1 迭代法4.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：迭代法例6 求方程 x 2 - 3 x + e x = 2 的正根 (要求精度 = 10 -6)解 令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f

14、(0)=-1,當(dāng)x 2, f (x) 0, f (x) 0即f (x)單調(diào)上升，所以根在0,2內(nèi)。先用圖解法找初值，再用牛頓法程序newton.m求解。M函數(shù)newton.mfunction x=newton(fname,dfname,x0,e)%用途：牛頓迭代法解非線性方程f(x)=0%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e) x返回?cái)?shù)值解,% fname和dfname分別表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f(x),% x0為迭代初值，e為精度要求(默認(rèn)1e-4)。 if nargine&kclear; fun=inline(25.2*(1+r)360-(1+r)360- 1)/

15、r*0.1436 ,r)r=fzero(fun,0.0198/12);R=12*r得年利率為5.53%. (你知道最新利率嗎？)每次訂貨需要收取一定量的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)。沒用完的配件，要在倉庫里儲(chǔ)存一段時(shí)間，為此要付出儲(chǔ)存費(fèi)。若訂貨量很小，則需頻繁定貨，造成生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的增加；反之，若訂貨量很大，定貨周期延長而使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)減少但會(huì)造成儲(chǔ)存費(fèi)的增加。如何確定合適的訂貨量？4.4 建模實(shí)驗(yàn)：最佳訂貨量解 先作一些必要的假設(shè)將問題簡化1）汽車工廠對(duì)配件的日需求量是恒定的， 每日為r件；2）所訂配件按時(shí)一次性交貨， 生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)每次k1元；3）儲(chǔ)存費(fèi)按當(dāng)日實(shí)際儲(chǔ)存量計(jì)算， 儲(chǔ)存費(fèi)每日每件k2元;4）你的工廠不允

16、許缺貨。設(shè)一次訂貨x件，則訂貨周期為 T= x/r, 第t天的儲(chǔ)存量為 q(t)= x-r t, 0tT第t天的儲(chǔ)存費(fèi)為 k2q(t)一個(gè)周期的總儲(chǔ)存費(fèi)為一個(gè)周期總費(fèi)用 C(x) = k1+k2x2/(2r)優(yōu)化目標(biāo)是使單位產(chǎn)品費(fèi)用 f(x)=C(x)/x=k1/x+k2x/(2r) 達(dá)到最小由f(x)=0 ,即 -k1/x2+k2/(2r)=0 得（經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式）線性迭代要么收斂于它的不動(dòng)點(diǎn)，要么趨于無窮大。不收斂的非線性迭代可能會(huì)趨于無窮大，也可能趨于一個(gè)周期解，但也有可能在一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)雜亂無章地游蕩，這類由確定性運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的貌似隨機(jī)的現(xiàn)象稱為混沌現(xiàn)象4.4 建模實(shí)驗(yàn)：混沌*昆蟲數(shù)量的Logistic模型xk+1 = a x k (1 - x k), 0a4 xk表示第k代昆蟲數(shù)量(1表示理想資源環(huán)境最大可能昆蟲數(shù)量)。 a為資源系數(shù)0a4保證了xk在區(qū)間(0,1)上封閉。*平衡與穩(wěn)定若g () = ,稱為映射g(x)的不動(dòng)點(diǎn)若對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)附近的初始值x0，迭代收斂于此不動(dòng)點(diǎn)，稱此不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的當(dāng)0a1, 在0，1內(nèi)有一