線性空間總結(jié)

1、線性空間與線性變換總結(jié)線性空間(向量空間)定義：設(shè)集合V尹f, F是一個(gè)數(shù)域，在V上定義加法與數(shù)乘：若 對(duì)任意a e V, b e V, 有 a+b e ;若對(duì)任意a e V, l e F, 有 la e V;則稱集合V為數(shù)域F上的線性空間。在這么個(gè)空間內(nèi)存在無(wú)數(shù)個(gè)向量，我們希望有限的向量刻畫整個(gè)V,描述V內(nèi)的所有 向量。這里有限的向量構(gòu)成一個(gè)向量組，用左a + k a +. + k a表示向量組的一個(gè)線性 TOC o 1-5 h z 1 12 2m m組合，k, k，,k稱為該線性組合的系數(shù)。如果存在一組數(shù)人，人，,人 使 12 m12 mb = a+a +. +入a，則稱b能由向量組線性表

2、示。若給定n維向量組A：a1, a2,“, 1122mmam,如果存在不全為零的一組數(shù)X1, X 2,.,X m ,使得X1 al +X 2 a2 +X mam= 0,則稱 向量組A線性相關(guān)，否則稱向量組A線性無(wú)關(guān).如 何 判 定 線 性 相 關(guān)： 展隹應(yīng)aa2, 量a (m 3)線. 性 必 要定理1：齊次線性方程組xa + x a +. + x a = 0有非零解。1122mm定理2: A所構(gòu)成的矩陣A=(aa2,.,am)的秩小于向量個(gè)數(shù)m定理3： A:aa2,.,a中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示。 此外還有一個(gè)關(guān)于線性無(wú)關(guān)的定理：定理4：設(shè)aa2,.,偵皿線性無(wú)關(guān)，如果向

3、量組aa2,.,a皿p線性相關(guān)，則向量3能由a,a2,.,am線性表示，并且唯一向量組等價(jià)：設(shè)有兩個(gè)展隹向量組A: a ,a ,.,a 及 B: P , P，P . 12 m12 s若8組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示， 則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。用矩陣表示向量組設(shè)矩陣A與8行等價(jià)，即矩陣A經(jīng)初等行變換變癱，故存在可逆矩陣Hs.t.B = PA.由定理4知，B的行向量組能由人的行向量組線性表示又因?yàn)槿伺c8行等價(jià)，故由初等變換可逆性可知，存在可逆矩陣0 s.t., A = QB故由定理4知，A的行向量組能由B的行向量組線性表示

4、.于是人的行向量組與8的行向量組等價(jià)線性相關(guān)性的判別定理：若 a1,a2,.,am 線性相關(guān)，則 a1,a2,.,am , am+1 也線性相關(guān).。若 a1,a2,.,am ,am+1 線 性無(wú)關(guān)，則a1,a2,.,am,也線性無(wú)關(guān). 設(shè)有兩個(gè)向量組 A： aj =(a1j , a2j ,., arj )T，j = l,2,.,m；B： b j =(a1j, a2j ,., arj , ar+1j )T，j = l,2,.,m；即b j是由a j加上一個(gè)分量而得.若向量組A線性無(wú)關(guān)，則向量組B也 線性無(wú)關(guān).m個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組，若維數(shù)n向量個(gè)數(shù)m時(shí),必線性相關(guān).設(shè)A: a1,a2,.am線

5、性無(wú)關(guān)，而B(niǎo): a1,a2,.am, b線性相關(guān)，則b能由a1,a2,.am線性 表示，且表式唯一線性空間中基與維:定義1, 向童空r可的基與維數(shù)V是個(gè)面皇室I、可，設(shè),口2,u V,i)ii) X/ p V,3=cck2cc2+., kr R,貝U稱。1，工2，.一為向皇空I可的一組基。稱數(shù)r為向量空I可V 的維數(shù)，辛己做dimV.此外我們知道，在一個(gè)大向量空間內(nèi)存在著一系列小的子向量空間。W是V的非空子集， 則W是V的子空間的充要條件為Va，b e W， Vk F,有k a+ b e W。已知：若向量組以,以2,，氣是向量空間的一組基，則可表示為V =乙(,.以)=x = ka + k a

6、 hfk a k，,k e112 2r r 1rr由 V 中任意 m 個(gè)向量P1, %,P所生成的子空間為V = L(P ,.,P )=人。+人。+ + 人 P 人,人，,人 e r11 m112 2m m 12 m定義1:由向量組al,., am所生成向量子空間L(al,., am)的維數(shù)稱為向量組al,., am的秩，記為 r(al,., am ).定義2：設(shè)有向量組A： al,.,ar,.,am,如果在A中有r個(gè)向量al,., ar線性無(wú)關(guān)；任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)，那么稱向量組A的秩為數(shù)r.且al,., ar稱為A的一個(gè)極大(線性)無(wú)關(guān)組。一個(gè)向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大(線性)無(wú)

7、關(guān)組，如果它是線性無(wú)關(guān)的，但再任意添一個(gè) 向量(如果還有的話)所得向量組線性相關(guān).矩陣秩與行列的關(guān)系：矩陣的秩=矩陣行秩=矩陣列秩值得注意的是：初等行(列)變換不改變矩陣人的列(行)向量組的線性關(guān)系歐式空間：內(nèi)積：令 (x, y) = xTy = x y + x y +. + x y 1 12 2n n稱(x, y )為向量x與y的內(nèi)積。內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)：1對(duì)稱性2.線性性3.正定性正交概念：當(dāng)(x, y)=。時(shí),稱向量尤與) 正交若一組非零向量?jī)蓛烧?，則稱這組向量是正交向量組正交向量組的性質(zhì)：定理1若n維向量a ,a，,a是兩兩兩交的的非零向，則a ,a，,a線性無(wú)關(guān)12 r12 r向量空間的正交基：若*,氣,.。是向量空間V的一個(gè)基，且a；a2,.,a是兩兩正交的非零向量組，則稱% a 2，：, a是向量空間V的一個(gè)正交基.正交矩陣：