線(xiàn)性空間知識(shí)小結(jié)

1、線(xiàn)性空間知識(shí)小結(jié)向量組與線(xiàn)性空間1.定義向量組(某些向量的集合)S線(xiàn)性空間：非空集崎數(shù)域FV中定義了加法、數(shù)乘兩種運(yùn)算(封 閉)八條運(yùn)算性質(zhì):交換律，結(jié)合律，加法 協(xié)調(diào)，數(shù)乘協(xié)調(diào)，加法與數(shù)乘協(xié)調(diào)2.例子矩陣A的行向量組，列向量組F, a1, a 2., a 徹3.不變量秩:r(S)(極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù))維數(shù):dim(V)(基所含向量個(gè)數(shù))4.代表兀極大無(wú)關(guān)組*,%.,氣G S線(xiàn)性無(wú)關(guān)S中任意向量可由其線(xiàn)性表示(2) 添加任意一個(gè)向量后線(xiàn)性相關(guān)基 & ,&，,& G V 12n線(xiàn)性無(wú)關(guān)V中任意向量可由其線(xiàn)性表示(2)添加任意一個(gè)向量后線(xiàn)性相關(guān)5.等價(jià)命題若 r(S) = r。,七,a g S

2、,則%.,ar g S是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組=a%., a r線(xiàn)性無(wú)關(guān).o、a g S, a = a a .i=1o* g S, a,aa.,a,線(xiàn)性相關(guān).若 dimV = n , & ,&，,& g V ,則12n& ,&，,&是V的一個(gè)基 12n=, &2,S線(xiàn)性無(wú)關(guān).o Va g V,a = a& .i=1o Va G V, a,q,&2,勺線(xiàn)性相關(guān).6.重要命題若s1線(xiàn)性無(wú)關(guān)，S可由s2線(xiàn)性表示， 則S1所含向量個(gè)數(shù) s2所含向量個(gè) 數(shù)且 r(S1) r(S2).若dim V = n,則V中任意n+1個(gè)向量必線(xiàn)性相關(guān)；V中任意n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量都是V的 一個(gè)基.(2) V中任意線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組必

3、可擴(kuò) 為V的一個(gè)基.向量組的等價(jià)向量組S1, s2等價(jià)Vae S1,a可由S2線(xiàn)性表示，并且VP e S2, P可由S1線(xiàn)性表示O r（S1） = r（S2）,且S1可由S2線(xiàn)性表示。S1與S2的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。S1= S 2向量組等價(jià)是等價(jià)關(guān)系：（1）S1與S2等價(jià)；（2）若S與S2等價(jià)，則S2與S1等價(jià)；（3）若S】與S2等價(jià),S2與S3等價(jià)，則S1與S3等價(jià)坐標(biāo)與過(guò)渡矩陣坐標(biāo)：& ,&，,&是V的一個(gè)基，對(duì)任意 TOC o 1-5 h z 12na e V ,a = a & + a & HF a & = (& ,&，,& )X ,其中 X = (a ,a ,., a )t.112 2n

4、n 12n12 n過(guò)渡矩陣a :丑m，丑是v的另一個(gè)基，(n ,n，丑)=&,&，,& M,a的第i12n12n12n個(gè)列向量是n在基& ,&，,&下的坐標(biāo). i12 n同一向量在不同基下的坐標(biāo)：a = (& ,&，,& )X = (n，n，門(mén))丫，則Y = A-1 x .12n12n度量矩陣的性質(zhì)：(1) &,&，,&和n ,n，,n分別是v的兩個(gè)基，(n ,n，,n ) = &,&，,& )a,12n 12n12n12n則a可逆，且笆,&，,& ) = (n ,n，,n )a-1； 12n12n(2)設(shè)g ,g ,g 是 v的一個(gè)基，且(g ,g ,g ) = (n ,n，,n )b，則1

5、2 n12 n12 n(G，G，,G ) = (&，&，,& )AB ；12n12n 設(shè)(n ,n，,n ) = &,&，,& )a，則若&,&，,&是v的一個(gè)基,a可逆，則12n12n12nn ,n，,n是v的另一個(gè)基.12n子空間定義：稱(chēng)W是V的子空間，若W是V的非空子集；W對(duì)于V的加法，數(shù)乘封閉.從本質(zhì)上說(shuō)子空間就是一個(gè)線(xiàn)性空間.運(yùn)算：V + V = a +a I a g V,a g V ;12121122匕 口 V = a I a g 匕且 aG V .由S張成的子空間S: S中向量所有可能的線(xiàn)性組合構(gòu)成的子空間.S是包含S的V的最小子空間; dimS= r(S);S的極大無(wú)關(guān)組是S的

6、基;3.5.(4) V UV 主 V + V ,例 V = (a,0) I a g F, V (0, a )I a g F.但V UV= V + V .1212121212直和：V匕.Vo ZmV中任意向量的表示法唯一o ZmV中零向量的表示法唯 i = 1 ii = 1 ioVnE V = 0,i = 1,2,.,m oV。Z i-1 V ,i = 1,2,.,m-1i E jij=1 joZm V dim = dimZm V o V的基可拼湊成Zm V的基，i = 1,2,.m. TOC o 1-5 h z i=1 ii=1 i ii=1 i注意:V = 0,1 i主j m A VVVi j12mV = V V o V = V + V 且 VV =0121212o V = V + V 且 dim V + dim V = dim( V + V )121212o V n V =0 且 dim 匕 + dim V = dim(V