世紀(jì)金榜二輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)專題四第三講課件

1、第三講 與數(shù)列交匯的綜合問題第1頁，共70頁。1.(2013南京模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，若S3,S9,S6成等差數(shù)列，則 的值是_.第2頁，共70頁。【解析】依題設(shè)知，2S9=S3+S6,顯然公比q1,所以即2(1-q9)=1-q3+1-q6,所以2q9=q3+q6.又因?yàn)閝0,所以2q6=1+q3,答案： 第3頁，共70頁。2.(2013天津模擬)在等差數(shù)列an中，a1=1,a7=4,數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b1=6,b2=a3,則滿足bna261的最小正整數(shù)n為_.【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，a1=1,a7=4,所以1+6d=4,解得因?yàn)閿?shù)列bn是等比數(shù)列，且b1=6

2、,b2=a3,所以第4頁，共70頁。解得因?yàn)閎na261,所以整理，得所以n-14,解得n5,所以最小正整數(shù)n=6.答案：6第5頁，共70頁。3.(2013昆明模擬)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且a1a13+2a72=5，則cos(a2a12)的值為_.【解析】在等比數(shù)列中,a1a13+2a72=a72+2a72=3a72=5，所以a72=所以cos(a2a12)=cos(a72)=答案:第6頁，共70頁。4.(2013青島模擬)在如圖的表格中，每格填上一個數(shù)字后，使得每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a+b+c的值為_.第7頁，共70頁?！窘馕觥坑深}意知2a=1，所以 第三列和第五列的公

3、比都為 設(shè)第四行第五列數(shù)為m，則 所以 即 所以答案:1第8頁，共70頁。5.(2013安慶模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，且(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=log3(1-Sn+1)(nN*)，求適合方程 的正整數(shù)n的值.第9頁，共70頁。【解析】(1)當(dāng)n=1時，a1=S1，由 得當(dāng)n2時，因?yàn)樗运运詀n是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.故第10頁，共70頁。(2)bn=解方程 得n=100.第11頁，共70頁。熱點(diǎn)考向 1 數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例1】(1)(2013黃岡模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=2x-cos x,g(x)=2x+sin x,數(shù)列an是公差為 的等

4、差數(shù)列，若則(2)已知函數(shù)f(x)= M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為 的點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn).第12頁，共70頁。求證：y1+y2為定值；若 求Sn；在的條件下，若Tn為數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，若Tnm(Sn+1+1)對一切nN*都成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.第13頁，共70頁?！窘忸}探究】(1)求 的關(guān)鍵點(diǎn).由g(x)=2x+sin x知=第14頁，共70頁。(2)根據(jù)點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，可得x1+x2是多少？提示：x1+x2=1.根據(jù)x1+x2=1，y1+y2為定值及 可采用什么方法求Sn？提示：倒序相加法.第15頁，共70頁。求實(shí)數(shù)m取值范圍的步驟：(

5、)求an:當(dāng)n2時，an= ,當(dāng)n=1時，a1= 適合上式.()求Tn:Tn= .()分離參數(shù)m:根據(jù)Tnm(Sn+1+1),可得m 即m .()求最值，確定m的范圍：利用m大于 的最大值，求m的范圍.第16頁，共70頁?！窘馕觥?1)由g(x)=2x+sin x知 所以由得答案：0第17頁，共70頁。(2)由已知可得，x1+x2=1,所以=由知當(dāng)x1+x2=1時,y1+y2=f(x1)+f(x2)=1.Sn=第18頁，共70頁。Sn= (b)(a)+(b)得當(dāng)n2時，an=又當(dāng)n=1時， 所以故第19頁，共70頁。因?yàn)門nm(Sn+1+1)對一切nN*都成立，即 恒成立，又所以m的取值范圍是

6、第20頁，共70頁?！痉椒偨Y(jié)】數(shù)列與函數(shù)交匯問題的常見類型及解法(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、分式、求和方法對式子化簡變形.另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解.第21頁，共70頁?！咀兪接?xùn)練】(2013啟東模擬)已知無窮數(shù)列an中，a1,a2,，am是首項(xiàng)為10，公差為-2的等差數(shù)列；am+1,am+2,，a2m是首項(xiàng)為 公比為 的等比數(shù)列(其中m3,mN*)，并對任意的nN*，均有an+2m=an成立.(1)當(dāng)m=12時，求a2 010.

7、(2)若a52= 試求m的值.(3)判斷是否存在m(m3,mN*)，使得S128m+32 010成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由.第22頁，共70頁?！窘馕觥?1)當(dāng)m=12時，數(shù)列an的周期為24.因?yàn)? 010=2483+18,而a18是等比數(shù)列中的項(xiàng)，所以a2 010=a18=a12+6=(2)設(shè)am+k是第一個周期中等比數(shù)列中的第k項(xiàng)，則am+k=因?yàn)?所以等比數(shù)列中至少有7項(xiàng)，即m7，則一個周期中至少有14項(xiàng).所以a52最多是第三個周期中的項(xiàng).若a52是第一個周期中的項(xiàng)，則a52=am+7=所以m=52-7=45;第23頁，共70頁。若a52是第二個周期中的項(xiàng)，則a5

8、2=a3m+7=所以3m=45,m=15;若a52是第三個周期中的項(xiàng)，則a52=a5m+7=所以5m=45,m=9;綜上，m=45或15或9.第24頁，共70頁。(3)2m是此數(shù)列的周期.所以S128m+3表示64個周期及等差數(shù)列的前3項(xiàng)之和.所以S2m最大時，S128m+3最大.因?yàn)镾2m=第25頁，共70頁。當(dāng)m=6時,S2m=31-當(dāng)m5時，S2m當(dāng)m7時，S2mcn恒成立,由cn+1-cn=3n+1-t(-2)n+1-3n-t(-2)n=23n+3t(-2)n0恒成立.即 恒成立.當(dāng)n為奇數(shù)時，即 恒成立.又 的最小值為1，所以t1.第37頁，共70頁。當(dāng)n為偶數(shù)時，即 恒成立，又 的

9、最大值為 所以即 又t為非零整數(shù)，所以t=-1，使得對任意nN*，都有cn+1cn.第38頁，共70頁。熱點(diǎn)考向 3 數(shù)列與不等式的綜合【典例3】(2013寧波模擬)設(shè)公比大于零的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,S4=5S2,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,滿足b1=1,Tn=n2bn,nN*.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)cn=(Sn+1)(nbn-),若數(shù)列cn是單調(diào)遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍.第39頁，共70頁?！窘忸}探究】(1)數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式的求解思路:等比數(shù)列an中,由a1=1,S4=5S2可得關(guān)于公比q的方程為 ,從而可求得q=_;數(shù)列bn中,由Tn=n2

10、bn可得Tn-1=_,從而可得 = (n1),故可用_求bn.2(n-1)2bn-1累乘法第40頁，共70頁。(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍的三個關(guān)鍵點(diǎn)：把cn用n,表示為計算cn+1cn= ；由數(shù)列cn是單調(diào)遞減數(shù)列可知,cn+1-cn0對nN*都成立,把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.第41頁，共70頁?！窘馕觥?1)由S4=5S2，q0,知q0且q1，所以 所以q=2,an=2n-1, 又則得所以 當(dāng)n=1時也滿足.第42頁，共70頁。(2)Sn=2n1，所以 若數(shù)列cn是單調(diào)遞減數(shù)列，則 對nN*都成立， 即當(dāng)n=1或2時， 所以第43頁，共70頁?！痉椒偨Y(jié)】1.證明與數(shù)列交匯的不等式問題的

11、常用方法(1)作差比較法證明.(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)數(shù)列的取值范圍證明.(3)合理利用放縮法證明.第44頁，共70頁。2.數(shù)列中不等式的放縮技巧(1)(2)(3)(4)利用(1+x)n的展開式進(jìn)行放縮第45頁，共70頁。【變式訓(xùn)練】(2013南通模擬)已知數(shù)列an滿足：a1=a+2(a0),an+1= nN*.(1)若a=0,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=|an+1-an|，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,證明：Sn0.兩邊取對數(shù)，得lg 2+2lg an+1=lg an,化為lg an+1+lg 2= (lg an+lg 2),因?yàn)閘g a1+lg 2=2lg 2,所以數(shù)列l(wèi)g an+

12、lg 2是以2lg 2為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.所以lg an+lg 2= 所以an=第47頁，共70頁。(2)由an+1= 得2an+12=an+a, 當(dāng)n2時，2an2=an-1+a, -，得2(an+1+an)(an+1-an)=an-an-1,由已知得an0,所以an+1-an與an-an-1同號.因?yàn)閍2= 且a0，所以a12-a22=(a+2)2-(a+1)=a2+3a+30恒成立，第48頁，共70頁。所以a2-a10,所以an+1-an0.因?yàn)閎n=|an+1-an|,所以bn=-(an+1-an),所以Sn=-(a2-a1)+(a3-a2)+(an+1-an)=-(an+1-

13、a1)=a1-an+1a1.第49頁，共70頁?！镜淅吭O(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,且bn=2-2Sn;數(shù)列an為等差數(shù)列,且a5=14,a7=20.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.(2)若cn=anbn(n=1,2,3,),Tn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和,求證:第50頁，共70頁?！窘馕觥?1)由bn=2-2Sn,令n=1,則b1=2-2S1,又S1=b1,所以當(dāng)n2時,由bn=2-2Sn,可得bn-1=2-2Sn-1,所以bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即所以bn是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，于是第51頁，共70頁。(2)由數(shù)列an為等差數(shù)列，且a5=14,a7=20,可得公差

14、可得an=3n-1,從而cn=anbn=所以所以第52頁，共70頁。所以=則所以所以數(shù)列Tn單調(diào)遞增.所以TnT1,而即 成立.第53頁，共70頁?！痉椒偨Y(jié)】證明不等式的常用方法(1)比較法:最基本的方法是作差比較法.(2)分析法與綜合法:一般是利用分析法分析,再利用綜合法證明.(3)反證法:常用來證明一些否定性命題.(4)放縮法:主要是通過分子、分母的擴(kuò)大或縮小，項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.第54頁，共70頁。函數(shù)與方程思想解決數(shù)列中的最值問題【思想詮釋】1.主要類型：(1)數(shù)列中的恒成立問題的求解.(2)數(shù)列中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問題的求解.(3)數(shù)列中前n項(xiàng)和的最值問題.(4)證明

15、不等式時構(gòu)建函數(shù)求最值(值域).2.解題思路：結(jié)合條件與待求問題，把所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)或方程問題求解.第55頁，共70頁。3.注意事項(xiàng)：(1)數(shù)列是定義在N*或其子集上的特殊函數(shù)，因此樹立函數(shù)意識是解決數(shù)列問題的最基本要求.(2)求解過程中要注意項(xiàng)數(shù)n的取值范圍，防止出錯.第56頁，共70頁?！镜淅?14分)(2013天津模擬)已知函數(shù)f(x)=logmx(m為常數(shù)，0m1)，且數(shù)列f(an)是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.(1)若bn=anf(an)，當(dāng) 時，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.(2)設(shè)cn=anlg an，如果cn中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，求m的取值范圍.第57頁，共70

16、頁?！緦忣}】分析信息，形成思路(1)切入點(diǎn)：求f(an)，進(jìn)而求出an；關(guān)注點(diǎn)：求Sn時應(yīng)注意求和方法的選擇.(2)切入點(diǎn)：根據(jù)an求cn,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；關(guān)注點(diǎn)：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值.第58頁，共70頁。【解題】規(guī)范步驟，水到渠成(1)由題意f(an)=2+(n-1)2=2n,即logman=2n,所以an=m2n.bn=anf(an)=2nm2n,當(dāng) 時， 2分所以 ()第59頁，共70頁。 ()()()，得 = 5分所以 7分第60頁，共70頁。(2)由(1)知,cn=anlgan=2nm2nlgm,要使cncn+1對一切nN*成立,即nlgm(n+1)m2lgm對

17、一切nN*成立.0m1,所以lgm(n+1)m2,對一切nN*恒成立,只需 10分 單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=1時， .12分第61頁，共70頁。所以 且0m1， 所以0m所以m的范圍為 14分第62頁，共70頁。【點(diǎn)題】規(guī)避誤區(qū)，失分警示 失分點(diǎn)一題中處容易在作差時出現(xiàn)漏項(xiàng)或符號錯誤失分點(diǎn)二不能把條件轉(zhuǎn)化為題中處的不等式導(dǎo)致無法求解失分點(diǎn)三處不會利用函數(shù)的單調(diào)性求最小值致誤第63頁，共70頁?！咀冾}】變式訓(xùn)練，能力遷移數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,對于任意nN*,總有2Sn=an2+an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)正數(shù)數(shù)列cn滿足an+1=(cn)n+1(nN*),求數(shù)列cn中的最大項(xiàng).第64頁，共70頁?！窘馕觥?1)由已知：對于任意nN*,總有2Sn=an+an2成立,所以2Sn-1=an-1+an-12 (n2)-得2an=an+an2-an-1-an-12,所以an+an-1=(an+an-1)(an-an-1),因?yàn)閍n,an-1均為正數(shù)，所以an-an-1=1(n2),所以數(shù)列an是公差為