時間序列分析1(8.30)

1、時間序列分析信息與通信工程學院 葉方學習內容什么是隨機時間序列 為什么要討論隨機時間序列 如何進行隨機時間序列分析利用時間序列分析解決實際工程問題離散隨機過程為什么要討論隨機時間序列 時間序列包含了產生該序列的系統(tǒng)的歷史行為的全部信息，問題在于怎樣才能根據這些時間序列較精確的找出相應系統(tǒng)的內在統(tǒng)計特性和發(fā)展規(guī)律，盡可能多地從中提取出我們所需要的準確信息。根據系統(tǒng)的有限長度的運行記錄（觀測數據），建立能夠比較精確反映時間序列中所包含的動態(tài)依存關系的數學模型，通過對隨機序列的分析，達到解決預測、決策、濾波（將有關信息從無關信息中濾出）和檢測等問題。時間序列的特點時間序列與其他變量數列不同，序列中的

2、觀察值是按照一定順序取得的，并保持其順序不變，只有這樣才能保證研究現象的歷史發(fā)展過程不改變。時間序列的觀察值之間存在一定得依存關系，而數理統(tǒng)計研究的其他變量數列一般要求變量各自獨立。時間序列分析要定量的描述這種依存關系。時間序列根據預測變量本身或其它相關變量過去的變化規(guī)律動態(tài)預測未來的變化，而非根據變量間的靜態(tài)相關關系來預測。時間序列與數理統(tǒng)計學的區(qū)別數理統(tǒng)計的樣本值是對同一隨機變量進行多次獨立重復試驗的結果，是多個相互獨立、同分布的隨機變量序列的一個實現。時間序列是某一隨機過程的一次樣本實現。數理統(tǒng)計學中進行統(tǒng)計推斷的目的主要是對一個隨機變量的分布參數進行估計或假設檢驗。時間序列分析中是對某

3、一個時間序列建立統(tǒng)計模型。數理統(tǒng)計學中的回歸模型描述的是因變量和其它變量之間的統(tǒng)計靜態(tài)依存關系。時間序列分析中自回歸模型描述的是某一變量自身變化的統(tǒng)計規(guī)律。如何進行時間序列分析 掌握平穩(wěn)隨機序列統(tǒng)計特性及譜特性掌握時間序列的數學模型，從時域和頻域分別進行探討。 （1）模型的建立（包括ARMA、AR、MA模型） （2）模型的平穩(wěn)性和可逆性 （3）模型性質（譜密度、自相關函數、偏相關函數） （4）參數和相關函數的關系、參數估計利用時間序列數學模型進行預測、實際工程分析本課時主要學習內容回顧一元回歸線模型學習一元自回歸線模型建立ARMA模型、AR模型、MA模型探討上述三個模型之間的關系一元線性回歸模

4、型 一元線性回歸模型由于是 確定性函數，因此 的隨機性完全由 的隨機性所引起 正是由于 是白噪聲，所以 完全回歸于 物理含義參數的最小二乘估計一元線性自回歸模型一元線性回歸模型中觀測數據對：若以 組成數據對： 相應回歸模型變?yōu)橐辉€性自回歸模型 自回歸模型 定義 設 為零均值的平穩(wěn)時間序列。階數為P的自回歸模型為： 其中：白噪聲自回歸系數 常數p（正整數）叫做階數 自回歸AR（p）模型引入延遲算子 的根全在單位圓外，即所有的根的模大于1，則稱此條件為 AR（p）模型的平穩(wěn)性條件。(2) 在滿足平穩(wěn)性條件時， 存在且一般為B的冪級數，則 為AR（p）模型的逆轉形式。AP（p）模型可以看作是把相關

5、的 變?yōu)橐粋€不相關序列 的系統(tǒng)。 滑動平均模型 定義設 為零均值的平穩(wěn)時間序列。階數為q的滑動平均模型為： 常數q（正整數）叫做階數 滑動平均系數 滑動平均MA（q）模型引入延遲算子 的根全在單位圓外，即所有的根的模大于1，則稱此條件為 MA（q）模型的可逆性條件 。(2) 在滿足可逆性條件時， 存在且一般為B的冪級數，則 為MA（q）模型的逆轉形式。 MA（q）模型可以 看作是白噪聲序 列 輸入線性系統(tǒng)的輸出 。 自回歸滑動平均ARMA(p,q)模型 定義 引入延遲算子設 為零均值的平穩(wěn)時間序列。 p階自回歸 q 階滑動平均混合模型： 其中， 、 無公共因子， 滿足平穩(wěn)性條件， 滿足可逆性條

6、件。ARMA模型的物理背景和物理含義 從數理統(tǒng)計的角度看，它是一個轉化器將相關的平穩(wěn)時序轉化為獨立的平穩(wěn)時序。從信號處理的角度看，它是一個估計器利用已有的觀測數據對某一位置數據的取值進行估計。當此未知數據是過去的歷史數據時，ARMA模型是一個平滑器；當此未知數據是現在數據時，ARMA模型是一個預測器。從信息論的角度看，它是一個信息的凝聚器，將大量數據所蘊含的信息凝聚成少數幾個模型參數，便于分析。從系統(tǒng)分析的角度看，它是一個以白噪聲為輸入的、與某一實際物理系統(tǒng)輸出等價的系統(tǒng)離散動力學方程，用以反映實際系統(tǒng)的特性。ARMA(p,q)序列VS具有理譜的平穩(wěn)序列具有理譜的平穩(wěn)序列定義 設是 零均值平穩(wěn)序列，它的譜密度 是 的有理函數：其中， 與 是 的實系數多項式 與 無公共因子，且零點全部在復平面上的單位圓 之外，即 滿足可逆性， 滿足平穩(wěn)性，則稱是 具有有理譜密度的平穩(wěn)序列。 ARMA(p,q)序列VS具有理譜的平穩(wěn)序列隨機差分方程的平穩(wěn)解定理 具有有理譜密度的均值為零的平穩(wěn)序列，一定是隨機差分方程的一個平穩(wěn)解。反之，方程的平穩(wěn)解一定具有有理譜密度。設 滿足可逆性， 滿足平穩(wěn)性，如果均值為零的平穩(wěn)序列 滿足： 則稱