時間序列分析1(8.30)

1、時間序列分析信息與通信工程學(xué)院 葉方學(xué)習(xí)內(nèi)容什么是隨機(jī)時間序列 為什么要討論隨機(jī)時間序列 如何進(jìn)行隨機(jī)時間序列分析利用時間序列分析解決實際工程問題離散隨機(jī)過程為什么要討論隨機(jī)時間序列 時間序列包含了產(chǎn)生該序列的系統(tǒng)的歷史行為的全部信息，問題在于怎樣才能根據(jù)這些時間序列較精確的找出相應(yīng)系統(tǒng)的內(nèi)在統(tǒng)計特性和發(fā)展規(guī)律，盡可能多地從中提取出我們所需要的準(zhǔn)確信息。根據(jù)系統(tǒng)的有限長度的運行記錄（觀測數(shù)據(jù)），建立能夠比較精確反映時間序列中所包含的動態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，通過對隨機(jī)序列的分析，達(dá)到解決預(yù)測、決策、濾波（將有關(guān)信息從無關(guān)信息中濾出）和檢測等問題。時間序列的特點時間序列與其他變量數(shù)列不同，序列中的

2、觀察值是按照一定順序取得的，并保持其順序不變，只有這樣才能保證研究現(xiàn)象的歷史發(fā)展過程不改變。時間序列的觀察值之間存在一定得依存關(guān)系，而數(shù)理統(tǒng)計研究的其他變量數(shù)列一般要求變量各自獨立。時間序列分析要定量的描述這種依存關(guān)系。時間序列根據(jù)預(yù)測變量本身或其它相關(guān)變量過去的變化規(guī)律動態(tài)預(yù)測未來的變化，而非根據(jù)變量間的靜態(tài)相關(guān)關(guān)系來預(yù)測。時間序列與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的區(qū)別數(shù)理統(tǒng)計的樣本值是對同一隨機(jī)變量進(jìn)行多次獨立重復(fù)試驗的結(jié)果，是多個相互獨立、同分布的隨機(jī)變量序列的一個實現(xiàn)。時間序列是某一隨機(jī)過程的一次樣本實現(xiàn)。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中進(jìn)行統(tǒng)計推斷的目的主要是對一個隨機(jī)變量的分布參數(shù)進(jìn)行估計或假設(shè)檢驗。時間序列分析中是對某

3、一個時間序列建立統(tǒng)計模型。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的回歸模型描述的是因變量和其它變量之間的統(tǒng)計靜態(tài)依存關(guān)系。時間序列分析中自回歸模型描述的是某一變量自身變化的統(tǒng)計規(guī)律。如何進(jìn)行時間序列分析 掌握平穩(wěn)隨機(jī)序列統(tǒng)計特性及譜特性掌握時間序列的數(shù)學(xué)模型，從時域和頻域分別進(jìn)行探討。 （1）模型的建立（包括ARMA、AR、MA模型） （2）模型的平穩(wěn)性和可逆性 （3）模型性質(zhì)（譜密度、自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)） （4）參數(shù)和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、參數(shù)估計利用時間序列數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測、實際工程分析本課時主要學(xué)習(xí)內(nèi)容回顧一元回歸線模型學(xué)習(xí)一元自回歸線模型建立ARMA模型、AR模型、MA模型探討上述三個模型之間的關(guān)系一元線性回歸模

4、型 一元線性回歸模型由于是 確定性函數(shù)，因此 的隨機(jī)性完全由 的隨機(jī)性所引起 正是由于 是白噪聲，所以 完全回歸于 物理含義參數(shù)的最小二乘估計一元線性自回歸模型一元線性回歸模型中觀測數(shù)據(jù)對：若以 組成數(shù)據(jù)對： 相應(yīng)回歸模型變?yōu)橐辉€性自回歸模型 自回歸模型 定義 設(shè) 為零均值的平穩(wěn)時間序列。階數(shù)為P的自回歸模型為： 其中：白噪聲自回歸系數(shù) 常數(shù)p（正整數(shù)）叫做階數(shù) 自回歸AR（p）模型引入延遲算子 的根全在單位圓外，即所有的根的模大于1，則稱此條件為 AR（p）模型的平穩(wěn)性條件。(2) 在滿足平穩(wěn)性條件時， 存在且一般為B的冪級數(shù)，則 為AR（p）模型的逆轉(zhuǎn)形式。AP（p）模型可以看作是把相關(guān)

5、的 變?yōu)橐粋€不相關(guān)序列 的系統(tǒng)。 滑動平均模型 定義設(shè) 為零均值的平穩(wěn)時間序列。階數(shù)為q的滑動平均模型為： 常數(shù)q（正整數(shù)）叫做階數(shù) 滑動平均系數(shù) 滑動平均MA（q）模型引入延遲算子 的根全在單位圓外，即所有的根的模大于1，則稱此條件為 MA（q）模型的可逆性條件 。(2) 在滿足可逆性條件時， 存在且一般為B的冪級數(shù)，則 為MA（q）模型的逆轉(zhuǎn)形式。 MA（q）模型可以 看作是白噪聲序 列 輸入線性系統(tǒng)的輸出 。 自回歸滑動平均ARMA(p,q)模型 定義 引入延遲算子設(shè) 為零均值的平穩(wěn)時間序列。 p階自回歸 q 階滑動平均混合模型： 其中， 、 無公共因子， 滿足平穩(wěn)性條件， 滿足可逆性條

6、件。ARMA模型的物理背景和物理含義 從數(shù)理統(tǒng)計的角度看，它是一個轉(zhuǎn)化器將相關(guān)的平穩(wěn)時序轉(zhuǎn)化為獨立的平穩(wěn)時序。從信號處理的角度看，它是一個估計器利用已有的觀測數(shù)據(jù)對某一位置數(shù)據(jù)的取值進(jìn)行估計。當(dāng)此未知數(shù)據(jù)是過去的歷史數(shù)據(jù)時，ARMA模型是一個平滑器；當(dāng)此未知數(shù)據(jù)是現(xiàn)在數(shù)據(jù)時，ARMA模型是一個預(yù)測器。從信息論的角度看，它是一個信息的凝聚器，將大量數(shù)據(jù)所蘊含的信息凝聚成少數(shù)幾個模型參數(shù)，便于分析。從系統(tǒng)分析的角度看，它是一個以白噪聲為輸入的、與某一實際物理系統(tǒng)輸出等價的系統(tǒng)離散動力學(xué)方程，用以反映實際系統(tǒng)的特性。ARMA(p,q)序列VS具有理譜的平穩(wěn)序列具有理譜的平穩(wěn)序列定義 設(shè)是 零均值平穩(wěn)序列，它的譜密度 是 的有理函數(shù)：其中， 與 是 的實系數(shù)多項式 與 無公共因子，且零點全部在復(fù)平面上的單位圓 之外，即 滿足可逆性， 滿足平穩(wěn)性，則稱是 具有有理譜密度的平穩(wěn)序列。 ARMA(p,q)序列VS具有理譜的平穩(wěn)序列隨機(jī)差分方程的平穩(wěn)解定理 具有有理譜密度的均值為零的平穩(wěn)序列，一定是隨機(jī)差分方程的一個平穩(wěn)解。反之，方程的平穩(wěn)解一定具有有理譜密度。設(shè) 滿足可逆性， 滿足平穩(wěn)性，如果均值為零的平穩(wěn)序列 滿足： 則稱