黃金分割及比例線段

1、1、“黃金分割”之美3、黃金分割矩形5、美妙的黃金分割和黃金數(shù)7、中考黃金分割問題兩例9、“比例線段”變式多多11、巧用面積比來證線段比2、“黃金分割”應用兩例4、人體中的黃金分割之美6、線段黃金分割點的幾種求法8、“黃金分割”考題透視10、證明比例線段 方法多多12、巧用面積比，妙解幾何題1、“黃金分割”之美黃金分割是指一條直線（或矩形）被分割成兩個不同的部分，分割點（或線）較小的部分分割成一定的比例（如下圖所示）AC。具體的比例公式是： BC將較大的部分與AB（AC為長邊，BC為AC短邊），其比值約為1.618 ： 1或1 ： 0.618 。AB= 1.618AC=1.618BC黃金分割廣

2、泛應用于建筑、藝術(shù)與設(shè)計中。 如圖早在埃及設(shè)計金字塔的時候就開始使用黃金分割,古希臘的巴臺農(nóng)神廟是希臘繁榮和美德的象征，它的外框矩形 是黃金比.這樣的矩形稱為黃金矩形.ABCD勺寬與長的比i THE OOLDEM BECTIQN古希臘幾何學家畢達哥拉斯對黃金分割甚感興趣，他提出人身體的各個部分就是以確定的黃金 比例分布的。達芬奇的蒙娜里莎，也是個很好的例子，如圖著名的巴黎圣母院的設(shè)計中也應用了黃金分割，如圖芭蕾舞演員翩翩起舞時不時地踮起腳尖，就為了使肚臍以下的部分和身高的比值接近 0.618.電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，也往往是站在近于舞臺的“黃金分割點”處，顯得 自然大方.生活中還我許許多多

3、地方存在“黃金分割”。2、“黃金分割”應用兩例“黃金分割”雖然不好理解，但運用其實也很廣，現(xiàn)舉兩例與大家共賞。例1 .如圖1,已知線段AB,點C在AB上，且有上C BC ,則由C的數(shù)值為;AB AC AB若AB的長度與中央電視臺演播廳舞臺的寬度一樣長，那么節(jié)目主持人應站在 位置最好。AC B析解：由黃金分割的定義可知 區(qū)的數(shù)值為蟲。依據(jù)“黃金分割”知識可知節(jié)目主 AB2持人站在線段AB的黃金點C,這樣臺下的觀眾看上去感覺最好.點評：本題實際上是屬于黃金分割問題，即若點 C把線段AB分成兩條線段AC和BC (AC BC),且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的

4、黃金分割點.例2.若一個矩形的短邊與長邊的比值為存(黃金分割數(shù))，我們把這樣的矩形叫做 黃金矩形。(1)操作：請你在圖2所示的黃金矩形ABCD (ABAD )中，以短邊AD為一邊作正 方形AEFD ;(2)探究：在(1)中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是， 請說明理由；(3)歸納：通過上述操作及探究，請概括出具有一般性的結(jié)論(不需要證明)。圖2析解：(1)在AB、DC邊上，分別截取AEDF所求作的正方形，如圖3所示;(2)在圖3中，不妨設(shè)AB = a,由題意可知：BC=W5a, FC=-5a,則FC: 22BC= 弓，按照黃金矩形的定義可知四邊形 EBCF是黃金矩形;(

5、3)由上面的求解可以得出：在黃金矩形內(nèi)，以黃金矩形的短邊為一邊在該矩形內(nèi)作 一個正方形，則由此在該矩形內(nèi)又新得到一個矩形，則這個新矩形也為黃金矩形.3、黃金分割矩形美麗宜人的黃金分割矩形是古希臘時代被認為地球上最具有調(diào)和性而美麗的比例。在古希臘時代，除了著名的巴特農(nóng)神殿之外(如右圖1),有許 值立 U L1 J噴 TOC o 1-5 h z 多建筑物、美術(shù)品、工藝品都具有十分接近黃金分，割的作品。文藝復興時代的萬能藝術(shù)家達文西N l(Leonardo da Vinci,14521519據(jù)說用黃金分割的長k . 方形繪畫。黃金分割不僅是幾何學，也是整個數(shù)學話F ，蟲型H用的重要內(nèi)容。十七世紀德國

6、著名的天文學家、數(shù)學_ 二 二木事妗籍家開普勒(kepler,15711630曾經(jīng)這樣說過： 幾何學里有兩件寶，一是勾股定理，另一個是黃金分割”。所謂的黃金分割矩形，是指矩形的長：寬= 底：1,黃金分割矩形有一種特別的性質(zhì)：在這種矩形中分出一個以寬為邊長的正方形后，余下的矩形仍然是一個黃金分 割矩形(如圖2),由于它具有這一特性，因此每次余下的矩形都與原矩形相似，也就 是說黃金分割矩形具有碎形自相似性的特質(zhì)。至于黃金螺旋，則是將黃金矩形依黃金比例的長寬比往外擴張，然后將正方形頂點依序連接起來，就成為“黃金螺旋”如圖 3, 4, 5。同樣地， 黃金螺旋也普遍存在于自然界中，如下右圖6的鸚鵡螺即

7、是最著名的例子4、人體中的黃金分割之美人是萬物之靈.大自然賦予了健康、迷人魅力的人體黃金分割比率.經(jīng)過研究與分析，人們發(fā)現(xiàn)，在人體中也包含著多種“黃金分割”的比例因素， 至少可以找出：18個“黃金點”（如圖1:臍為頭頂至腳底之分割點、喉結(jié)為頭頂至臍分割點、 眉間點為發(fā)緣點至領(lǐng)下的分割點等）；15個“黃金矩形”（如軀干輪廓、頭部輪廓、面部輪廓、口唇輪廓等）；6 個“黃金指數(shù)”（如鼻唇指數(shù)是指鼻翼寬度與口裂長之比、 唇目指數(shù)是指口裂長度 與兩眼外眥間距之比、唇高指數(shù)是指面部中線上下唇紅高度之比等） ；3個“黃金三角”（如外鼻正面觀三角、外鼻側(cè)面觀三角、鼻根點至兩側(cè)口角點 組成的三角等）.止匕外，健

8、美的人體（如古希臘雕塑米羅的維納斯看上去健美漂亮就是典型的 例子，19世紀以來，世界各國的選美標準大部分都依據(jù) 米羅的維納斯身材各部分的 尺寸.她的體形符合希臘人關(guān)于美的理想與規(guī)范，身長比例接近利西普斯所追求的人體美標準，即身與頭之比為8 ： 1.由于8為3加5之和，這就可以分割成1 ： 3 ： 5,這就 是“黃金分割律”，這個比例成為后代藝術(shù)家創(chuàng)造人體美的準則.）亦有多組比例符合黃 金分割比.如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到 頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割.任取一條線段AB,在AB上找C就叫做線段AB的黃金分割點,每條線段都有兩個黃

9、金分割點點C是線段AB的黃金分割點，同柞KAC, BC如果任BC ,則 AB ACAB分成AD BD,如果BD 處， 圖 3AB BD則點D也是線段AB的黃金分割點.那么黃金分割點到底在什么位置呢？讓我們來算 TOC o 1-5 h z 如圖，設(shè) AC = x,那么 BC = ABAC=ABxAC B由于AC2 = AB . CB, 所以x2 = AB(AB -x)解這個方程得x 巫AB,即AC=Y5AB0.618AB.22這個黃金分割值0.618就是人們所說的“黃金數(shù)”.黃金數(shù)0.618是十分有趣的，0.618的倒數(shù)是 1.618，而 0.618 X 1.618 = 1.D 丫 F用紙可以折

10、出黃金比例，裁一張正方形紙片ABCD,先：I折出BC的中點E,然后折出直線AE,再通過折疊，使EB落j E到直線EA上，折出點B的新位置G因而EG = EB.類似的，*力在AB上折出點X,使AX = AG,折出的點X就是AB的黃金分 L3 Z I割點.你不妨算一算.A XF B數(shù)學家法布蘭斯在13世紀寫了 一本書，其中有這樣一些數(shù)的組 合:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,它們有以下一些特點:.數(shù)列中任意數(shù)字都是由前面兩個數(shù)字之和構(gòu)成；.前一數(shù)字與后一數(shù)字之比趨近于一固定常數(shù)0.618;.后一數(shù)字與前一數(shù)字之比趨近于1.618;4.1.618與0.618互為

11、倒數(shù)，其乘積約等于1;5.任一數(shù)字與它后面第二個數(shù)字相比，其值趨近于0.382;與它前面第二個數(shù)字相比其值趨近于2.618.在所有矩形中，短邊與長邊之比為 神的矩形最為美觀，人們把這種長與寬的比2值近似于0.618的矩形稱為“黃金矩形”.在正五角星中有兩種特殊的等腰三角形，一種是頂角為360的等腰三角形，一種是底角為360的等腰三角形，畢達哥拉斯學派把它們稱為“黃金三角形”.黃金分割是幾何中的一個著名問題，它實際上是比例線段問題.黃金分割有著廣泛 的應用，如在設(shè)計工藝品或日常用品的寬與長時，常設(shè)計成寬與長的比近似為 0.618,這 樣易引起美感；在拍照時，常把主要景物攝在接近于畫面的黃金分割點

12、處，會顯得更加協(xié)調(diào)、悅目；舞臺上報幕員報幕時總是站在近于舞臺的黃金分割點處，這樣音響效果就比 較好，而且顯得自然大方.黃金分割與人體也有很大關(guān)系，人的肚臍把人從頭到腳作了黃 金分割，上肢的黃金分割點在肘關(guān)節(jié)，肚臍以上部分的黃金點在咽喉，肚臍以下部分的黃 金點在膝蓋.生物學家發(fā)現(xiàn)植物種類繁多、葉子形態(tài)各異，但是葉子在莖上的排列卻有著特殊的 規(guī)律.我們從某種植物的頂端往下看，便會發(fā)現(xiàn)上下層相鄰的兩片葉子之間所構(gòu)成的角約 為137.50，如果每層葉子只畫一片來表示，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度約為 137.50，以后二層到三層、三層到四層、四層到五層兩葉之間都成這個角度，這個角 度對葉子的通風

13、和采光最為有利.這葉子之間的1370角與黃金數(shù)又有什么聯(lián)系呢？我 們知道，一周為 3600, 137.50: （3600 137.50） =137.50: 222.50= 0.618.也就是說，各 種植物葉子的生長規(guī)律中自然隱藏著黃金數(shù).在日常生活中，還存在著許多令人費解的“黃金分割”之謎科學家們發(fā)現(xiàn)，當外界環(huán)境 的溫度約為人體體溫的0.618倍時，人會感到最舒適.我們的書本和窗戶，其形狀大都基 本符合黃金分割.黃金分割留給我們的是永遠的美和未解的謎，它到底反映了一個什么樣 的普遍規(guī)律呢？但愿你能有所發(fā)現(xiàn)！6、線段黃金分割點的幾種求法所謂黃金分割，就是一點C把一條線段（AB）分成兩條線段，使其

14、中較長的線段（AC） 是較短線段（BC）和整個線段（AB）的比例中項（如圖1所示）.-1AcB圖1下面介紹黃金分割點C的幾種求法，供同學們學習時參考.黃金分割點的幾何求法已知：線段AB求作：線段AB的黃金分割點作法：如圖2所示，(2)連結(jié)AD,在AD上截取DE=BD;(3)在AB上截取 AC=AE .則點C就是所求的黃金分割點.證明：v AC = AE = AD 2 AB , 2而 AD = /aBBD2. AC = Jab2 (雪2 1AB= 在AB1AB = 5_AB. 22222.C點是線段AB的黃金分割點.黃金分割點的代數(shù)求法已知：線段AB求作：線段AB的黃金分割點C.分析：設(shè)C點為所

15、求作的黃金分割點，則= ABrCB 即AC+AB * AC- AS1 = 0解這個方程，得AC 二拉方 0,618 月32所以C點可作.注意：方程月C*AB1 = 0的解法將在九年級一元二次方程時學.黃金分割點的近似求法已知：線段AB求作：線段AB的黃金分割點.分析：若不限于尺規(guī)作圖，用量角器可以作以線段 AB為一腰，頂角/A=36。的等 腰三角形ABC,如圖3所示，然后作/ACB的平分線CD交AB于點D.則點D就是線段AB的黃金分割點.證明：在 ABC 中，= AB=AC ,/A=36. ZACB = Z B= 180-36-=72。，2又CD平分/ ACB ,/1 = /2=36 , /

16、3= /A + /1 = 72.BC = CD = AD, . CDBs/XABC ,. BD 型，即 BC2=AC - DB,BC AC. AD2 = AB - DB.由于作頂角為36。的等腰三角形的底角平分線后，仍可得到另一個頂角為36。的等 腰三角形，周而復始，永無止境，所以這類等腰三角形也被稱為“黃金三角形”類似地，如果在寬與長之比為0.618 ： 1的長方形內(nèi)，作以長方形的寬為邊長的正方形，仍可得到另一個寬與長之比為0.618： 1的長方形，所以這類長方形也稱為“黃金矩形”， 如巴特農(nóng)神廟，圖4.圖47、中考黃金分割問題兩例華師大八年級教材71頁的閱讀材料里已經(jīng)簡單的向我們介紹了一些

17、黃金分割問題。瞧，05年的中考試題中就出現(xiàn)了幾例關(guān)于黃金分割的考題，現(xiàn)在將其列舉出來與大家共 同賞析。、確定演播廳的主持人站立的位置位置最好。且有央電例1、（湖北省十堰市）如圖，已知線段 AB,點C在AB上,;若AB的長度與中AC BCAC 物/古小，則的數(shù)值為AB ACAB視臺演播廳舞臺的寬度一樣長，那么節(jié)目主持人應站在解析：由黃金分割的定義可知 處 的數(shù)值為阻。依據(jù)教材上的介紹可知節(jié)目主AB2持人應站在線段AB的黃金點C,這樣下面的觀眾看上去感覺最好。二、黃金矩形例2、（揚州市）若一個矩形的短邊與長邊的比值為 立黃（黃金分割數(shù)），我們把 這樣的矩形叫做黃金矩形。（1）操作：請你在如圖所示的

18、黃金矩形 ABCD （ABAD ）中，以短邊AD為一邊作正 方形AEFD ;（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是， 請說明理由；（3）歸納：通過上述操作及探究，請概括出具有一般性的結(jié)論（不需要證明）。r,FCA解析：（1）在AB、DC邊上，分別截取 AE=DF=AD ,連接EF,則四邊形 AECF 即為所求作的正方形，如上面右圖所示，（2）在該圖中，不妨設(shè) AB=a,由題意可知： BC=匕5a, FC= 3 5 a,貝U FC: BC=W5，按照黃金矩形的定義可知四邊形 EBCF 222是黃金矩形。（3）由上面的求解可以得出：在黃金矩形內(nèi)，以黃金矩形的

19、短邊為一邊在 該矩形內(nèi)作一個正方形，則由此在該矩形內(nèi)又新得到一個矩形，則這個新矩形也為黃金 矩形。8、“黃金分割”考題透視黃金分割是成比例線段中既特殊又重要的內(nèi)容， 考查的重點是與黃金分割有關(guān)的計算 和推理題。下面舉例予以說明。一、利用黃金分割比進行有關(guān)的計算例1侑：（1）已知線段AB=4,點C為線段AB的黃金分割點，且ACBC,求下列各式的AC-BC; （2） AC?BCo,.分析:本題主要利用線段的黃金比.）A進行有關(guān)計算。AC 5 1ABD是線段AC的黃金分割點解：（1）因為AB=4, C為AB的黃金分割點，所以=2拈 2。所以 ACBC=AC (AB-AC) = 2AC AB = 2(

20、2 卡 (2)因為 BC = ABAC=4 ( 2盜 2) =62指。 所以 AC?BC= ( 2虛 2) (6-275 ) = 16/532。二、推理題例2如圖2,點P是線段AB的黃金分割點，且 APBP,設(shè)以AP為邊長的正方形的面積為Si,以BP和AB長為邊的矩形的面積為 & ,試比較sMS2的大小。分析：根據(jù)點P是線段AB的黃金分割點，抓住AP 空這個定義關(guān)系式即可判斷Si與S2的大小。AB AP APPB解：因為P是線段AB的黃金分割點，所以一比，AB APAP2 AB-BP , 又 S1 AP2, S2 ABBP ,所以 S S2。 例 3 如圖 3,在4ABC 中，AB=AC =

21、2, BC =V5 1, A 360 , BD 平分/ ABC ,交 AC 于點 D,試分析：本題可先判別ad = bd = bc=T5 1,再根據(jù)黃金分割的概念確定這個特征的 比值，即可判定點D是線段AC的黃金分割點。解：在 4ABC 中，因為 AB AC, A 36O ,所以 ABC C 72。因為BD平分/ ABC,所以12 36 ,所以/ 1 = /A,所以AD = BD。所以/ BDC = / 1 + /A = 72,所以/ BDC = / C,從而有 BC=BD = AD = 所以AD 亙，即點D為線段AC的黃金分割點。AC 29、“比例線段”變式多多同學們初學線段的的比時有些不適

22、應，為此學習時應治意以下問題：一、明確線段比的含義如果選用同一長度單位量得兩條線段 a, b的長度分別是m, n,那么就說這兩條線a m 段的長是a : b=m : n或與成- 一，和數(shù)的比一樣，兩條線段的比 a ： b中，a叫做比 b n的前項，b叫做比的后項。注意：（1）針對兩條線段（2）兩條線段的長度單位相同，但與所采用的單位無關(guān)，（3）其比值為一個不帶單位的數(shù)。二、弄清線段成比例及有關(guān)概念的意義在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段a c叫做成比例的線段，簡稱比例線段，己知四條線段a, b, c, d,如果9上或a： b=c：b dd,那么a, b, c

23、, d叫做成比例的項，線段a, d叫做比例外項，線段b, c叫做比例內(nèi) 項。三、掌握比例的基本性質(zhì)如果a : b=c : d,那么ad=bc,反之，如果 ad=bc,那么 a : b=c : d。特別地，如果a : b=b : c,那么b2 = ac,反之,b2 =ac,那么a : b=b : c。要注意靈活運用比例線段的多種不同的變化形式，但無論怎樣變化，它們都保持 ad=bc的基本性質(zhì)不變。具體有八種不同的表達形式：a c(1)右 ad=bc,貝ij 一 一 b dd c .項的位置)a(3)右 ad=bc,貝 ad=cd,因止匕一 cd(4)右 ad=bc,貝 da=cb,因止匕一 cb

24、(5)右 ad=bc,貝 bc=ad,因止匕一 a（2）右ad=bc,根據(jù)乘法的父換律，可得 da=bc,因此一一頭際上父換了 1中兩個外 b ab一（這里父換了 1中兩個內(nèi)項的包置）db （這里交換了 1中兩個內(nèi)項和外項的位置）ad一（這里把等式ad=bc的左邊和右邊父換了包置, c也可以看作是同時交換了 1中兩個比的前項和后項的位置）仿照上面的方法，由(5)又可以得到下列三個式子：c d(6)右 bc=ad,貝U cb=ad,因止匕一 一a b(7)若 bc=ad,則 bc=da 因此 b d c c a(8)右 bc=ad,則 cb=da 因此一 一 d b四、學會運用比例線段解決實際問

25、題在比例尺為1 ： 900000的江西黃山交通圖中，黃山風景區(qū)與市政府所在地之間的距離是4cm,這兩地的實際距離是()A. 2250厘米 B. 3.6千米C. 2.25千米 D. 36千米析解：根據(jù)比例尺的定義，設(shè)黃山風景區(qū)與市政府所在地之間的距離為xcm,(應與圖14上距離單位相同)則 -900000 x解得x=3600000厘米=36千米.故應選D 五、學會創(chuàng)新例2.有三條線段，它們的長分別為 a=1cm, b= J2 cm和c=2cm請再添上一條線段x,使這四條線段a, b, c, x為比例線段，請問線段x該有多長? 解：這是一道多種答案的開放性創(chuàng)新題如果是a b如果是a b如果是- a

26、c那么x xx那么x c那么x xbc 2 22*2 (cm)a 1acbabc1 2-.、-j v2 (cm)12、2 /、(cm)222x長為2j2 cm或、12 cm或 cm210、證明比例線段 方法多多思路靈活，涉及的定理較多，輔助線的添加方法亦很巧妙,證明線段成比例的問題, 常用的方法有以下幾種.一、利用相似三角形 例1.如圖1, AD是直角 ABC斜邊上的高，DELDF,且DE和DF分別交 AB、ACAF BE于E、F,求證： 。AD BD【分析】AF、AD與BE、BD分別在 ADF和ABED中，只要能證明 ADFABED 就行了.證明：. /B = /DAC, / BDE+/AD

27、E=90 = / ADE + / ADF ,丁. /BDE = /ADF,ADFsBED,竺匹 AD BD【點評】當要證的比例線段在兩個三角形中，且可證這兩個三角形相似，可利用此法.二、利用中間比例2.如圖2,梯形ABCD中，AD / BC, AC與BD相交于點E, BF / CD交CA的延 長線于點F.求證：EFAD=ECBC.【分析】 由AD/BC,得ADEsCBE,由BF/CD,得BEFs/DEC,從而得到成比例線段AD DE=BC BE證明：v AD / BC,DE EC,由此易證到結(jié)論BE EF ADEsCBE,處匹.BC BE 又: BF/CD, 匹EC BE EFAD EC瓦IF

28、， BEFADEC,EF AD = EC BC.【點評】本題利用了中間比（ 匹）進行過渡，證明比例式，進而得到等積式，這是在BE解題中經(jīng)常使用的一種方法。三、利用等線段進行代換例3.如圖3,已知：正方形 ABCD中，O是AC與BD的交點，/ DAC的平分線 APCD BQ交CD于點P, / BDC的平分線DQ交AC于點Q,求證： 型 空?！痉治觥緽D、CD和AP、BQ不能構(gòu)成兩個三角形，但根據(jù)正方形的性質(zhì)有 B況AC BO DQ 可證ACPs/XDCQ.證明： ABCD為正方形，BD=AC,且AC、BD互相垂直平分，BQ= DQ因AP平分/ DAC , DQ平分/ BDC ,/ CA母 1 /

29、 DAC= 1 / BA氏 1 / ADC= 1 / CD樂 / CDQ2442又/ACP = /DCQ, ACPs/XDCQ.,AC AP BD AP ,：一 一.CD DQ CD BQ【點評】當需證的比例線段不在兩個三角形中，或雖然在兩個三角形中但不相似時，可由已知條件尋找與比例式中某些線段相等的線段作等量代換后，再尋找相似三角形去證明。11、巧用面積比來證線段比運用三角形的面積比證明線段成比例問題，別開生面，且能開闊我們的視野，培養(yǎng) 創(chuàng)新思維能力.這種方法的理論根據(jù)是：“同高（或等高）的兩個三角形的面積比等于對應底之比 ”，基本圖形如圖1;.ABMADC勺底BD與CD上的高相同,S DS

30、 ADCBDDC在圖1 (2)中直線11 / l2, .ABCtBDC勺底AB與CD上的高相等,- S C_AB. .S CD DC“同底(或等底)的兩個三角形的面積比等于對應高之比”，你來畫畫基本圖形；運用三角形的面積比證明線段成比例，其基本思路是運用上述理論依據(jù)由面積比建立線段比，現(xiàn)舉例如下：AD AE例1,已知 ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE / BC,求證： =DB EC證明：如圖2,連結(jié)BE、CD,S ADES DEADS deAEDB S cdeEC又 DE / BC, S deAD AE DB EC S CDE，圖2例2. 已知：如圖3, AD是C的中線，過點B的

31、直線與AD相交于E,與AC相交于F,求證：處匹。AF EF圖3證明：連結(jié)CE,S ACEAC S ABEBES AEFAF S AEFoEFBDCD,S ABDS ACD， S BDES CDES ABES ACES ACES ABEACBES AEFS AEFAFEF例3 ABC中，AB AC, AD為BC邊上的高，AD的中點為M, CM的延長線交AB于點K ,求證：AB 3AK證明：如圖4,連結(jié)DK,AB AC, AD為BC邊上的高，BD CD,又 AM DM,S AMKS DMC，S KDBS KDCS ACK S KDC S KDB，S ACKS ABCAK 1AB 3AB 3AK。C

32、的頂點C任作一直線，與邊 AB及中線AD分別交于點F和E,求證:AE: ED 2AF: BF。證明：如圖5S AEC S AEFS DEC S DEFS AEC S AEFS DCE S DEFAEEDS ACFS DCF又 BD DC,S DBFS DCF，AEED圖5S ACF S ACF AF 即已把S BCF 2S dcf FB S dcf FB 2AF rr，即AE： ED 2AF： FB。FB對于線段比是同一條直線上有公共端點的兩線段比問題，若題中再有相等線段或平行線等條件，就可考慮用這種方法，用面積比作為中間比，在這里面積比起著溝通、聯(lián) 系線段比的作用。12、巧用面積比，妙解幾何題用三角形面積比可以解決一類幾何問題，解法很有獨到之處，現(xiàn)舉例如下：=1, SAade = 3,則 SaCDE 等于例1.如圖1,在四邊形ABCD中，E是AB上一點,EC / AD , DE / BC,若SabecA. V2B. 32解法1:因為AD / CE, 所以 /A