插值法和數(shù)值微分

1、關(guān)于插值法與數(shù)值微分第一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月引 言 插值法在工程及建筑設(shè)計(jì)中應(yīng)用十分廣泛。例如，已知一天24小時(shí)的逐時(shí)室外氣溫、綜合溫度、冷熱負(fù)荷等值，需要知道其他任意時(shí)刻的值，即可應(yīng)用插值計(jì)算求得；又如，我國(guó)工業(yè)企業(yè)采取通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)規(guī)范中，僅給出了有限個(gè)地區(qū)相應(yīng)有限個(gè)方位的夏季太陽(yáng)輻射熱總強(qiáng)度值，以及透過(guò)窗玻璃的太陽(yáng)總輻射強(qiáng)度值，至于其它任意方位（0-350）的中間值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。 實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。這個(gè)過(guò)程就是曲線擬

2、合。第二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 常用曲線擬合方法：插值法、最小二乘法 自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn)x0 x1x2x3x4xg(x) f(x)本章學(xué)習(xí)插值法曲線擬合的幾何意義第三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月插值函數(shù)的幾何意義yx第五張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2-1 線性插值和拋物插值一、線性插值yxy=（） 圖 2-1第六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，以直線代替曲線。缺點(diǎn)：精度低，誤差大。改進(jìn)：多用一些點(diǎn)。第七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【例】已知某多

3、葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥。當(dāng)葉片數(shù)為n=3時(shí)，葉片與氣流方向呈各種角度時(shí)。某局部阻力系數(shù)值如下表表示：求當(dāng)?shù)扔?0時(shí)，多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥的局部阻力系數(shù)的線形插值。并將其代入線性插值公式，有第八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何意義：通過(guò)三點(diǎn)A、B、C的拋物線代替曲線其中 為待定常數(shù)。若將A，B，C三點(diǎn)分別代入上式會(huì)得到一個(gè)有唯一解的三元一次方程，從而 即可確定，但求起來(lái)比較麻煩。第九張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月簡(jiǎn)便算法：見(jiàn)下一頁(yè)第十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月拋物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得拋物插值公式。第十一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【例3】 分

4、別計(jì)算下列各題： 1）利用100和121求平方根115； 2）利用100，121和144求平方根115。 解:用線形插值求解問(wèn)題1）與所求平方根的實(shí)際值10.72387比較，得到了具有三位有效數(shù)字的結(jié)果10.71428 。第十二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月用拋物插值求解問(wèn)題2） 與平方根實(shí)際值10.7238比較，10.72275551具有四位有效數(shù)字，顯然比線形插值的結(jié)果好。一般地說(shuō)，拋物插值比線形插值近似程度要好些。 第十三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、拉格朗日插值公式：?jiǎn)栴}提出： 這節(jié)就具有一般形式的代數(shù)插值問(wèn)題（即已知函數(shù) 在n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值 求一個(gè)n次

5、多項(xiàng)式 ，并滿足條件 ， ）來(lái)討論如何構(gòu)造其插值多項(xiàng)式 。 2-2 拉格朗日插值多項(xiàng)式第十四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十五張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月這就是所要求的插值多項(xiàng)式，稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項(xiàng)式。當(dāng)n=1時(shí)，就得出線形插值多項(xiàng)式， n=2時(shí)，就得出拋物插值多項(xiàng)式。 第十七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、拉格朗日插值余項(xiàng)：插值余項(xiàng)：定理：第十八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明：當(dāng) X為節(jié)點(diǎn)時(shí)，兩邊皆為0，顯然成立。下設(shè) X 不為節(jié)點(diǎn)。作輔助函數(shù)第十九張，PPT共七十

6、八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月即問(wèn)題得證。這個(gè)定理所講的余項(xiàng)用起來(lái)有一定的困難 ，因?yàn)閷?shí)際計(jì)算時(shí)，只是給出 的一張數(shù)據(jù)表，并未給出具體的解析式子，故 并不知道，所以 也就無(wú)法得到。 第二十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【例4】在例3中分別用線性插值 和拋物插值計(jì)算了 的近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。第二十二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：記由插值多項(xiàng)式有故根據(jù)余項(xiàng)公式，若能估計(jì)出的上界 ，那么將有第二十五張，PPT共七十八頁(yè)

7、，創(chuàng)作于2022年6月三、插值誤差的事后估計(jì)法第二十六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月利用余項(xiàng)公式知：第二十七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月稍加整理得：這種用計(jì)算的結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的辦法，通常稱為事后估計(jì)，在計(jì)算中是常用的，這種估計(jì)誤差的方法，將貫穿我們計(jì)算方法這門課程的始終。 第二十八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便 缺點(diǎn)：a.不具備遞推性，當(dāng)需要增加節(jié)點(diǎn)時(shí)需要重新計(jì)算；b.龍格（Runge）現(xiàn)象:高次拉格朗日插值多項(xiàng)式穩(wěn)定性差，對(duì)于計(jì)算過(guò)程的舍入誤差十分敏感，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，不能保證非

8、節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大。 龍格就給出了一個(gè)例子：設(shè)被插值函數(shù)第二十九張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月取等矩節(jié)點(diǎn) ，作拉格朗日插值多項(xiàng)式 。當(dāng) n=10 時(shí)，函數(shù) 及插值多項(xiàng)式 的圖形如下所示。由圖可見(jiàn)，在區(qū)間-0.2，0.2上 比較接近 ,但在區(qū)間-1，1兩端則誤差很大。當(dāng) n 增大時(shí)，部分區(qū)間上插值多項(xiàng)式截?cái)嗾`差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。-11x0.51.01.5y0龍格現(xiàn)象為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定n7，不采用高次插值多項(xiàng)式。第三十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2-3 分段插值法問(wèn)題提出： 適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，可以提高計(jì)算的精

9、確度，但次數(shù)太高又會(huì)產(chǎn)生不好的效果。因?yàn)榇螖?shù)越高，計(jì)算越繁，積累誤差就越大；曲線就會(huì)出現(xiàn)過(guò)多的扭擺。當(dāng)局部插值點(diǎn)有微小變動(dòng)時(shí)，就可能引起曲線大幅度的變化，使計(jì)算很不穩(wěn)定。因此，插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，其所求得的插值越顯得不可靠，從而也大大降低了它的工程應(yīng)用價(jià)值。這也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程應(yīng)用中，多采用分段插值法。即將插值區(qū)間分為若干個(gè)小段，在每一小段上使用低階插值如線形插值或拋物插值。 設(shè)已給出一系列離散結(jié)點(diǎn)： 應(yīng)用低階插值的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥暨x插值結(jié)點(diǎn)。余項(xiàng)公式說(shuō)明，選取的結(jié)點(diǎn) 離插值點(diǎn) 越近，誤差 就越小，因而插值效果也就越好。因此應(yīng)當(dāng)盡量在插值點(diǎn)的鄰近選取插值結(jié)點(diǎn)。 第

10、三十一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、分段線性插值 這種分段低次插值叫做分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，故分段線性插值又稱折線插值。第三十二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月000（i=1,2，n-1）第三十三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、分段拋物插值以三個(gè)節(jié)點(diǎn)為例，公式為：第三十四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其節(jié)點(diǎn)的選取方法為：-式（2.13）式（2.13）稱為分段拋物插值公式。第三十五張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：在各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為由此求出分段線性插值基函數(shù):第三十六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故有

11、第三十七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2-4 牛頓插值多項(xiàng)式對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值問(wèn)題, 將 n 次插值多項(xiàng)式寫成如下形式 多項(xiàng)式稱為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式. 形如上式的插值 為待定系數(shù). 第三十八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十九張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、向前差分與牛頓向前插值公式第四十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月差分表第四十一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月將其代入牛頓插值公式，得牛頓向前插值公式，簡(jiǎn)稱前插公式。第四十二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-表2.3第四十三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于20

12、22年6月第四十四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月用二次插值得用三次插值得第四十五張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、向后差分與牛頓向前后插值公式第四十七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月【例10】已知函數(shù)表同例9，計(jì)算sin(0.58)，并估計(jì)截?cái)嗾`差.因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)算,且于是由后插公式得第四十八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十九張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義 1 記 稱為關(guān)于xi 的零階均差.稱 為關(guān)于 xi , xi+1 的一階均差. 稱為二階均差.

13、三、差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式第五十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一般地, k 階均差為 均差有如下基本性質(zhì)： 定理 1: (1) 均差與函數(shù)值的關(guān)系為(2) 均差與節(jié)點(diǎn)的排列順序無(wú)關(guān), 即 第五十一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(4) 若函數(shù) 在 上存在n 階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn) 則 使得 第五十二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月53三、均差的計(jì)算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表第五十三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：先構(gòu)造差商表如表2-5所示。由表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式中各系數(shù)為表2.5第五十四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故

14、用線性插值所得的近似值為用拋物插值所得的近似值為第五十五張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2-5 三次樣條插值 樣條這一名詞來(lái)源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將一些指定點(diǎn)（稱作樣點(diǎn)）鏈接成一條光滑曲線，往往用細(xì)長(zhǎng)的木條（稱作繪圖員的樣條）把相近的幾點(diǎn)連接在一起，再逐步延伸連接起全部指定點(diǎn)，使形成一條光滑的樣條曲線，它在連接點(diǎn)處具有連續(xù)曲率，我們對(duì)繪圖員的樣條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，得出的函數(shù)叫做樣條函數(shù)，它在連接處具有一階和二階連續(xù)微商。第五十六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：-(1)第五十七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、邊界條件問(wèn)題

15、的提出與類型-(2)第五十八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-(3)-(4)第五十九張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月并且我們不能只對(duì)插值函數(shù)在中間節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對(duì)插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(一階)邊界條件：第二類(二階)邊界條件：第三類(周期)邊界條件：少兩個(gè)條件-(6)-(5)-(7)第六十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月加上任何一類邊界條件(至少兩個(gè))后一般使用第一、二類邊界條件,即-(8)或常用第二類邊界條件第六十一張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-(9)第六十二張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月加

16、以整理后可得-(10)-(11)第六十三張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由條件由于以上兩式相等,得第六十四張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-(12)第六十五張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果問(wèn)題要求滿足第一類(一階)邊界條件:-(5)基本方程組(12)化為n-1階方程組-(13)即將(13)式化為矩陣形式第六十六張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-(14)這是一個(gè)三對(duì)角方程組如果問(wèn)題要求滿足第二類(二階自然)邊界條件:-(6)第六十七張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由(11)式,可知-(15)-(16)第六十八張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-(17)-(18)與基本方程組(12)聯(lián)合,并化為矩陣形式,得-(19)第六十九張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(19)式與(14)一樣,都是三對(duì)角方程組,并且都嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)可以使用追趕法求解,并且解是唯一的現(xiàn)在回到(10)式第七十張，PPT共七十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1. 對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值解:由(12