插值計(jì)算和插值多項(xiàng)式

1、關(guān)于插值計(jì)算與插值多項(xiàng)式第一張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月插值問(wèn)題描述設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系 在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：插值問(wèn)題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù) 的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn) 的函數(shù)值 ，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。第二張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月y=f(x)y=p(x)簡(jiǎn)單的說(shuō)，插值的目的就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，尋找一個(gè)解析形式的函數(shù)p(x)，近似代替f(x)第三張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 6.1 插值法的數(shù)學(xué)描述設(shè)函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù), 是 a, b上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值 為已知 ,即 若存在

2、一個(gè)f(x)的近似函數(shù) ,滿足則稱 為f(x)的一個(gè)插值函數(shù), f(x)為被插函數(shù), 點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn), R(x)= 稱為插值余項(xiàng), 區(qū)間a, b稱為插值區(qū)間, 插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插, 否則稱外插 第四張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月插值的幾何意義第五張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6.2 拉格朗日（Lagrange）插值 為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,n )的便于使用的插值多項(xiàng)式P(x),先考察幾種簡(jiǎn)單情形,然后再推廣到一般形式。6.2.1 線性插值與拋物插值（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡(jiǎn)單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn) ， 的值，,

3、現(xiàn)要求用線性函數(shù) 近似地代替f(x)。選擇參數(shù)a和b, 使 。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù) 。第六張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性插值線性插值多項(xiàng)式 第七張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由直線兩點(diǎn)式可知，通過(guò)A，B的直線方程為 它也可變形為 顯然有：第八張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月記可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為 ，稱 為節(jié)點(diǎn) , 的線性插值基函數(shù)第九張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點(diǎn)對(duì)下面的推廣很重要于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合 第十張

4、，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.1 已知 , , 求解: 這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用線性插值 第十一張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.2 已知y=f(x)的函數(shù)表 求線性插值多項(xiàng)式, 并計(jì)算x=1.5 的值X 1 3 y 1 2解: 由線性插值多項(xiàng)式公式得第十二張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月這就是二次插值問(wèn)題。其幾何意義是用經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn) 的拋物線 近似代替曲線 , 如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。 （2） 拋物插值 拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值y0，

5、y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)二次的多項(xiàng)式使?jié)M足二次插值條件：第十三張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月拋物插值函數(shù)因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。 第十四張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月為了與下一節(jié)的Lagrange插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題： 求二次式 ,使其滿足條件： 這個(gè)問(wèn)題容易求解。由上式的后兩個(gè)條件知: 是 的兩個(gè)零點(diǎn)。于是 再由另一條件 確定系數(shù) 從而導(dǎo)出 第十五張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月P(x)的參數(shù) 直接由插值條件決定，即 滿足下面的代數(shù)方程組： 該三元一次方程組的系數(shù)矩陣 的行列

6、式是范德蒙行列式，當(dāng) 時(shí)，方程組的解唯一。 第十六張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項(xiàng)式 及滿足條件： 的插值多項(xiàng)式 這樣構(gòu)造出來(lái)的 稱為拋物插值的基函數(shù) 取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù),將基函數(shù) 線性組合可得 容易看出,P(x)滿足條件 第十七張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式,求(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2p2(7) =x0=1, x1=4, x2=9y0=1

7、, y1=2, y2=3 (14)(19)(74)(79)* 1+(41)(49)(71)(79)* 2+(91)(94)(71)(74)* 3= 2.7p2(x) =第十八張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.4 已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點(diǎn)上滿足 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 求二次多項(xiàng)式 p(x) = a0 + a1x + a2x2 使之滿足 p(xi) = yi i=0, 1, 2解: 用待定系數(shù)法, 將各節(jié)點(diǎn)值依次代入所求多項(xiàng)式, 得解上述方程, 將求出的a0, a1, a2 代入p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多項(xiàng)式 第十九張，PPT

8、共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式p1(x)，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式p2(x) 。當(dāng)插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí)，我們可以利用Lagrange插值方法寫(xiě)出n次插值多項(xiàng)式pn(x) ，如下所示：已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值求一個(gè)n次插值函數(shù)滿足6.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式第二十張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月構(gòu)造各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù) 滿足如下條件100001000001第二十一張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式 的插值問(wèn)題,使其在各節(jié)點(diǎn) 上滿足 即: 由條件 ( )知, 都是n次 的

9、零點(diǎn),故可設(shè) 第二十二張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其中 為待定常數(shù)。由條件 ,可求得 于是 代入上式,得稱 為關(guān)于基點(diǎn) 的n次插值基函數(shù)(i=0,1,n) 第二十三張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月以n+1個(gè)n次基本插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ),就能直接寫(xiě)出滿足插值條件的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)都是n次值多項(xiàng)式,所以他們的線性組合是次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式 , 稱形如上式的插值多項(xiàng)式為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。并記為 第二十四張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.5 求過(guò)點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點(diǎn)插值多項(xiàng)式解:由Lagrange 插值公式（

10、給定的三個(gè)點(diǎn)在一條直線上）第二十五張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.6 已知f (x)的觀測(cè)數(shù)據(jù) x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式解 四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值多項(xiàng)式:基函數(shù)為 第二十六張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月Lagrange插值多項(xiàng)式為 為便于上機(jī)計(jì)算,常將拉格朗日插值多項(xiàng)式可改寫(xiě)成 第二十七張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例6.7 已知f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù) x 1 2 3 4f(x) 0 -5 -6 3構(gòu)造插值多項(xiàng)式 解: 四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三次插值多項(xiàng)式, 將數(shù)據(jù) 代入插值公式，有 這個(gè)例子說(shuō)

11、明p(x)的項(xiàng)數(shù)不超過(guò)n+1項(xiàng)，但可以有缺項(xiàng)。第二十八張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=p(x)ab在插值區(qū)間a, b上用插值多項(xiàng)式p(x)近似代替f(x), 除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。若記 R (x) = f(x) - p(x) 則 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 時(shí)的截?cái)嗾`差, 或稱插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來(lái)估計(jì)它的大小。6.2.3 插值多項(xiàng)式的誤差 第二十九張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理 設(shè)f(x)在a, b有n+1階導(dǎo)數(shù)， x0, x1, xn 為 a, b上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn), p(x)為滿足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, , n)的n 次插值多項(xiàng) 式， 那么對(duì)于任何x a, b有插值余項(xiàng)其中ab 且依賴于x第三十張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月0，使得| | x(a,b)由于 (x)一般無(wú)法確定，因此式R(x)只能用作余項(xiàng)估計(jì)。如果在區(qū)間(a,b)上有界，即存在常數(shù) 則有余項(xiàng)估計(jì) 第三十一張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于線性插值，其誤差為對(duì)于拋物插值（二次插值），其誤差為第三十二張，PPT共三十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6.8 已知 =1