八個(gè)有趣的模型的外接球與內(nèi)接球

1、空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）B圖1圖4圖2圖3c2,即 2Rb2方法：找三條兩兩垂直的線段， 直接用公式（2R）22,22.a b c ,求出R例1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積A. 16B. 20C. 24解：V a2h 16 , a 2,4R216 24,24 ，選 C；SCVI iAB(3)題-1引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直（4）在四面體S ABC中,SA平面 ABC , BAC120 ,SAAC 2, AB 1,則該四面體的外接球的表面積為（A11B.7D.4033,那么它的外

2、接球的（5）如果二棱錐的二個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為表面積是（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為 1的正方形，則該幾何體外接球的體積為類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1 .題設(shè)：如圖5, PA平面ABC圖5解題步驟: 第一步：將 ABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD ,則PD必過球心O ;第二步：O1為ABC的外心，所以O(shè)Oi 平面ABC,算出小圓Oi的半徑O1Dr (三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得asin Asin B sin C12r), OOi PA ;2步：利用勾股定理求棱錐的外接球半

3、徑：(2R)2 PA2 (2r)22R PA2 (2r)2 ; R2 r2 OOi2 R . r2OO；2.題設(shè)：如圖 6, 7, 8, P的射影是 ABC的外二、 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)O圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟: 第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所

4、示，則該幾何體外接球的表面積為（）C類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）D.以上都不對(duì)圖9-3圖9-41.題設(shè)：如圖9-1,平面PAC 平面ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ；第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 asin Ab csin B sin C2R,求出R.如圖9-2,平面PAC2_2_2OC2 01c2 O1O2.如圖9-3,平面PAC平面ABC ,且AB222R2 r2 O1O2平面ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直徑）AC 2, R2 O1O2BC （即AC為小圓的直徑）

5、，且P的射影是ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟: 第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線;h (也是圓錐的高)；第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 (h R)2例3 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2J3 ,則該球的表面積為(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 22 ,各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為(3)已知三棱錐 S ABC的所有頂點(diǎn)都在球

6、O的求面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC 2 ,則此棱錐的體積為(A.叵6D.類型四、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)圖 10-1題設(shè)：如圖10-1,圖10-2,10-3，直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：確定球心O的位置,。1是ABC的外心，則OQ 平面ABC ;第二步：算出小圓。1的半徑AO11r , OOiAAi21 .h(AA h也是圓枉的局)；2第三步：勾股定理:OA2 01A2 O1O2R2 (h)22 r2 R Jr2 g)2 ,解出 R例4 (1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已

7、知該六棱柱的頂點(diǎn)都在一 . 9 ,一、. 同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為8(2)直三棱柱ABC A1B1cl的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,則此球的表面積等于 。(3 )已知 EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,則多面體E ABCD的外接球的表面積 為。類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 (如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心H1和h2；第二步：過H1和H2分別作平面BCD和

8、平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 O,連接 OE,OC ；第三步：解 OEH1,算出0Hl，在Rt OCH1中，勾股定理：OH12 CH 2 OC2例5三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC, PAC和 ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三 角形，則三棱錐P ABC外接球的半徑為.類型六、對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長(zhǎng)方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑(AB CD , AD BC ,AC BD)第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 a,b,c,AD BC x, AB CD y, AC BD z,列方程組,2ab22cb22

9、c2a2x222y (2R) a2zb2za圖12補(bǔ)充：VA BCD abcA BCD4 1abc3第三步：根據(jù)墻角模型,2R.a2 b2 c2R2例如,正四面體的外接球半徑可用此法O222R J,求出 R ,8例6 (1)棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如 圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .(2) 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是()B.C.312(4)如圖所示三棱錐 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,則該三棱錐外接球的表面積為 .類型七、

10、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型P圖13題設(shè)： APB ACB 90 ,求三棱錐P ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,連接 一 1OP,OC,則OA OB OC OP AB,O為三棱錐P ABC外接球球心，然后在2OCP中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)， 只要不是平角球半徑都為定值。例7 （1）在矩形 ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 TOC o 1-5 h z B AC D ,則四面體 ABCD的外接球的體積為（）A 125B 125C 125D 125. 12

11、963類型八、錐體的內(nèi)切球問題.題設(shè)：如圖14,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；PB 圖141第二步：求DH BD, PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式：-OE- 史，解出r DH PD.題設(shè)：如圖15,四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑P第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；1第二步：求FH BC, PO PH r , PF是側(cè)面 PCD的高; 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：0G 2,解出 HF PF.題設(shè)：三棱錐 P AB

12、C是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ,建立等式：Vp ABCVOABCVOpabVo pacVO PBCP ABC OABC OPAB O PAC O PBC111二 SPAB r-二 SPAC r 二 SPBC r3331二(S ABC S pabSPACS pbc ) r3第三步：解出r3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACSOPBC課后練習(xí) 典例1 已知正三棱錐 P-ABC,點(diǎn)P, A, B, C都在半徑為百的球面上，若 PA, PB, PC

13、TOC o 1-5 h z 兩兩互相垂直，則球心到截面 ABC的距離為（）A. gB. .C FD. ?典例2 在三黏t 0 ABC中，OA, OB, 0C兩兩垂直，且 0A 3, OB 0C 2.若以。為球心，r r 0為半徑做一個(gè)球，當(dāng)球面與ABC所在平面相切時(shí)，r .已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)均在球0的球面上，且AB AC ADBCD ,2若H是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的正投影，且 CH J5，則球0的體積是（9B.24D. -3.四面體P ABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,0,2 , A 0,0,0 , B 0,2#,0 ,C 3,73,0 ,則該四面體外接球的體積為（32A. 3C. 20.已知圓

14、柱的上底面圓周經(jīng)過正三棱錐P ABC的三條側(cè)棱的中點(diǎn)，下底面圓心為此三棱錐底面中心O.若三B P ABC的高為該圓柱外接球半徑的 2倍，則該三棱錐的外接球與圓柱外接球的半徑之比為（2: 17: 43: 15: 34.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC, AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E, F分別是PA, AB的中點(diǎn)，/CEF=90 ,則球O的體積為4.62.6D.5.已知三棱錐P外接球的表面積為2_ABC 中,PA 平面 ABC, ABC 一，PA 332 ,則直線PC與平面ABC所成角的正弦值為若三棱錐P ABCD.6.在正方體ABCD ABiCQi中，E為棱AiBi上一點(diǎn)，且AB2 ,若二面角Bi BCi E為45 ,則四面體BBiCiE的外接球的表面積為（17 A.2B. 12C. 9D. 10.已知四面體 ABCD 中，AB = CD=5, AC = BD = 734 , AD