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文檔簡介
1、 關于三元不等式的一點總結在自主招生乃至數學競賽中,我們往往會見到許多三元不等式,形式例如“,”的不等式不勝枚舉,所以本節(jié)就專門來談談關于這類不等式的處理手段。由恒等式,再結合下面這個不等式:,可推出 (*)即產生不等式 = 1 * GB3 由(*)可進一步推:(*)所以又產生不等式,亦可寫成: = 2 * GB3 從恒等式中我們又發(fā)現(xiàn): 即有不等式 = 3 * GB3 結合 = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 容易發(fā)現(xiàn),既可以與和單獨建立不等關系,又能和、混合建立不等式。進一步,我們若聯(lián)系熟悉的不等式(證明交給讀者自己)和舒爾不等式的下列4個變形:變形1 我們把它簡記
2、為變形2 我們把它簡記為變形3 我們把它簡記為變形4 我們把它簡記為則又可以產生一大批新的三元不等式,形成有力的證明橋梁!下面再介紹一種解決三元齊次輪換對稱式的強有力工具-舒爾分拆法!定理1(舒爾不等式的推廣)證明:(1) (2) (3)由(1)(2)易知也成立。定理2 三元齊三次輪換多項式可以唯一地表示為 其中,。并且當時,。此定理的證明涉及到線性代數的知識,這里就不證明了。為了快速計算出待定系數,只要記住。定理3三元齊四次輪換多項式可以唯一地表示為 其中,。并且當時,。其中系數定理4三元齊五次輪換多項式可以唯一地表示為 其中,并且當時, 。其中,。()例1 設 證明:先兩端齊次化,證明 即
3、證明 而由上面總結的熟悉不等式,顯然成立。例2 設且證明: 證明:題目中交代所以我們要活用常數,在原不等式左右都乘上3,左邊以來代替,即 這樣我們就正好也湊到了熟悉不等式的形式,兩邊再同乘上3,得 而我們本來就有 所以原不等式就成立了!例3 (1992年波蘭數學競賽題) 證明:由總結的不等式 = 2 * GB3 知,上式顯然成立。例4 (第25屆國際奧賽試題)已知,證明: 證明:運用舒爾分拆的前提必須是齊次和輪換對稱!所以,先將不等式齊次化 則根據舒爾分拆,令,則是齊三次輪換多項式,計算系數,我們有: 所以 同樣根據舒爾分拆,我們有: 所以 即原不等式成立!例5 (第41屆國際奧賽試題)設求證: 分析 顯然我們知道可以舒爾分拆來證,所以立馬我們通分,得 也即 再整理化簡得 此時雖然有這個條件,但是無法將上式齊次化,所以不能直接用舒爾分拆??紤]這個結構,如果,那么也是和的分式型,又常數的形式,這樣處理有力于建立齊次式。證明:,令,于是原不等式等價于 接下來因為是三元齊三次輪換多項式,所以用舒爾分拆易證上式成立。例6(2005年西部奧林匹克試題)設正實數。證明: 證明:這個很好齊次化,等價于 進行舒爾分拆,。所以。故原不等式成立! 以上方法是證明一些三元不等式的有效方法,但不等式證明博大精深,法無定法,所以讀者在證題中切
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