昆工高數(shù)第十一章-微分方程

1、微分方程 第七章 積分問(wèn)題 微分方程問(wèn)題 推廣 本 章 內(nèi) 容 一、微分方程的基本概念 二、一階微分方程 三、可降階高階微分方程 四、高階線性微分方程 五、常系數(shù)線性微分方程 六、數(shù)學(xué)建模與微分方程應(yīng)用簡(jiǎn)介第一節(jié) 微分方程的基本概念 一、引例 二、基本概念*三、更多的實(shí)際問(wèn)題一、 引例微分方程的基本概念引例 幾何問(wèn)題物理問(wèn)題引例1.一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,因此所求曲線方程為由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 引例2 放射性物質(zhì)衰變的規(guī)律是: 在每一時(shí)刻t, 衰變的

2、速率 與該時(shí)刻尚存的質(zhì)量成正比, 即 引例3 質(zhì)量為的跳傘員下落時(shí), 所受到的空氣阻力與下降速度成反比（注意阻力的方向與速度方向相反）, 取坐標(biāo)軸沿垂直方向指向地心, 則該跳傘員在時(shí)刻t的坐標(biāo)y=y(t)應(yīng)滿足(k0為比例系數(shù))(k0為比例系數(shù))二、基本概念 定義1 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的等式稱為微分方程，其中未知函數(shù)的倒數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)必須出現(xiàn)，而自變量的導(dǎo)數(shù)可以不必出現(xiàn)，則稱為常微分方程；若未知函數(shù)為多元函數(shù)，則稱為偏微分方程。 定義2 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。 例如，例1，例2是一階微分方程，例3是二階微分方程。 一般地 , n 階常

3、微分方程的形式是或(n 階顯式微分方程) 例如，一階微分方程就可以表示為或微分方程的解 使方程成為恒等式的函數(shù).定義3通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例2引例1 通解:特解: 不含任意常數(shù)的解, 定解條件 其圖形稱為積分曲線. 注意：通解不一定包含所有解。例如伯努利方程的隱式通解為，此外，方程還有解，這個(gè)解不包含在通解中。 例4 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解（其中 是任意常數(shù)），并并求方程滿足初始條件 的特解。解：對(duì) 求導(dǎo)得和將 的表達(dá)式代入所給微分方程的左邊，得 因此滿足微分方程，即 是微分方程的解，又因它

4、含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)（本例解中 不可能合并為一個(gè)任意常數(shù)），故即為二階微分方程的通解。由可得解得故方程滿足初始條件的特解為求所滿足的微分方程 .例5.已知曲線上點(diǎn)P(x, y)處的法線與 x 軸交點(diǎn)為Q解: 如圖所示, 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 三、更多的實(shí)際問(wèn)題1.增長(zhǎng)率問(wèn)題（參考p213）2.弦的微小橫振動(dòng)模型（參考p214)第二節(jié) 本節(jié)討論一階微分方程（1） 的一些解法。這一方程有時(shí)也可改寫(xiě)成如下的對(duì)稱形式：（2）一、可分離變量方程 一階微分方程若在方程(2)中，有則（2）可變形為（3） 形式地看，（3）把

5、變量X和y成功地分離到方程的兩邊，每邊只含有一個(gè)變量。一般地可將（3）寫(xiě)為形如：（4） 的方程。（3）和（4）稱為可分離變量的微分方程，簡(jiǎn)稱變量可分離方程?？煞蛛x變量方程的解法:設(shè) y (x) 是方程的解, 兩邊積分, 得 則有恒等式 當(dāng)G(y)與F(x) 可微且G(y)g(y) 0時(shí), 的隱函數(shù) y(x)是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當(dāng) F (x) = f (x)0 時(shí),由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y), F(x), 說(shuō)明由確定例1. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )或說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步

6、不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例2 求解方程解: 當(dāng)時(shí)，易得方程的隱式通解為：即于是通解為另外，方程還有常數(shù)解，它們不包含通解中。練習(xí):二、齊次方程一、齊次方程形如的方程叫做齊次方程 .令代入原方程得兩邊積分, 得積分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分離變量: 例3. 解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )此處例4 求解方程解： 原方程可化為，令，代入得或易見(jiàn)u=0是此方程的一個(gè)解，從而y=0是原方程的一個(gè)解。當(dāng)u0時(shí)，分離變量后兩端積分得或

7、將代入上式，得到原方程的通解為注意,此通解不包含y=0( h, k 為待 *三、可化為齊次方程的方程作變換原方程化為 令 , 解出 h , k (齊次方程)定常數(shù)), 求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化為 令(可分離變量方程)注: 上述方法可適用于下述更一般的方程 例5 求解方程解：因?yàn)榉匠探M有唯一解令，得再令，代入整理得兩邊對(duì)X積分得即或?qū)⒒卮?，得原方程的通積分當(dāng)時(shí)，解得，還原后又得到原方程的兩個(gè)解例6. 求解解:令得再令 YX u , 得令積分得代回原變量, 得原方程的通解:得 C = 1 ,故所求特解為思考: 若方程改為 如何求解? 提示:四、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)

8、形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程 ;（4.1）對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2. 解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得（4.2）用同樣的方法可以得到初值問(wèn)題的解為（4.3）例7 求方程的通解及滿足y(1)=1解。解 將方程寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)形式易得對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解為由常數(shù)變易法，令，即設(shè)是原齊次線性微分方程組的解，將其代入原方程后有：即或，于是原方程通解將y(1)=1代入通解得，故滿足該初始條件的解為:也可直接用滿足初始條件的通解公式(4.3)求解：例8 求方程的通解。解

9、 顯然，這個(gè)方程關(guān)于y是非線性的，且不能進(jìn)行變量分離。但是如果把它改寫(xiě)為并將x看作未知函數(shù)，y看作自變量，就成為關(guān)于y的線性微分方程，直接利用通解公式（4.2），可得原方程的通解為：*3、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(以z為未知函數(shù)的一階線性微分方程)注意:當(dāng)n0，伯努利方程總有特解y=0.例9 求解方程解 方程可改寫(xiě)為n=4的伯努利方程令，代入原方程可得一階線性微分方程其通解為代回原變量后可得原方程的通解為或例10.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入, 得原方程通解: 五

10、、全微分方程若一階微分方程（2）的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分,即則方程（2）稱為全微分方程（恰當(dāng)方程），其中，而方程（2）就變?yōu)閺亩潆[式通解為：而u(x,y)有時(shí)也稱為（其中C為任意常數(shù)）的原函數(shù)。注意：方程是全微分方程的充分必要條件為.這是判別一個(gè)方程是否為全微分方程最主要的判據(jù).例11 求解方程解 其中 有，故原方程是全微分方程.解法一 由得從而即可解出于是原方程的通解為：解法二 取原方程的通解仍然為：解法三 利用全微分的概念，將原方程變形為：或即于是原方程的解為：小結(jié) 以上我們介紹了一些較基本的求解方法，值得注意的是同一個(gè)方程往往那個(gè)可以用不同的初等變形手段轉(zhuǎn)化為不同類

11、型的方程求解，所以在微分方程的求解過(guò)程中，一題多解的現(xiàn)象時(shí)常出現(xiàn).例12 求解方程解法一 原方程可改寫(xiě)為齊次方程令y=ux可將原方程化為變量分離方程如下：，積分后回代得到通解：解法二 原方程又可改寫(xiě)為一階線性微分方程如下，直接用其通解公式即可得到通解：解法三 分組湊微分，將原方程改寫(xiě)為如下形式，兩邊同乘以，得：，即從而其通解為第三節(jié)可降階高階微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 一、令因此即同理可得依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .型的微分方程 例1. 解: 例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 ox 軸作直線運(yùn)動(dòng),在開(kāi)始時(shí)刻隨著時(shí)間

12、的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 .如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解: 據(jù)題意有t = 0 時(shí)設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) . 小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為0, 且對(duì)方程兩邊積分, 得 利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為微分方程的右端不顯含未知函數(shù)引入?yún)?shù)法求解.設(shè)則而原方程化為這是一個(gè)關(guān)于變量、的一階微分方程.設(shè)其通解為代入?yún)?shù)又得到一個(gè)一階微分方程對(duì)它進(jìn)行積分,便得原方程的通解二、型的微分方程 例3 解方程 解: 代入方程得 . 這是一個(gè)一階線性微分方程, 解之得從而原方程的通解為例4. 求解解: 代入方程得分離

13、變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為例5. 繩索僅受重力作用而下垂,解: 取坐標(biāo)系如圖.考察最低點(diǎn) A 到( : 密度, s :弧長(zhǎng))弧段重力大小按靜力平衡條件, 有故有設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況: A 點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力T兩式相除得則得定解問(wèn)題: 原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸 鏈 線微分方程不明顯地含自變量引入?yún)?shù)法求解,設(shè)則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有這樣,原方程就化為這是一個(gè)關(guān)于變量、的一階微分方程.設(shè)它的通解為分離變量并積分,使得原方程的通解型的微

14、分方程 三、例6. 求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:例7 求解方程, 由此得; 此變量分離方程的通解為 代入原方程得 例8. 解初值問(wèn)題解: 令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得1.求方程的通解 .課堂練習(xí)2.3.1.求方程的通解 .解對(duì)所給方程連續(xù)積分三次，得這就是所求得通解 .完2、 解方程解令分離變量得即由由故3、解代入原方程得 原方程通解為內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法逐次積分令令高階線性微分方程第四節(jié)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) *四、常數(shù)變易法 一、二階線性微分方程舉例 第十一章 一、二階線性微分方程舉例

15、 當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于 平衡狀態(tài), 例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開(kāi)平衡位置后放開(kāi),若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受鉛直外力則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:求電容器兩兩極板間電壓 例2. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,所滿足的微分方程 .提示

16、: 設(shè)電路中電流為 i(t),上的電量為 q(t) ,自感電動(dòng)勢(shì)為由電學(xué)知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0串聯(lián)電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得化為關(guān)于的方程:故有 n 階線性微分方程的一般形式為方程的共性 為二階線性微分方程. 例1例2 可歸結(jié)為同一形式:時(shí), 稱為非齊次方程 ; 時(shí), 稱為齊次方程.復(fù)習(xí): 一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊, 得(疊加原理) 定理1.說(shuō)明

17、:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解 并不是通解但是則為解決通解的判別問(wèn)題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念. 定義:是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),使得則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān).例如， 在( , )上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間 I 上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,必需全為 0 ,可見(jiàn)在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為 0 的使( 無(wú)妨設(shè)線性無(wú)關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為 0, 則必線性相關(guān)(

18、證明略)線性無(wú)關(guān)定理 2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 則數(shù)) 是該方程的通解.例如, 方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證) 推論. 是 n 階齊次方程 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 是二階非齊次方程的一個(gè)特解, Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3.則是非齊次方程的通解 .證: 將代入方程左端, 得是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如, 方程有特解對(duì)應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而 也是通解 .定理 4.分別是方程的特解,是方程的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊

19、次方程. 定理 5.是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解, 是任意例3.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證)(89 考研 )例4. 已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解 .解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三 *四、常數(shù)變易法復(fù)習(xí): 常數(shù)變易法: 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解: 設(shè)非齊次方程的解為 代入原方程確定 對(duì)二階非齊次方程 情形1. 已知對(duì)應(yīng)齊次方程

20、通解: 設(shè)的解為 由于有兩個(gè)待定函數(shù), 所以要建立兩個(gè)方程:令于是將以上結(jié)果代入方程 : 得故, 的系數(shù)行列式是對(duì)應(yīng)齊次方程的解積分得: 代入 即得非齊次方程的通解: 于是得 說(shuō)明: 將的解設(shè)為 只有一個(gè)必須滿足的條件即方程, 因此必需再附加一 個(gè)條件, 方程的引入是為了簡(jiǎn)化計(jì)算.情形2.僅知的齊次方程的一個(gè)非零特解 代入 化簡(jiǎn)得設(shè)其通解為 積分得(一階線性方程)由此得原方程的通解: 例5.的通解為 的通解.解: 將所給方程化為:已知齊次方程求利用,建立方程組: 積分得故所求通解為例6.的通解.解:對(duì)應(yīng)齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡(jiǎn)得此題不需再作變換.特征根:設(shè)的特解為于

21、是得的通解: 故原方程通解為 (二階常系數(shù)非齊次方程)代入可得: 應(yīng)齊次線性微分方程的通解, 然后用常數(shù)變易法求解即可, 為求出非齊次線性微分方程的通解, 只需求出其對(duì)應(yīng)因而從理論上說(shuō), 線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)問(wèn)題已徹底解決, 但怎樣求出變系數(shù)齊次線性微分方程的通解卻又是一個(gè)十分棘手而艱難的問(wèn)題. 事實(shí)上, 對(duì)一般的高階微分方程（即便是二階微分方程）, 并不存在求通解的一般方法. 但當(dāng)線性微分方程中的系數(shù)都是常數(shù)時(shí), 稱該方程為常系數(shù)線性微分方程。所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解可以通過(guò)代數(shù)方法來(lái)求解。我們主要討論二階常系數(shù)線性微分方程，其第五節(jié) 常系數(shù)線性微分方程 結(jié)論可推廣到高于二階的一般一、二階常

22、系數(shù)齊次線性微分方程階常系數(shù)線性微分方程。 定義1 如果在二階齊次線性微分方程中，系數(shù)函數(shù)則稱方程（1）為為二階常系數(shù)齊次線性微分方程.都是常數(shù)，即（1） 由上節(jié)的討論知,要求齊次線性方程(1)的通解,只需找到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.根據(jù)方程(1)的特征,函數(shù)與之間相差一個(gè)常數(shù)倍,而指數(shù)函數(shù)正好滿足這一條件,所以我們有理由猜想形如(其中r為常數(shù))，的函數(shù)可能是方程的解.由于將其帶入方程(1),整理可得（2）于是，只要的值滿足代數(shù)方程（2）,函數(shù)就是方程（1）的一個(gè)特解. 因此, 二次代數(shù)方程(2)稱為微分方(1) 的特征方程.特征方程的根稱為微分方程的特征根. 根據(jù)特征方程根的三種不同情形,微分方

23、程(1)的通解有以下三種形式: (1)當(dāng)特征方程(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí),是方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,故方程(1)的通解為 (2) 當(dāng)特征方程(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí),我們只得到一個(gè)特解求出另一個(gè)與其線性無(wú)關(guān)的特解即取,對(duì)求導(dǎo),得以及將代入方程(1)后得因是特征方程的二重跟, 故,且于是得從而可取,這樣就得到了另一個(gè)解所以方程(1)的通解可表示為 (3)當(dāng)特征方程(2)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),方程 (1)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)函數(shù)解也是方程(1)的解,并且與是線性無(wú)關(guān)的.因此,我們由疊加原理我們知道可取作為方程(1)的兩個(gè)實(shí)解,從而得到(1)的通解為 綜上所述,我們可得到求解二階常系數(shù)齊次線性方程

24、(1)的求解步驟如下: (1) 寫(xiě)出齊次方程(1)的特征方程(2); (2) 解特征方程(2),找出其特征根; (3) 按特征根的三種不同形式,寫(xiě)出方程(1)的通解,即 為兩個(gè)不等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根 為一對(duì)共軛復(fù)根特征方程的兩個(gè)實(shí)根對(duì)應(yīng)微分方程的通解 例1 求微分方程的通解. 解 所給方程的特征方程為其根是兩個(gè)不相等的實(shí)根,故所求方程的通解為 例2 求微分方程滿足初始條件的特解. 解 所給方程的特征方程為其根是兩個(gè)相等的實(shí)根,故所求方程的通解為將條件代入上式得,從而再對(duì)x求導(dǎo)，得再將條件代入后解得故所求方程的通解為 例3 求微分方程的通解. 解 所給方程的特征方程為其根是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，這里故所求

25、方程的通解為 關(guān)于二階常系數(shù)齊次線性微分方程的結(jié)論可直接推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程中去.(3)其中都是常數(shù).我們同樣可設(shè)我們同樣可設(shè)是方程(3)的解,則參數(shù)r滿足代數(shù)方程(4)代數(shù)方程（4）叫做微分方程（3）的特征方程. 該特征方程有n重根（重根按重?cái)?shù)計(jì)，即k階重根算作k個(gè)根），分別對(duì)應(yīng)著微分方程（3）的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解見(jiàn)下表：特征方程的根對(duì)應(yīng)微分方程的特解（i）單實(shí)根一個(gè)特解（ii）一對(duì)單復(fù)根二個(gè)特解（iii）k重實(shí)根K個(gè)特解（iv）一對(duì)k重復(fù)根2k個(gè)特解于是微分方程（3）的通解為 例4 求微分方程的通解. 解 所給方程的特征方程為其根為對(duì)應(yīng)的四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為 故所求方程的通解為

26、 例5 求微分方程 例5 求微分方程的通解. 解 所給方程的特征方程為 即其根為它們對(duì)應(yīng)的五個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為故所求方程的通解為 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 考慮二階常系數(shù)非齊次線性方程其中為常數(shù).根據(jù)上節(jié)定理3,方程(5)的通解是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的通解Y與(5)的一個(gè)通解之和.本節(jié)第一部分已介紹過(guò)齊次方程(1)的通解的求法.至于求解(5)的一個(gè)特解,一般而言,可利用上節(jié)介紹過(guò)的常數(shù)變易法.因此,在理論上,求(5)的通解問(wèn)題已經(jīng)獲得解答,但常數(shù)變易法在使用過(guò)程中往往會(huì)遇到較復(fù)雜的不定積分計(jì)算,因而有一定的難度.在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,方程(5)的自由項(xiàng)往往是某個(gè)m次多項(xiàng)式或等形式的函數(shù).

27、對(duì)這樣的我們介紹取下列兩種形式時(shí)求的方法-待定系數(shù)法,其特點(diǎn)是無(wú)需求積分方程就可以求出來(lái).1.型這時(shí)方程(5)變?yōu)?6)其中是一個(gè)m為常數(shù)次多項(xiàng)式.注意到方程(6)左端的之間只相差一個(gè)常數(shù)倍,而右端又含有和項(xiàng),的各階導(dǎo)數(shù)正好與自身相差常數(shù)倍,且多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式,即多項(xiàng)式乘以指數(shù)函數(shù)仍然式多項(xiàng)式乘以指數(shù)函數(shù),所以可以猜測(cè)方程(6)的解中也含有因子和多項(xiàng)式因子于是我們可假設(shè)(6)的特解為(7)將代入方程（6）中并消去得到(8) （i）若果不是特征方程（2）的根，即由于等式（8）左端必須是一個(gè)m次多項(xiàng)式，而等式左端中以多項(xiàng)式的方冪最高，故欲使（8）式的兩端相等，可令為另一個(gè) m次多項(xiàng)式將其

28、代入（8）式，比較等式兩端多項(xiàng)式中x的同次冪的系數(shù)，就可以得到以為系數(shù)的m+1個(gè)方程組成的聯(lián)立方程組，從中解出而得到從而得到所求特解 （ii）若果是特征方程（2）的根，即而（8）式變?yōu)樗砸蟊仨毷且粋€(gè)m+1次多項(xiàng)式，為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，可令并可用與（i）中相同的方法來(lái)確定中的系數(shù) （iii）若果是特征方程（2）的二重根，即且這時(shí)（8）式變?yōu)樗砸蟊仨毷且粋€(gè)m+2次多項(xiàng)式，于是可令并用同樣的方法來(lái)確定并用同樣的方法來(lái)確定中的系數(shù)綜上所述，我們有以下結(jié)論：如果而是方程（2）的k重根（不是特征根則以k=0重根計(jì)），則二階常系數(shù)非齊次線性方程（5）具有形如（9）的特解，即：k按不是特征方程（2）的根、是特

29、征方程（2）的單根、是特征方程（2）的二重根分別取為0、1、2 注：上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次方程的特解設(shè)定形式，即： 如果而是特征方程（4）的k重根（不是特征根則以k=0重根計(jì)），則 n階常系數(shù)非齊次線性方程（10）具有形如的特解. 例6 求微分方程的一個(gè)特解. 解 由特征方程得到特征根和本例中不是特征方程的根，故設(shè)非齊次特解為代入原方程，得于是所以特解 例7 求微分方程的通解. 解 由特征方程得到二重特征根所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為因是特征方程的二重根,故設(shè)非齊次特解為代入原方程并消去項(xiàng)，得于是所以特解故原非齊次方程的通解為2.型由上節(jié)定理6，我們可以先求出微分方程或（11）的特解則該

30、特解的實(shí)部和分別就是和所對(duì)應(yīng)的特解而方程（11）式右端的正好是類型1，于是就把類型2化為了類型1. 例8 求微分方程的一個(gè)特解. 解 方程右端中對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為為求原方程的一個(gè)特解,先求微分方程(12)的特解.由于2i不是特征方程的根，故可設(shè)特解為求導(dǎo)后代入相應(yīng)方程（12）并化簡(jiǎn)得從而其實(shí)部即為原方程的一個(gè)特解. 由本例可見(jiàn),盡管上述方法理論上簡(jiǎn)單,但在求解的實(shí)際計(jì)算中要進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算,顯得很不方便,為此,我們改進(jìn)上述方法,使其僅需在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)計(jì)算. 重新考慮方程(11)的特解.可令其中當(dāng)不是特征根時(shí),當(dāng)特征根時(shí),代入方程后比較多項(xiàng)式個(gè)同次冪的系數(shù)可確定出與同次冪的復(fù)值多項(xiàng)式于是其實(shí)部

31、與虛部分別是與它們分別是(13)與(14)的特解.的特解. 綜上所述,形如(11)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解可直接令為其中與均為與同次冪的實(shí)多項(xiàng)式.當(dāng)不是特征根時(shí),當(dāng)是特征根時(shí), 例9 求微分方程的一個(gè)特解. 解 方程右端中對(duì)應(yīng) 的齊次方程的特征方程為因是特征方程的根 故可設(shè)特解為求導(dǎo)后代入原方程并化簡(jiǎn)得從而解出于是非齊次特解 注:對(duì)于一般的其中和分別是x的L次多項(xiàng)式和n次多項(xiàng)式.應(yīng)類似的復(fù)方法可以得到如下結(jié)論: 如果則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（15）（或（16）其中和是m次多項(xiàng)式，而k按）不是特征方程的根、是特征方程的單根依次取0或1. 更進(jìn)一步,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊

32、次線性微分方程，但要注意（16）式中的k是特征方程中含根（或）的重復(fù)次數(shù). 例10 求微分方程的通解. 解: 這是非齊次線性方程,且屬于型(其中).特征方程為于是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為下面考慮非齊次特解.由于不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為求導(dǎo)得代入所給方程，得比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，得即因此所給方程的一個(gè)特解為從而原方程的通解為 例11 在第四節(jié)例1中，設(shè)物體受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力F的作用.試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解: 這里需要求出無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程的通解. 對(duì)應(yīng)的齊次微分方程(即無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程)為(17)(18)特征方程的根為故方程(18)的通解為令則方程(18)的通解又可寫(xiě)成其中,為任

33、意常數(shù). 方程(17)右端的函數(shù)與相比較,有現(xiàn)在分別就和兩種情況討論如下: (1)如果則不是特征方程的根,設(shè)代入方程(17)求得于是從而當(dāng)時(shí)，方程（17）的通解為上式表明，物體的運(yùn)動(dòng)由兩部分組成，這兩部分都是簡(jiǎn)諧振動(dòng).上式第一項(xiàng)表示自由振動(dòng),第二項(xiàng)所表示的振動(dòng)叫強(qiáng)迫振動(dòng)(或受迫振動(dòng)).強(qiáng)迫振動(dòng)是干擾力引起的,它的角頻率既是干擾力的角頻率p，當(dāng)干擾力的角頻率p與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率k相差很小時(shí)，它的振幅可以很大. (2) 如果則是特征方程的根,故設(shè)代入方程(11)求得于是從而當(dāng)時(shí),方程(17)的通解為上式右端第二項(xiàng)表明,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間t的增大無(wú)限增大.這就是發(fā)生所謂共振現(xiàn)象, 應(yīng)使干擾力的角

34、頻率P不要靠近振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率k.反之,如果要利用共振現(xiàn)象,則應(yīng)使或使p與k盡量靠近.有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題可作類似的討論,這里從落.數(shù)學(xué)建模與微分方程應(yīng)用簡(jiǎn)介 第六節(jié) 近年來(lái),國(guó)際上迅速發(fā)展的工業(yè)數(shù)學(xué)主要關(guān)心怎樣在非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用現(xiàn)有的或發(fā)展新的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，以求更高的經(jīng)濟(jì)與社會(huì)效益，而工業(yè)技術(shù)等領(lǐng)域中應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵一步是數(shù)學(xué)建模，可以說(shuō)數(shù)虛偽建模已發(fā)展為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支.本節(jié)介紹應(yīng)用微積分知識(shí)進(jìn)行微分方程的幾個(gè)典型例子,作為進(jìn)入這一分支的引導(dǎo). 一、數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介 在現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展史，牛頓的三大定律是數(shù)學(xué)模型的典型例子.牛頓在力學(xué)研究中,把力學(xué)規(guī)律通過(guò)數(shù)學(xué)式子來(lái)表 達(dá),并創(chuàng)建了

35、微積分,他又以微積分為工具,在開(kāi)普勒定律的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律.牛頓定律成功地解釋了許多自然現(xiàn)象，也為后來(lái)的一系列觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)所證實(shí).按照牛頓法則及其數(shù)學(xué)表達(dá)式, 人們通過(guò)微積分就可發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律, 計(jì)算出擺的振動(dòng)周期, 討論和設(shè)計(jì)人造衛(wèi)星與宇宙飛船的運(yùn)動(dòng)等等. 數(shù)學(xué)成為人類探索自然奧秘的強(qiáng)有力工具. 為了理解和認(rèn)識(shí)我們的客觀世界, 建立模型是最基本的工作. 迄今為止, 科學(xué)的模型都是數(shù)學(xué)模型,科學(xué)的數(shù)學(xué)化已經(jīng)深入到生物、社會(huì)及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域. 隨著生產(chǎn)的發(fā)展、社會(huì)的進(jìn)步, 人們需要對(duì)各種自然現(xiàn) 象、社會(huì)行為、生產(chǎn)過(guò)程、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等的許多問(wèn)題建立數(shù) 學(xué)模型, 以便能正確地解釋現(xiàn)實(shí)中提出的問(wèn)題,

36、 預(yù)測(cè)和控制其發(fā)展, 例如煉鋼廠的工程師們希望建立煉鋼過(guò)程的模型, 以便實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的自動(dòng)控制, 工廠廠長(zhǎng)希望對(duì)生產(chǎn)管理有一個(gè)數(shù)學(xué)模型, 以便通過(guò)計(jì)算機(jī)及時(shí)迅速地了解生產(chǎn)情況, 預(yù)測(cè)生產(chǎn)能力, 降低生產(chǎn)成本, 指揮全廠生產(chǎn).從從事城市規(guī)劃工作的專家需要建立一個(gè)包括人口、交通、能源、供水、供電、污染等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 為作出城市發(fā)展的決策提供科學(xué)依據(jù). 能源、供水、供電、污染等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 為作出城 所謂數(shù)學(xué)模型, 就是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)的模型, 即針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中某一特定現(xiàn)象, 為了某個(gè)特定目的而作即針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中某一特定現(xiàn)象, 為了某個(gè)特定目的而作出必要的簡(jiǎn)化和假設(shè), 運(yùn)用數(shù)學(xué)工具得

37、到的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), 具體地說(shuō), 數(shù)學(xué)模型為了某種目的,用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式、不等式、圖表圖象、框圖等, 是用來(lái)描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的, 模型的功能在于解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)、預(yù)測(cè)對(duì)象 的未來(lái)發(fā)展, 為使用者提供對(duì)象狀態(tài)的判據(jù), 以便對(duì)所研究對(duì)象實(shí)行決策和控制. 如何建立數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modelling)是一種數(shù)學(xué)的思考方法, 是對(duì)現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過(guò)心智活動(dòng)構(gòu)造出能抓住其主要且有用特征的表示, 常常是形象化的或符號(hào)化的表示. 建立數(shù)學(xué)模型需要知識(shí)、想象力和技巧. 建立符合實(shí)際的模型就像掌握一門(mén)藝術(shù)一樣, 必須見(jiàn)識(shí)廣, 反復(fù)實(shí)踐

38、和不斷學(xué)習(xí), 富于創(chuàng)造性. 整個(gè)建模過(guò)程大體上可用圖11-7 所示的框圖來(lái)說(shuō)明. 我們按以下幾步作一些解釋: 第一步 模型準(zhǔn)備. 首先要深入了解問(wèn)題的實(shí)際背景, 明確建模的要求, 對(duì)問(wèn)題作全面深入的調(diào)查研究, 收集必要的數(shù)據(jù), 掌握對(duì)象的各種信息. 第二步 模型假設(shè). 一般現(xiàn)實(shí)問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜, 涉及面廣, 要解決它必須將問(wèn)題理想化, 簡(jiǎn)單化, 作出必要的假設(shè). 不同的簡(jiǎn)化和假設(shè)會(huì)導(dǎo)致不同模型. 如假設(shè)不合理或 過(guò)分簡(jiǎn)單, 會(huì)使模型太粗而失效; 如假設(shè)過(guò)細(xì), 試圖把實(shí)際現(xiàn)象的各種因素包羅萬(wàn)象, 可能抓不住要領(lǐng), 無(wú)法突出主題建立合理模型. 因此, 假設(shè)是建立模型中的關(guān)鍵因素之一. 第三步 模型建立

39、.根據(jù)所作出的假設(shè),利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,建立各量(常量和變量)之間的關(guān)系(等式與不等式. 列出表格,畫(huà)出圖形或確定其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 建模的數(shù)學(xué)工具有微積分、微分方程、線性代數(shù)、規(guī)劃論、圖與網(wǎng)絡(luò)理論、運(yùn)籌學(xué)、統(tǒng)計(jì)、排隊(duì)論、決策論、控制論等等. 要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的數(shù)學(xué)工具和理論. 第四步 模型求解. 對(duì)已建立的模型, 求出未知變量的解, 求解過(guò)程要充分運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)及計(jì)算機(jī). 第五步 模型分析. 對(duì)所得 結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析,有時(shí)是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和建模目的分析變量據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和建模目的分析變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)等. 第六步 模型檢驗(yàn). 這一步是把模型的解和分析結(jié)果“翻譯”回實(shí)際對(duì)象中,

40、 用實(shí)際現(xiàn)象和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇耘c適用性. 如果檢驗(yàn)結(jié)果不符合或大部分不符合實(shí)際情況, 并且肯定模型建立與求解中不存在失誤, 問(wèn)題通常在模型假設(shè)不合合理上, 就要回到模型假設(shè)這一步, 修改原來(lái)假設(shè)重復(fù)建模過(guò)程. 如果檢驗(yàn)成功, 就可提供應(yīng)用了. 二、微分方程應(yīng)用之一人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型 中國(guó)最早翻譯歐幾里得幾何原本的明朝著名科學(xué)家徐光啟（15621613）早在16世紀(jì)就不止一次地說(shuō)過(guò)“人口大抵三十年而加一倍. ”“夫三十年為一世, 一世之中各有兩男子”. 徐光啟是世界上最早闡述人口增長(zhǎng)規(guī)律的一位科學(xué)家. 在西方, 英國(guó)神父馬爾薩斯（Malthus,1766-1834）是較早研究人口增長(zhǎng)模

41、型的人. 他在18世紀(jì)出版的人口論一書(shū)中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型. 他的基本 假設(shè)是: 在人口的自然增長(zhǎng)過(guò)程中, 凈相對(duì)增長(zhǎng)率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)率與人口總數(shù)之比）是常數(shù), 記此常為r（稱為生命系數(shù)）. 在t到t+t 這段時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量為 于是 滿足微分方程 (1) 設(shè) 時(shí) （即時(shí)刻人口數(shù)為）于是可解得(2) 如果 上式說(shuō)明人口總數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng). 如果考慮1年或10年為單位的t值, 可排為一個(gè)離散序列,那 么就可以說(shuō), 人口數(shù)是以 為公比的等比級(jí)數(shù)增加的. 上述模型（1）符合實(shí)際情況嗎？ 如果用1700年至1961年這段時(shí)間內(nèi)世界人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與公式算出的數(shù)字作比較, 那

42、么這個(gè)公式比較準(zhǔn)確地反映了這段時(shí)期人口總數(shù)的實(shí)際情況. 1961年全世界人口約有30.6億,在過(guò)去10年間人口按每年2凈相對(duì)速率增長(zhǎng),故由公式（56）可得 (3) 設(shè)經(jīng)過(guò)T年, 人口增加一倍, 即由此即可求得（年），實(shí)際上1700-1961年這段時(shí)間,地球上 人口大約35年增長(zhǎng)一倍, 可見(jiàn)公式（3）與實(shí)際是很吻合的. 徐光啟的人口觀與馬爾薩斯模型的預(yù)測(cè)也十分相近. 此模型是否符合未來(lái)實(shí)際情況呢？由公式（3）可見(jiàn),地球上人口總數(shù)在2670年將是 人, 這是一個(gè)天文數(shù) 字了, 因此這個(gè)模型是不合理的, 應(yīng)修改. 1837年, 荷蘭生物學(xué)家Verhulst 引入常數(shù), 稱為環(huán) 境最大容納量, 用來(lái)表示自然資源和環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù), 并假設(shè)凈相對(duì)增長(zhǎng)率為 即凈增長(zhǎng) 率隨 的增加而減少, 當(dāng) 時(shí)， 凈增長(zhǎng)率為零. 按這樣的假定, 人口增長(zhǎng)的方程應(yīng)改為（4） 滿足初始條件 的解為 （5） 可見(jiàn), 當(dāng) 與 相比很大時(shí), 與 相比可以忽略, （4）就化為Malthus模型; 但當(dāng) 與 相比不是很大時(shí), 這一項(xiàng)就不可忽略, 人口急劇增長(zhǎng)的速率就要減緩下來(lái), 模型（4）通常稱為L(zhǎng)ogistic(邏輯斯