2022年《定積分的概念》教案 2

1、 1.5.3 定積分的概念（2 課時）教學目標：通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程,明白定積分的背景；借助于幾何直觀定積分的基本思想,明白定積分的概念,能用定積分法求簡 單的定積分3懂得把握定積分的幾何意義；教學重點：定積分的概念、定積分法求簡潔的定積分、教學難點：定積分的概念、定積分的幾何意義教學過程：一創(chuàng)設情形 復習：定積分的幾何意義1 回憶前面曲邊圖形面積,變速運動的路程,變力做功等問題的解決方法,解決步驟：分割以直代曲求和取極限（靠近2對這四個步驟再以分析、懂得、歸納,找出共同點二新課講授1定積分的概念 一般地,設函數(shù) f x 在區(qū)間 , a b 上連續(xù),用分點a x 0 x 1

2、 x 2 x i 1 x i x n b將區(qū)間 , a b 等分成 n 個小區(qū)間,每個小區(qū)間長度為 x （x b a）,在每個小區(qū)間nn nx i 1, x i 上取一點 ii 1,2, , n ,作和式：S n f i x b af i i 1 i 1 n假如 x無限接近于0（亦即n）時,上述和式 S 無限趨近于常數(shù) S ,那么稱該常數(shù)bS 為函數(shù) f x 在區(qū)間 , a b 上的定積分；記為：S a f x dx其中 f x 成為被積函數(shù),x 叫做積分變量, , a b 為積分區(qū)間, b 積分上限, a 積分下限；b說明：（1）定積分 af x dx 是一個常數(shù),即 S 無限趨近的常數(shù) S

3、 （ n 時）稱為baf x dx ,而不是 S （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：n 等分區(qū)間 a b；近似代替：取點i x i 1, x i；求和：i n1 bn a f i ；取極限：a bf x dx limn i n1 f i bn ab t 2（3）曲邊圖形面積：S a f x dx ；變速運動路程 S t 1 v t dt；b變力做功 W a F r dr2定積分的幾何意義說明： 一般情形下,定積分b af x dx 的幾何意義是介于x 軸、函數(shù)f x 的圖形以及直線 x 軸下方的面積去負xa xb 之間各部分面積的代數(shù)和,在x 軸上方的面積取正號,在號（可以先不給同學講）

4、 分析：一般的,設被積函數(shù)yf x ,如yxf x 在 , a b 上可取負值；考察和式fx 1xfx 2xf x ifx nx不妨設f x i,f xi1,f x n0于是和式即為fx 1xfx 2xf x i1xf x ixfx nx b af x dx陰影 A 的面積陰影B 的面積 （即 x 軸上方面積減x 軸下方的面積）2定積分的性質 依據(jù)定積分的定義,不難得出定積分的如下性質：性質 1 b a1 dxbaxdx（其中 k 是不為 0 的常數(shù)）（定積分的線性性質）性性質 2bkfxdxkbfaa性質 3bf1 f2 x dxbbf1 x dxbf2 x dx（定積分的線性性質）aaab

5、c質 4f x dxf x dxcf x dx 其中acb aa（定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：推廣：b af1 f2 c 2fm x dxbf1 x dxbf2 x dxbfm aaa推廣 :bf x dxc 1af x dxf x dxbf x dxac 1c k性質說明：y性質 1yA性質 4CBy=1OabxS 曲邊梯形OMaPNCPNBbxAMNBS 曲邊梯形AMPCS 曲邊梯形三典例分析例 1運算定積分2 1x1 dx5；o y 1 2 x 分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積,面積為2即：2x1 dx512摸索：如改為運算定積分2 2x1 dx呢？轉變了積分上、下限,被積函數(shù)在 2,2 上出現(xiàn)了負值如何解決呢？（后面解決的問題）四課堂練習 運算以下定積分15 02x4