高考重難點專題突破-不等式

1、PAGE 36高考重難點專題突破之不等式綜述（內(nèi)容、地位、作用）：在蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書必修系列中，直接涉及“不等式”內(nèi)容的部分為必修5第三章不等式。另外，在實際教學(xué)過程中，在學(xué)到必修5不等式之前的某些章節(jié)（如集合、函數(shù)的值域等），無論文理科班，基于教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性和完整性，老師們基本上都要對選修4-5中的部分基礎(chǔ)性內(nèi)容進行選講。所以“不等式”的內(nèi)容主要來自必修5第三章不等式以及選修系列4-5不等式選講。綜合來看，不等式的內(nèi)容主要可分為不等式的求解、證明和應(yīng)用三部分，它們又分別以一元二次不等式的求解、均值不等式相關(guān)的證明、不等式在應(yīng)用題以及線性規(guī)劃中的應(yīng)用為主。不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，

2、 它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著廣泛的工具性作用，對學(xué)生們步入大學(xué)之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也具有基礎(chǔ)性的鋪墊作用。在歷年的高考中，不等式雖很少單獨命題（理科附加卷除外），但無論從它所涉及到的知識點或是題量來看，有關(guān)不等式的試題分布范圍極廣（甚至有些題目很難界定其中對不等式的考查所占到的比重，所以我們也很難準(zhǔn)確給出高考中不等式所占分值），試題不僅考查了不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，還考查了運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的應(yīng)用能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在高考命題趨勢上，不等式的考查極其突出工具性，淡化獨立性、突出解，是不等式命題的總體取向。高考中不等式試題的落腳點主要有：一

3、，不等式的性質(zhì)，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等結(jié)合起來，考查不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等；二，不等式的證明，多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識為背景，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，綜合性強，能力要求高；三，解不等式，往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起，考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力；四，不等式的應(yīng)用，以當(dāng)前經(jīng)濟、社會生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題是高考的熱點，主要考查學(xué)生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。考試要求與教學(xué)建議：必修5部分新課標(biāo)在對“必修5”不等式一章的說明中指出：“不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容掌握求解一元二次不等式的基

4、本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。”由此，我們大致可以看出教材對于本部分的基本要求以及高考的考查要點。本部分的課標(biāo)建議課時為大約16課時。相應(yīng)的說明與建議主要有：一元二次不等式教學(xué)中，應(yīng)注重使學(xué)生了解一元二次不等式的實際背景。求解一元二次不等式，首先可求出相應(yīng)方程的根，然后根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的圖象求出不等式的解；也可以運用代數(shù)的方法求解。鼓勵學(xué)生設(shè)計求解一元二次不等式的程序框圖。不等式有豐富的實際背景，是刻畫區(qū)域的重要工具。刻畫區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟，教學(xué)中

5、可以從實際背景引入二元一次不等式組。線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一。在本模塊的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，不必引入很多名詞。不等式選講部分此部分文理科考生的對待方式見的異同我們已在“綜述”部分有所講解，次不贅述。本專題主要介紹幾個數(shù)學(xué)中重要的不等式以及數(shù)學(xué)歸納法。本專題特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。從文理科學(xué)習(xí)之間的異同的角度，我們可以將本專題內(nèi)容分為兩部分：前半部分，文理科同等要求，且均在必修過程中已基本講解到位；后半部分，只對理科生做簡單要求

6、，即高考時所考題目難度不大，基本上可直接套用公式，或只需經(jīng)簡單并行即可套用公式，同時，也不是必做題。下面，我們把新課標(biāo)中的內(nèi)容與要求重點性的摘錄于此，以供諸位師生探討，同時也作為本部分內(nèi)容的一個基本總結(jié)，后文將不再詳細展開。理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明三角不等式等。認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式。了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題。會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。考點歸納與題型講解之“不等式的求解”（一）

7、、不等式的性質(zhì)1、不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學(xué)會對不等式進行條件的放寬和加強。2、兩個實數(shù)的大?。?；3、不等式的基本性質(zhì)： (1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式不等號的方向不變?nèi)绻?，那?(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變?nèi)绻?，那么（或?（3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變?nèi)绻?那么（或）由上面三條可以衍生出如下的性質(zhì)： （1）（對稱性）（2）（傳遞性） （3）（加法單調(diào)性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調(diào)性）（

8、8）（同向不等式相乘） （異向不等式相除） （倒數(shù)關(guān)系）（11）（平方法則）（12）（開方法則）4例題：（1）已知，則的取值范圍是_（答：）；（2）已知，且則的取值范圍是_（答：）（二）解一元一次不等式（組）1一元一次不等式1.1定義： 只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式注：一元一次不等式的一般形式是ax+bO或ax+bb）不等式組圖示解集（同大取大）（同小取?。ù笮〗徊嫒≈虚g）無解（大小分離解為空）24.解一元一次不等式組的步驟(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集；(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集3例題講解【例1】 解不

9、等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.解:解不等式得，解不等式得，不等式和的解集在數(shù)軸上表示如下：原不等式組的解集是.（三）解一元二次不等式（組）1：一元二次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式：或.2：一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以聯(lián)系二次函數(shù)的圖象，圖象在軸上方部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)值的集合為不等式的解集，圖象在軸下方部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)值的集合為不等式的解集.設(shè)一元二次方程的兩根為且，則相應(yīng)的不等式的解集的各種情況如下表：(a0)的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根注：表中不等式

10、的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，可先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決； 3：規(guī)律方法指導(dǎo)3.1解一元二次不等式首先要看二次項系數(shù)a是否為正；若為負，則將其變?yōu)檎龜?shù)；3.2若相應(yīng)方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；3.3寫不等式的解集時首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；3.4根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；3.5若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要討論最高項的系數(shù)（四）解分式不等式1. 形如f(x)/g(x)0或f(x)/g(x)0（其中f(x)、g(x)

11、為整式且g(x)不為）的不等式稱為分式不等式。通俗的說就是分母中含未知數(shù)的不等式稱之為分式不等式。2. 歸納分式不等式的解法：（不知道分母正負的時候）化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型：方法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式將分式不等式進行形如以下四類的等價變形：（1） （2）（3）（4）3.例題講解：解不等式：.解法1：化為兩個不等式組來解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解： ， 原不等式的解集是點評：提倡用解法2，避免分類討論，提高解題速率。變式1：解不等式解：的解集是x| -70”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.+xnxn-1x3x2

12、x1-說明：注意不等式若帶“=”號，點畫為實心，解集邊界處應(yīng)有等號；3.例題講解：例1.解不等式：.解：+，用穿根法（零點分段法）畫圖如下：+-1123原不等式的解集為x| -1x1或2x3.例2 解不等式：.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖：原不等式的解集為：x|-1x2或2x3.說明：3是三重根，在C處穿三次，2是二重根，在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時，n為奇數(shù)時，曲線在x1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在x1點處不穿

13、過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.（六）解無理不等式1.基本概念：根號下含有未知數(shù)的不等式。2、無理不等式的類型（高考對這方面的要求不太高）3.根式不等式的解法3.1類型一：例：解不等式解：原不等式可化為，根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得：解得所以，原不等式的解集為3.2類型二：注：第一個花括號內(nèi)的f(x)大于等于0可以省略。例2 解不等式解：原不等式可化為根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得解這個不等式組（1），得解這個不等式組（2），得所以，原不等式的解集為3.3類型三：例3 解不等式解：原不等式可化為根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得解這個不等式組，得3.4 類型四： 例4 解不等式解：由原不

14、等式可得：解得解法小結(jié)：解無理不等式的主要思路是去根號。但去根號的時候要注意下根號里的數(shù)和根號外的數(shù)的正負?。ㄆ撸┙饨^對值不等式的常用方法解含有絕對值的不等式的關(guān)鍵是想法把它轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，常見的解法有以下幾種：1、利用絕對值的定義例1：解不等式.解：原不等式于：（）或（）由（）得：或（）得原不等式的解集為：. 解不等式.解：原不等式即：，由絕對值的意義可知，亦即，所以，即原不等式的解集為 .評注：利用絕對值的意義求解有些不等式時可另辟蹊徑，化繁為簡.解不等式分析：不等式左邊可化掉無理式。解：原不等式等價于或或原不等式的解集為2、利用絕對值的性質(zhì)例1：解不等式.解：原不等式等價于即:

15、 由得由得原不等式的解集為：.3、利用平方法例1：解不等式.解：將原不等式兩邊平方為： 原不等式的解集為：.例2、解不等式解：原不等式變?yōu)椋旱葍r于，即原不等式的解集為4、利用分段討論法（即零點分段法）例1：解不等式.解：當(dāng)時，不等式化為：當(dāng)時，不等式化為： 當(dāng)時， 綜上所述，不等式的解集為：.例2. 解不等式分析：如何去掉兩個絕對值的符號？首先找出零點，第一個絕對值的式子的零點為5，第二個式子的零點為，兩個零點把數(shù)軸分成三段，故可分為三段討論。解：原不等式變?yōu)椋杭丛坏仁降慕饧癁樽ⅲ豪么朔ń忸}時要注意x的系數(shù)為正。5、利用絕對值的幾何意義例1：解不等式.解：不等式表示數(shù)軸距A（3）、B（-2

16、）兩點的距離之和大于5的點，方程表示在數(shù)軸上距A、B兩點的距離之和等于5的點。原不等式的解集為：.6、利用不等式組法（即等價轉(zhuǎn)化法） 例1：已知關(guān)于x的不等式有解，求a的取值范圍。 解：令 則 ， 可將原不等式變?yōu)椴坏仁浇M ，因原不等式有解，如圖，易得 。例2：已知關(guān)于x的不等式的解集為R，求a的取值范圍。解：令，由上知，故可將原不等式等價變?yōu)椴坏仁浇M ，如圖 ，易得.7、利用數(shù)形結(jié)合法例1 解不等式解 畫出和的圖像，如圖所示，求出他們的交點的橫坐標(biāo)分別是和因為，所以原不等式的解是的交點的橫坐標(biāo)，由圖像知：原不等式的解是或.例2 若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：在同一坐標(biāo)系中分別

17、畫出函數(shù)與的圖象（如下圖），顯然，要使不等式對一切恒成立，須，即的取值范圍是.例3 若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)及（如下圖），由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)圖象的下方，因此，函數(shù)的圖象也必須經(jīng)過點，所以.評注：運用數(shù)形結(jié)合的方法求解絕對值不等式問題，既直觀形象，又簡單易行.8 利用利用定比分點法例1 解不等式.解：在數(shù)軸上取，其中，使P為 的內(nèi)分點即可，這就順利地去掉了絕對值符號， 由 即： 即：解不等式：.等價于整式不等式：又 故不等式的解集為：9、利用絕對值不等式注：主要指絕對值的三角不等式例1 解不等式：.解析：首先應(yīng)有，所以原不等式等價

18、于，由于在不等式中，成立的條件是，所以原不等式等價于，而，所以，因此得，故原不等式的解集為.評注：要特別注意不等式中各部分等號及不等號成立的條件，利用這些條件可以解決一些絕對值不等式或方程問題.例2 若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：令，則只須求出函數(shù)的最小值即可.由于（當(dāng)時等號取到），即的最小值等于3，所以不等式恒成立時，的取值范圍是.評注：此處用絕對值不等式求最值，避免了對函數(shù)的分段討論，顯得非常簡單.（八）用數(shù)學(xué)思想方法解不等式注：再解不等式時，有時充分借用常見數(shù)學(xué)思想，如整體思想、等價變形思想、補集思想、方程與函數(shù)思想等等，進行求解，會起到事半功倍的效果。讀者可自行對照相關(guān)題型研

19、究、學(xué)習(xí)，此不詳細列舉?？键c歸納與題型講解之“不等式的證明”（一）比較法證明不等式例1 若，證明（ 且）分析1 用作差法來證明需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明解法1 （1）當(dāng)時，因為 ，所以 （2）當(dāng)時，因為 ，所以 綜合（1）（2）知分析2 直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號解法2 作差比較法因為 ，所以說明：解法一用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法二用對數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快例2 設(shè)，求證：分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不

20、等式證明：，. 又，.說明：本題考查不等式的證明方法比較法(作商比較法).作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.（二）綜合法證明不等式例1 對于任意實數(shù)、，求證（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）分析 這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有，展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明： （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）兩邊同加，即： （1）又： （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）兩邊同加 （2）由（1）和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）說明：此題參考用綜合法證明不等式綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意

21、均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解 例2 若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：【分析】根據(jù)本題的條件和要證明的結(jié)論，既可用分析法由可用綜合法?！咀C法一】（綜合法）：， 又a、b、c是不全相等的正數(shù)，有。 即【證法二】 （分析法）要證即證成立。只需證成立。，。 （*）又a、b、c是不全相等的正數(shù)，（*）式等號不成立。原不等式成立。（三）分析法證明不等式例1 已知，求證：0.分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程.證明一：(分析法書寫過程)為了證明0只需要證明0成立0成立證明二：(綜

22、合法書寫過程) 0成立0成立說明：學(xué)會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時，應(yīng)用語言敘述清楚.例2、 若，且，求證：分析 這個不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來尋找證明途徑但用“分析”法證不等式，要有嚴(yán)格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）證明：為要證只需證，即證，也就是，即證，即證，故即有，又 由可得成立， 所求不等式成立說明：此題考查了用分析法證明不等式在題目中分析法和綜合法是綜合運用的，要注意在書寫時，分析法的書寫過程應(yīng)

23、該是：“欲證需證”，綜合法的書寫過程是：“因為（）所以（）”，即使在一個題目中是邊分析邊說明也應(yīng)該注意不要弄混例3 設(shè)、為正數(shù)，求證分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法證明：要證，只需證，即證，化簡得，原不等式成立說明：1本題證明易出現(xiàn)以下錯誤證法：，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且來討論，結(jié)果無效2用分析法證明數(shù)學(xué)問題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當(dāng)然相互為充要條件也可以（四）反正法證明不等式例1若，求證分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡、宜用反證法證法一：假設(shè)，則，而，故從而，這與假設(shè)矛盾，故證法二：假設(shè)，則，故，即，即，這不

24、可能從而證法三：假設(shè)，則由，得，故又，即這不可能，故說明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾一般說來，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結(jié)論以否定語句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過頭”時，都可以考慮用反證法例2 已知，求證：中至少有一個不小于?！痉治觥坑捎陬}目的結(jié)論是：三個函數(shù)值中“至少有一個不小于”，情況較復(fù)雜，會出現(xiàn)多個異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁冗，而結(jié)論的反面構(gòu)成三個同向不等式，結(jié)構(gòu)簡單，故采用反證法為宜?！咀C明】（反證法）假設(shè)都小于，則，而 ，相互矛盾中至少有一個不小于。思維點拔 用反證法證明命題時，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣。有的與已知矛

25、盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實相違背等等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的。（五）三角換元法證明不等式例1 已知，求證分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識，進行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進行證明證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)，可設(shè)，其中由，故而，故說明：1三角代換是最常見的變量代換，當(dāng)條件為或或時，均可用三角代換2用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的變量和取值的變化會影響其結(jié)果的正確性（六）放縮法證明不等式例1 設(shè)是正整數(shù)，求證分析：要求一個項分式的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項的范圍，再求整體的范圍證明：由，得當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，說明：1、用放縮法

26、證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會走入困境典型例題如證明由，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如果從第2項放縮，可得小于2當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和例2、 證明不等式：，解 因為對于任意自然數(shù)，都有，所以，從而不等式得證點評：放縮法是一種證明的技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考察如本題中注意到所要求證的式子左右兩端的差異，以及希望把左式化簡的目標(biāo)例3 已知，求證：三數(shù)不

27、都大于分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明假設(shè)命題不成立，則三數(shù)都大于，從這個結(jié)論出發(fā)，進一步去導(dǎo)出矛盾證明：假設(shè)三數(shù)都大于，即，又，又，以上三式相加，即得：顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證說明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關(guān)鍵在于“歸謬”，同時，在反證法的證明過程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想例4 求證分析：此題的難度在于，所求證不等式的左端有多項和且難以合并，右邊只有一項注意到這是一個嚴(yán)格不等式，為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律，這只需從下手考查即可證明：，說明：此題證明過程并不復(fù)雜，但思路難尋本題所采

28、用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵（七）基本不等式法證明不等式例1 如果，求證：分析：注意到不等式左邊各字母在項中的分布處于分離狀態(tài)，而右邊卻結(jié)合在一起，因而要尋求一個熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能（保持兩邊項數(shù)相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明證明：說明：分析時也可以認(rèn)為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式而得到的左右兩邊都是三項，實質(zhì)上是公式的連續(xù)使用如果原題限定,則不等式可作如下變形：,進一步可得到：顯然其證明過程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因為發(fā)現(xiàn)思路還要有一個轉(zhuǎn)化的過程例2

29、 已知是不等于1的正數(shù)，是正整數(shù)，求證分析：從求證的不等式看，左邊是兩項式的積，且各項均為正，右邊有2的因子，因此可考慮使用均值不等式證明：是不等于1的正數(shù)，又將式，兩邊分別相乘得，說明：本題看起來很復(fù)雜，但根據(jù)題中特點，選擇綜合法求證非常順利由特點選方法是解題的關(guān)鍵，這里因為，所以等號不成立，又因為，兩個不等式兩邊均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果這也是今后解題中要注意的問題例3 已知，且，求證分析：從本題結(jié)構(gòu)和特點看，使用比較法和綜合法都難以奏效為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再決定證題方法證明：要證，只需證，只需證，成立說明：此題若一味地用分析法去做

30、，難以得到結(jié)果在題中得到只需證后，思路已較清晰，這時改用綜合法，是一種好的做法通過此典型例題可以看出，用分析法尋求不等式的證明途徑時，有時還要與比較法、綜合法等結(jié)合運用，決不可把某種方法看成是孤立的例4、已知、，求證分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧證明： ，同理：，。 說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當(dāng)變形

31、，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的（八）化歸法證明不等式例1 在中，角、的對邊分別為，若，求證分析：因為涉及到三角形的邊角關(guān)系，故可用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化證明：，由余弦定理得， = 說明：三角形中最常使用的兩個定理就是正弦和余弦定理，另外還有面積公式本題應(yīng)用知識較為豐富，變形較多這種綜合、變形能力需要讀者在平時解題時體會和總結(jié)，證明不等式的能力和直覺需要長期培養(yǎng)（九）判別式法法證明不等式 例1： 已知，求證：都屬于?！咀C明】由已知得：，代入中得：，0，即解得，即y 。同理可證x ，z 。變式：設(shè)，且，求證：因為，而所以，所以a，b為方程 （1）的二實根而，故方程（1）有均大于c的二不等

32、實根。記，則解得。思維點拔 在比較法、綜合法無效時，如果能利用主元素法把原式整理成關(guān)于某函數(shù)的二次式，可考慮用判別式，要注意根的范圍和題目本身的條件限制。 例2 證明不等式證法：令關(guān)于a的二次三項式f（a）0 （十）構(gòu)造函數(shù)法證明不等式 例1 設(shè)0 x1，0y1，0z1，證明。分析 構(gòu)造一次函數(shù)解答本題。證明 構(gòu)造函數(shù)整理，得f(x)=(1-y-z)+(y+z-yz) （0 x1） (1)當(dāng)01yz1時，f(x)在（0，1）上是增函數(shù)，于是f(x)f(1)=1yz1； (2)當(dāng)11yz0時，f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，于是f(x)f(0)=y+zyz=1(1y)(1z)1； (3)1yz=0時，即y+z=1時，f(x)=y+zyz=1yz1，綜上，原不等式成立。點評 由于11yz1，所以本題就“01yz1，11yzbc，求證：分析 考慮到ac=（ab）+（bc），由此可以令x