《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》第6章參數(shù)估計(jì)6.6課件

1、6.6 區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)三、小結(jié)第1頁(yè)，共46頁(yè)。 引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大. 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 .第2頁(yè)，共46頁(yè)。我們希望第3頁(yè)，共46頁(yè)。一、區(qū)間估計(jì)基本概念1. 置信區(qū)間的定義第4頁(yè)，共46頁(yè)。2. 單側(cè)置信上（下）限的定義第5頁(yè)，共46頁(yè)。關(guān)于定義的說(shuō)明第6頁(yè)，共46頁(yè)。例如第7頁(yè)，共46頁(yè)。 一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間內(nèi).這里有兩個(gè)要求:由定義可見， 對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是

2、要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)第8頁(yè)，共46頁(yè)。2. 估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率 要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠. 可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.第9頁(yè)，共46頁(yè)。3. 求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)第10頁(yè)，共46頁(yè)。第11頁(yè)，共46頁(yè)。二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)1.I 單個(gè)總體的情況第12頁(yè)，共46頁(yè)。推導(dǎo)過(guò)程如下:第13頁(yè)，共46頁(yè)。第14頁(yè)，共46頁(yè)。這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為第15頁(yè)，共46頁(yè)。 包糖機(jī)某日開工包

3、了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解例1第16頁(yè)，共46頁(yè)。第17頁(yè)，共46頁(yè)。查表得第18頁(yè)，共46頁(yè)。例6.5.4 設(shè)總體為正態(tài)分布N(,1)，為得到 的置信水平為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)1.2，樣本容量應(yīng)為多大？第19頁(yè)，共46頁(yè)。推導(dǎo)過(guò)程如下:第20頁(yè)，共46頁(yè)。第21頁(yè)，共46頁(yè)。解 有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋, 稱得重量(克)如下: 設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值例2第22頁(yè)，共46頁(yè)。就是說(shuō)估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與50

4、7.1克之間, 這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%.這個(gè)誤差的可信度為95%.第23頁(yè)，共46頁(yè)。例6.5.5 假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計(jì)某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，測(cè)得它們的壽命（單位：萬(wàn)公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬(wàn)公里）第24頁(yè)，共46頁(yè)。 在實(shí)際問(wèn)題中，由于輪胎的壽命越長(zhǎng)越

5、好，因此可以只求平均壽命的置信下限，也即構(gòu)造單邊的置信下限。由于 由不等式變形可知 的1-置信下限為 將t0.95(11)=1.7959代入計(jì)算可得平均壽命 的0.95置信下限為4.5806（萬(wàn)公里）。 第25頁(yè)，共46頁(yè)。推導(dǎo)過(guò)程如下:根據(jù)2第26頁(yè)，共46頁(yè)。第27頁(yè)，共46頁(yè)。進(jìn)一步可得:注意: 在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí), 習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)確定置信區(qū)間(如圖).第28頁(yè)，共46頁(yè)。 (續(xù)例2) 求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間例5第29頁(yè)，共46頁(yè)。 在樣本容量充分大時(shí)，可以用漸近分布來(lái)構(gòu)造近似的置信區(qū)間。一個(gè)典型的例子是關(guān)于比例p 的置信

6、區(qū)間。3.大樣本置信區(qū)間 第30頁(yè)，共46頁(yè)。 設(shè)x1, xn是來(lái)自b(1, p)的樣本,有 對(duì)給定 ， ，通過(guò)變形，可得到置信區(qū)間為 其中記= u21-/2，實(shí)用中通常略去/n項(xiàng)，于是可將置信區(qū)間近似為第31頁(yè)，共46頁(yè)。例6.5.7 對(duì)某事件A作120次觀察，A發(fā)生36次。試給出事件A發(fā)生概率p 的0.95置信區(qū)間。解：此處n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（雙側(cè)）置信下限和上限分別為 故所求的置信區(qū)間為 0.218，0.382第32頁(yè)，共46頁(yè)。II 兩個(gè)正態(tài)總體下的置信區(qū)間 設(shè)x1 , , xm是來(lái)自N(1, 12)的樣本，y1 , , y

7、n是來(lái)自N(2, 22)的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。 與 分別是它們的樣本均值， 和 分別是它們的樣本方差。下面討論兩個(gè)均值差和兩個(gè)方差比的置信區(qū)間。 第33頁(yè)，共46頁(yè)。一、1 -2的置信區(qū)間1、 12和 22已知時(shí)的兩樣本u區(qū)間 2、 12 = 22 = 2未知時(shí)的兩樣本t區(qū)間 第34頁(yè)，共46頁(yè)。3、 22 / 12=c已知時(shí)的兩樣本t區(qū)間 第35頁(yè)，共46頁(yè)。4、當(dāng)m和n都很大時(shí)的近似置信區(qū)間 5、一般情況下的近似置信區(qū)間 其中 第36頁(yè)，共46頁(yè)。例6.6.9 為比較兩個(gè)小麥品種的產(chǎn)量，選擇18塊條件相似的試驗(yàn)田，采用相同的耕作方法作試驗(yàn)，結(jié)果播種甲品種的8塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量和播種乙品

8、種的10塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：千克/畝）分別為： 甲品種 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品種 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定畝產(chǎn)量均服從正態(tài)分布，試求這兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量差的置信區(qū)間.( =0.05）。 第37頁(yè)，共46頁(yè)。解：以x1 , , x8記甲品種的畝產(chǎn)量，y1 , , y10記乙品種的畝產(chǎn)量，由樣本數(shù)據(jù)可計(jì)算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分兩種情況討論。 第38頁(yè)，共46頁(yè)。(1) 若已知兩個(gè)品種

9、畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差相同，則可采用兩樣本t區(qū)間。此處 故1 -2的0.95置信區(qū)間為第39頁(yè)，共46頁(yè)。(2) 若兩個(gè)品種畝產(chǎn)量的方差不等，則可采用近 似 t 區(qū)間。此處 s02 =2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914， s0 =24.3555 于是1-2的0.95近似置信區(qū)間為 31.74，134.02第40頁(yè)，共46頁(yè)。二、 12/ 22的置信區(qū)間 由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且sx2與sy2相互獨(dú)立，故可仿照F變量構(gòu)造如下樞 軸量 ,對(duì)給定的1-，由 經(jīng)不等式變形即給出 12/ 22的如下的置信區(qū)間第41頁(yè)，共46頁(yè)。例6.6.10 某車間有兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一類套筒，假設(shè)套筒直徑服從正態(tài)分布。現(xiàn)在從兩個(gè)班次的產(chǎn)品中分別檢查了5個(gè)和6個(gè)套筒，得其直徑數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 試求兩班加工套筒直徑的方差比 甲2/ 乙2的0.95置信區(qū)間。解： 由數(shù)據(jù)算得sx2=0.00107, sx2