高等數(shù)學(xué)常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)課件

1、常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為 則微分其根稱為特征根.猜想有特解特征方程2. 當(dāng)時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x ,

2、 則得因此原方程的通解為特征方程3. 當(dāng)時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解: 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為歐拉公式不是常數(shù)小結(jié):特征方程:實(shí)根 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .-特征方程法例1. 的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解為例2. 求解初值問題解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例3解特征方程為解得故所求通解為n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)推廣：?jiǎn)螌?shí)根r一對(duì)單復(fù)根注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù).實(shí)重根復(fù)單根復(fù)重根實(shí)單根幾種情況每個(gè)根對(duì)應(yīng)通解中的一項(xiàng)其寫法與二階方程的情形完全類似具體分為例4.的通解. 解: 特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不難看出, 原方程有特解例6.解: 特征方程:特征根為則方程通解 :內(nèi)容小結(jié)特征根:(1) 當(dāng)時(shí), 通解為(2) 當(dāng)時(shí), 通解為(3) 當(dāng)時(shí), 通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 . 求以為通解的微分方程 .提示: 由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為練習(xí)：作業(yè) P222 1 (1) , (