代數(shù)課程思想方法介紹和理論

1、代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論 本科的代數(shù)類課程有三門：高等代數(shù)，近世代數(shù)和初等數(shù)論 （暫且列入） 本次講座談?wù)劥鷶?shù)課的發(fā)展歷史思想方法和現(xiàn)代研究的方向代數(shù)課程思想方法介紹和理論 高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一年級學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，是進入大學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的承上啟下的課程；近世代數(shù)課程則是進一步研究學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)的入門課程代數(shù)課程在學(xué)習(xí)和掌握其中的基礎(chǔ)理論和基本方法的同時，更重要的是學(xué)習(xí)培養(yǎng)抽象思維，邏輯推理和空間直觀想像這三種基本的數(shù)學(xué)思維代數(shù)課程思想方法介紹和理論 代數(shù)學(xué)是以數(shù)、多項式矩陣和它們的運算，以及群環(huán)域和模等為研究對象的學(xué)科簡單地說，代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)系統(tǒng)（帶有一些運

2、算的集合）的下面從幾個問題談這門課程的幾個方面代數(shù)課程思想方法介紹和理論一公理化方法 公理化方法是數(shù)學(xué)演繹或數(shù)學(xué)思想方法的邏輯上的嚴謹化發(fā)展的結(jié)果，在數(shù)學(xué)理論中的概念定義和定理命題的證明必須從一些已經(jīng)被大家熟知的概念和已公認正確的結(jié)論出發(fā)，這些“約定”的概念為基本概念，“約定”公認成立的結(jié)論成為公理基本概念和公理組成的一個邏輯體系稱為某一理論的公理系統(tǒng)基本概念公理命題定理理論體系邏輯推理代數(shù)課程思想方法介紹和理論 典型的古典平面幾何立體幾何 就是一個公理體系最嚴謹?shù)捏w系是由希爾伯特在Euclid的幾何原本基礎(chǔ)之上完成的 希爾伯特的幾何公理體系： 基本概念點直線和平面，三種關(guān)系：屬于，介于和合同

3、于第一組結(jié)合公理（關(guān)聯(lián)公理從屬公理）共8條代數(shù)課程思想方法介紹和理論 對于兩點A，B，存在通過這兩點的直線a； 對于兩點A，B，至多存在一條直線通過這兩點； 每條直線上至少有兩點至少存在三點不在同一 直線上； 對于不在同一直線上的三點A，B，C，存在通過三點 的平面 ，在每個平面上至少有一個點代數(shù)課程思想方法介紹和理論 對于不在同一直線上的三點A，B，C，至多 有一個平面 通過這三點； 如果直線a和兩點A，B在平面 上，那么直 線a的每個點都在平面 上； 如果兩個平面 ， 通過一點A，那么它們 還通過另一個點B； 至少存在四個不在同一平面上的點代數(shù)課程思想方法介紹和理論 第二組順序公理 ，共4

4、條 第三組合同公理，共5條 第四組平行公理，只有一條 如果a是任意直線，A是不在a上的一點，那么在a 和A確定的平面上，只有一條直線通過A，且不與a相交代數(shù)課程思想方法介紹和理論 第五組連續(xù)公理，有2條 公理化的三要素：完備性 相容性 獨立性 Hilbert在所著幾何基礎(chǔ)中從上述5組公理出發(fā)，純粹按照形式邏輯，不借助其它概念，方法和直觀，嚴格地推論出歐氏幾何的全部命題，使幾何學(xué)成為一純粹的邏輯演繹體系代數(shù)課程思想方法介紹和理論 希爾伯特幾何公理體系成為一個典范促使數(shù)學(xué)公理化方法的形成，對20世紀(jì)的數(shù)學(xué)起了很大的推動作用 歐氏幾何中的平行公理改成羅氏公理（改成過直線外的一點可以做兩條直線與該直線

5、平行），就可以得到羅巴切夫幾何 數(shù)學(xué)公理化方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中也有體現(xiàn)，平面幾何和立體幾何都提出了基本概念和公理通過邏輯推理得到命題和定理代數(shù)課程思想方法介紹和理論 歐氏幾何是平面幾何和立體幾何高等代數(shù)中的線性代數(shù)部分是Weyle于1918年用代數(shù)學(xué)中的向量空間（公理化）建立了幾何學(xué)的向量結(jié)構(gòu) 用集合論的觀點，用公理化方法建立向量空間的理論體系： 向量空間 線性相關(guān)， 兩個運算 “+”，“ ” 線性無關(guān)，坐標(biāo)，基 運算法則 維數(shù)，代數(shù)課程思想方法介紹和理論 歐氏空間 實數(shù)域 上的向量空間，還有內(nèi)積 長度兩向量的夾角， 向量的正交性 高代課程中還有一些概念是直觀定義的，沒有嚴格公理化 如 代數(shù)

6、課程思想方法介紹和理論 公理化方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的思想方法，它深刻地影響了現(xiàn)代社會的思想觀念社會科學(xué)中典型例子 （1）法制社會中的憲法刑法以及各種法律文件是現(xiàn)代社會的公理體系，由此推理演繹出的法制法規(guī)條款每一次法庭判案都可看作是由這個公理體系所做的推理過程代數(shù)課程思想方法介紹和理論（2）現(xiàn)代選舉學(xué)是由造詣很高的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的數(shù)理理論斯坦福大學(xué)教授阿羅（1922年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者）用公理化方法研究選舉法，證明了定理（阿羅不可能性定理）：絕對公平的選舉系統(tǒng)是不存在的代數(shù)課程思想方法介紹和理論 Hilbert的一個宏偉目標(biāo)是，將數(shù)學(xué)的全部理論公理化但是奧地利數(shù)學(xué)家， ，證明了任何形式化公理系統(tǒng)內(nèi)

7、中不可判定命題的存在性這就徹底讓Hilbert的計劃無法實現(xiàn)哥維爾不完備性定理表明，任何形式系統(tǒng)內(nèi)不足以證明所有在系統(tǒng)中可以作出的判斷體現(xiàn)在選舉學(xué)中就是阿羅不可能性定理代數(shù)課程思想方法介紹和理論二數(shù)系的擴充和嚴格公理化定義 代數(shù)在中學(xué)中的基本內(nèi)容之一是數(shù)的運算整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)，代數(shù)學(xué)中將這個體系完全建立起來了代數(shù)課程思想方法介紹和理論數(shù)的自然擴充表： 正分數(shù) 零正無理數(shù) 負數(shù) 代數(shù)課程思想方法介紹和理論 數(shù)的邏輯擴充表：負元乘法逆元有理數(shù)基本列代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論數(shù)系擴充的方法、要求原則（1）新數(shù)系較原數(shù)系在保證運算通行方面，功能更完備（2）新數(shù)系的元素

8、，以原有數(shù)系的元素為基礎(chǔ)，以某種方式構(gòu)作而成（3）原有數(shù)系整個地“嵌入”新數(shù)系，作為其子系統(tǒng)代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)代數(shù)數(shù)超越數(shù)代數(shù)課程思想方法介紹和理論三代數(shù)方程的根式解和群中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的古老數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容是解方程一元二次方程 一元三次方程求根公式為代數(shù)課程思想方法介紹和理論根為：其中 為三次單位根，（卡爾達諾公式，1545年）代數(shù)課程思想方法介紹和理論 四次方程 歸結(jié)為兩個二次方程的求解 （有求根公式，根式解）代數(shù)課

9、程思想方法介紹和理論 五次方程的根式解問題，經(jīng)過一百多年都沒有找到根式解公式 Abel（1802-1829）研究了一般情況，想證明高于四次的方程一般沒有根式解，但沒有最終證出只證明一些特殊情況下的結(jié)論 伽羅華理論：伽羅華研究了這個問題，發(fā)現(xiàn)根式解的問題與根的對稱性有關(guān)系代數(shù)課程思想方法介紹和理論設(shè) 不可約的， 為其所有根構(gòu)造這些根的具有有理系數(shù) 的多元多項式：構(gòu)成一個環(huán)設(shè)K中元素為考慮K的自同構(gòu) 代數(shù)課程思想方法介紹和理論 可以知道 K中具有性質(zhì) 的所有雙射成一個群，K的伽羅華群（ 的伽羅華群），它是 的子群代數(shù)課程思想方法介紹和理論定理 相應(yīng)的伽羅華群是可解群伽羅華理論是伽羅華21歲時提出的

10、，論文寄給當(dāng)時一流的數(shù)學(xué)家龐加萊，他沒有看懂，丟在一邊 4050年后，才被發(fā)現(xiàn)創(chuàng)立了群的理論，創(chuàng)立了近代的代數(shù)學(xué) 代數(shù)課程思想方法介紹和理論四三等分角與數(shù)域的擴充三等分角、倍方問題和化圓為方的問題被稱為古希臘的三大幾何作圖問題幾何的可作圖問題被化為代數(shù)域的擴充問題來解決這方面的知識是近世代數(shù)的內(nèi)容，但其中的內(nèi)容經(jīng)初等知識處理后，成為高中新課程中的選修課平分已知角，可用尺規(guī)作圖（尺子不帶刻度）三等分角，尺規(guī)來做，兩千年都沒能做出來，代數(shù)方法證明了尺規(guī)三等分角是不可能的代數(shù)課程思想方法介紹和理論若想談?wù)摮咭?guī)作圖不能問題，要把含直觀因素的尺規(guī)作圖概念進行公理化（數(shù)學(xué)模型），用代數(shù)方法解決問題尺規(guī)作圖

11、是從已知一些初等幾何圖形，一些線段，一些點，而求出一些初等幾何圖形，線段，點等 即，已知平面上的一些點，要求尺規(guī)作出另一些點來代數(shù)課程思想方法介紹和理論取定某線段為單位長的坐標(biāo)系，平面上的點可以用 表示這樣，尺規(guī)作圖問題是：已知一些實數(shù) ，要求用尺規(guī)作圖作另一些數(shù)尺規(guī)可以作出的是：若干線段之和；兩線段之差；已知三線段a，b，c，可作出x，使 ；已知二線段a ，b ，作y ，使 代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論五矩陣工具的應(yīng)用，向量空間中的基本方法 線性變換的具體實現(xiàn)是矩陣

12、對坐標(biāo)的變換 中學(xué)中的線性變換：平面解析幾何中平面上的旋轉(zhuǎn)，關(guān)于某條直線的翻轉(zhuǎn)、變換等平面上點 點 經(jīng)過 變換后的象的點線性變換都是這些的 矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影，代數(shù)課程思想方法介紹和理論“線性”的直觀含義：線性（矩陣）變換把平面上的直線變成直線 中學(xué)里的很多問題可以歸結(jié)到線性變換，你能發(fā)現(xiàn)這些問題嗎？用矩陣的方法來解決這些問題矩陣也是向量空間理論的基本工具向量空間是 的抽象推廣，它不僅是幾何空間的推廣，而且還為整個數(shù)學(xué)建立了發(fā)展的空間，其抽象的模型無處不在架構(gòu)：公理化定義向量空間代數(shù)課程思想方法介紹和理論 坐標(biāo)： 基底：基底間的轉(zhuǎn)換：坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換：代數(shù)

13、課程思想方法介紹和理論線性代數(shù)的所有問題都可歸納為向量空間理論 解線性方程組 AX=b 解釋為求 b 在變換 下的原象 二次型 是 中的幾何圖形的方程， 維數(shù)、秩，其中的相必然的聯(lián)系向量空間歐氏空間度量空間定義內(nèi)積幾何度量幾何空間抽象的幾何空間，拓撲，泛函分析代數(shù)課程思想方法介紹和理論六同構(gòu)思想與映射反演方法比較兩個數(shù)學(xué)對象的方法最簡單的是兩個三角形的全等：怎么比較，對應(yīng)頂點，對應(yīng)邊，先建立對應(yīng)、映射代數(shù)課程思想方法介紹和理論則三角形全等的形式化為：向量空間V與W同構(gòu)的定義：環(huán)R與環(huán) R 同構(gòu)的定義：代數(shù)課程思想方法介紹和理論例： 上定義加法“ ”、數(shù)乘“ ” 則 是一個向量空間，且是 上一維

14、的向量空間 請同學(xué)們深刻理解此題，對數(shù)的運算法則，對數(shù)的公式都會在這個映射里代數(shù)課程思想方法介紹和理論 由于映射和一一映射的概念的建立，開辟了數(shù)學(xué)中不同分支，不同領(lǐng)域相互聯(lián)系、相互溝通的渠道，這正是數(shù)學(xué)高度統(tǒng)一性的表現(xiàn) 映射同構(gòu)及映出來的數(shù)學(xué)對象在整體上的聯(lián)系，就是解決數(shù)學(xué)問題中的“關(guān)系、映射、反演方法” 代數(shù)課程思想方法介紹和理論 原象關(guān)系結(jié)構(gòu)映射 映象關(guān)系結(jié)構(gòu) 目標(biāo)原象反演 目標(biāo)映象代數(shù)課程思想方法介紹和理論？代數(shù)課程思想方法介紹和理論代數(shù)課程思想方法介紹和理論七數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 研究數(shù)學(xué)無非是考察對象的運算關(guān)系，次序關(guān)系和相互間的位置關(guān)系，稱這些關(guān)系是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)，序

15、結(jié)構(gòu)，和拓撲結(jié)構(gòu) 代數(shù)結(jié)構(gòu)：群，環(huán)，域，模，向量空間，度量空間代數(shù)課程思想方法介紹和理論序結(jié)構(gòu)偏序定義：非空集合S，關(guān)系 ，稱為S上偏序，若滿足：（1） （自反性）；（2） （對稱性）；（3） （傳遞性）代數(shù)課程思想方法介紹和理論對于 為a，b在 下的最小上界， 為a，b在 下的最大下界.（1）自然數(shù)按數(shù)大小排成的序：中學(xué)中出現(xiàn)的序. 數(shù)列的極限按此序定義.（2）實數(shù)的序（按大小順序）代數(shù)課程思想方法介紹和理論 復(fù)數(shù)在中學(xué)中沒有定義序，但也可以定義偏序（字典序）： 廣義的拓撲中定義極限必須先有序代數(shù)課程思想方法介紹和理論（3）整數(shù)集中的偏序 ，定義則 為 上偏序. 其意義在于這樣， 便是 上兩

16、個運算符號.代數(shù)課程思想方法介紹和理論（4）集合X的子集合全體 上定義 ：則 為 上偏序，代數(shù)課程思想方法介紹和理論（5）群G的子群的全體 ，定義 ：則 為 上的偏序，代數(shù)課程思想方法介紹和理論（6） 多項式全體則 是是 中學(xué)數(shù)學(xué)中也有很多序結(jié)構(gòu)，證明不等式當(dāng)然是研究序結(jié)構(gòu).代數(shù)課程思想方法介紹和理論畢業(yè)論文選題的類型（1）中學(xué)數(shù)學(xué)問題（2）中學(xué)數(shù)學(xué)問題（3）數(shù)學(xué)建模問題（實際問題解決）中學(xué)理論問題（包括教學(xué)問題）中學(xué)初等問題的延伸研究創(chuàng)新性問題研究（有大學(xué)教學(xué)知識背景的問題深入研究）本科課程中某一理論的總結(jié)性研究課本內(nèi)容中或超出課本的問題研究用課本知識解決某一創(chuàng)新性問題代數(shù)課程思想方法介紹和

17、理論畢業(yè)論文選題的類型 中學(xué)數(shù)學(xué)問題 中學(xué)理論問題（包括教學(xué)問題） 中學(xué)初等問題的延伸研究 創(chuàng)新性問題研究（有大學(xué)數(shù)學(xué)知識背景 的問題深入研究）代數(shù)課程思想方法介紹和理論 大學(xué)數(shù)學(xué)問題 本科課程中某一理論的總結(jié)性研究 課本內(nèi)容中或超出課本的問題研究 用課本知識解決某一創(chuàng)新性問題 數(shù)學(xué)建模問題（實際問題解決）代數(shù)課程思想方法介紹和理論畢業(yè)論文參考選題（代數(shù)類） 中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題（1）平面幾何和立體幾何的公理體系（教材中公理體系的處理、討論）（2）尺規(guī)作圖問題的研究 在數(shù)學(xué)模型下研究代數(shù)課程思想方法介紹和理論（3）用矩陣作工具研究平面幾何中的變換（4）用矩陣作工具研究立體幾何中的剛體運動（5）用同

18、構(gòu)映射的思想總結(jié)研究中學(xué)數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)移、反演”問題 如：平面幾何中的定理與立體幾何中的定理的對偶關(guān)系代數(shù)課程思想方法介紹和理論（6）數(shù)形結(jié)合思想的研究（7）在高等代數(shù)、近世代數(shù)背景下中學(xué)數(shù)學(xué)中創(chuàng)新性問題的研究代數(shù)課程思想方法介紹和理論 高等代數(shù)中的問題（1）用線性方程組的理論討論空間 中多條直線和多張平面的位置關(guān)系代數(shù)課程思想方法介紹和理論（2）研究矩陣的問題 秩與維數(shù)的問題 矩陣方程的可解性 矩陣的廣義逆（半群意義上） 矩陣技巧研究代數(shù)課程思想方法介紹和理論（3）向量空間中維數(shù)公式的推廣研究（4）高等代數(shù)中可以公理化的定義研究代數(shù)課程思想方法介紹和理論（5）高等代數(shù)中的反例研究 （定理的逆定理不成立的反例，有些結(jié)論不成立的反例）（6）在特殊數(shù)域 上的向量空間（歐氏空間）研究（特殊性質(zhì)）代數(shù)課程思想方法介紹和理論（7）歐氏空間上幾何度量研究 n維多面體的體積（定義、計算） 線性流形的幾何度量（定義、計算）（8）特殊的歐氏空間（Hilbert 空間、可